Tema 8 - Ecuaciones en derivadas parciales PDF

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Apuntes de la Universidad Politécnica de Catalunya del curso académico 2021 Campus EEBE...

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Tema 8.- INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES Ampliación de Matemáticas. Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial.

Índice 1. Introducción

1

2. Ecuación del calor

3

3. Ecuación de onda

5

4. Ecuación de Laplace

7

1.

Introducción En los temas anteriores, nuestra atención se ha centrado en encontrar soluciones generales de ecua-

ciones diferenciales ordinarias. Ahora, nos interesará el estudio de otra clase de ecuaciones diferenciales, las llamadas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Estas ecuaciones surgen en relación con varios problemas físicos y geométricos cuando las funciones que intervienen dependen de dos o más variables independientes. Es importante señalar que sólo los sistemas físicos más sencillos pueden modelarse por ecuaciones diferenciales ordinarias, mientras que la mayoría de los problemas de mecánica de

fluidos

y

sólidos, transferencia de calor, teoría electromagnética, mecánica cuántica y otras áreas de la Física llevan a ecuaciones en derivadas parciales. Una

ecuación diferencial en derivadas parciales

es una ecuación en la que interviene una o más

derivadas parciales de una función de dos o más variables independientes. El orden de la derivada más alta es llamado

orden

de la ecuación y una

solución

de una ecuación en derivadas parciales es una función

que satisface la ecuación. En este tema nos centraremos en el estudio de ecuaciones lineales de segundo orden en dos variables, esto es, ecuaciones de la forma

A

donde

A, B, C, . . . , G

∂2u ∂2u +B 2 ∂x ∂ x∂ y

son funciones de

x

e

+C y.

∂2u ∂y2

+D

Cuando

∂u ∂x

+E

G (x, y)

∂u ∂y

+ Fu =

G

= 0, se dice que la ecuación es

homogénea ;

en caso contrario se dice que es no homogénea. Algunos ejemplos de ecuaciones en derivadas parciales lineales de segundo orden que desempeñan un papel importante en Ingeniería son las siguientes. 1. Ecuación unidimensional del calor

∂u ∂2u (x, t) = k ∂t ∂ x2

(x, t)

(1)

2. Ecuación unidimensional de onda

2 ∂2u 2 ∂ u (x, t) (x, t) = a 2 2 ∂ x ∂t 1

(2)

Tema 8. Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.2

3. Ecuación bidimensional de Laplace

∂2u ∂2u (x, y ) = 0 (x, y ) + 2 ∂y2 ∂x La ecuación (1) aparece en la teoría del función

u (x, t)

(3)

flujo de calor en una varilla o en un alambre delgado donde la

representa la temperatura de la varilla. Los problemas de vibraciones mecánicas a menudo

conducen a la ecuación de onda (2), en la que cuerda vibrante. Por último, la solución

u (x, y )

u (x, t)

representa los pequeños desplazamientos de una

de la ecuación de Laplace (3) puede ser interpretada como

la distribución estacionaria (esto es, independiente del tiempo) de la temperatura en una placa plana y delgada. Aquí no veremos cómo se deducen estas ecuaciones sino que nos concentraremos en su resolución.

Para la mayor parte de las ecuaciones lineales de segundo orden –aún con las que tienen coeficientes constantes– no es fácil llegar a la solución general. Sin embargo, casi siempre es posible, y bastante sencillo, hallar soluciones particulares de las ecuaciones lineales anteriores ya que, generalmente, el objetivo que se persigue no es únicamente la resolución de una ecuación en derivadas parciales, sino que, en la mayoría de los casos, se está interesado en la determinación de una solución particular que cumpla ciertas condiciones adicionales que surgen del problema. Por ejemplo, la condición de que la solución valores dados en la frontera de la región considerada o, cuando el tiempo esté dada en

t

t

u

asuma

es una de las variables, que

u

= 0. Así, distinguiremos condiciones adicionales de dos tipos:

Condiciones iniciales

(asociadas a variables temporales).

Condiciones de contorno o de frontera

(relativas a variables espaciales).

Hemos visto, en temas anteriores, que si una ecuación diferencial ordinaria es lineal y homogénea, entonces, a partir de soluciones conocidas, pueden obtenerse otras soluciones por superposición. Para una ecuación diferencial en derivadas parciales lineal y homogénea la situación es muy parecida. De hecho, se verifica el siguiente teorema. Teorema 1.1

(Principio de superposición)

Si u1 , u 2 , . . . , uk son soluciones cualesquiera de una ecuación en derivadas parciales lineal y homogénea en alguna región R, entonces u

= c1 u1 + c2 u2 + · · · ck uk

donde c1, c2 , . . . , c k son constantes cualesquiera, también es una solución de esa ecuación en R.

A continuación veremos un procedimiento general para obtener soluciones para las tres ecuaciones anteriores.

Método de separación de variables El método de separación de variables es una técnica clásica que resulta efectiva para resolver varios tipos de ecuaciones en derivadas parciales. Para determinar una solución, se supone que ésta puede escribirse con sus variables separadas; esto es, en la forma u (x, y )

=

X

( x) Y ( y ) .

Sustituyendo esta forma de solución en la ecuación y teniendo en cuenta que

∂u ∂x

=

X Y

∂2u ∂ x2

=

X Y

0

00

∂u ∂y

=

XY

∂2u ∂y2

=

XY

0

00

Tema 8. Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 3

se llega a dos ecuaciones diferenciales ordinarias de las funciones incógnitas

X

( x) y

Y

(y ). De esta forma el

problema de resolver una ecuación en derivadas parciales se reduce al problema más conocido de resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Ilustraremos esta técnica para la ecuación del calor, la ecuación de onda y la ecuación de Laplace cuando se verifican ciertas condiciones adicionales (iniciales y de contorno).

2.

Ecuación del calor La ecuación unidimensional del calor es el modelo de variación de la temperatura

x

y el tiempo

en una varilla calentada de longitud

t

lo largo del eje

x

y de temperatura inicial

L

f

u

según la posición

(x) que se extiende a

y cuyos extremos se mantienen a una temperatura constante de cero grados en todo

instante. Si el

flujo de calor

se produce solamente en la dirección del eje x

no se pierde calor a través de la superficie lateral de la varilla no se genera calor en la varilla la varilla es homogénea, esto es, su densidad por unidad de longitud es constante su calor específico y su conductividad térmica son constantes, entonces la temperatura

u (x, t)

de la varilla está dada por la solución del problema con condiciones

iniciales y de contorno

∂2u ∂u (x, t) = k ∂t ∂ x2

(x, t) ,

u (0, t)

= 0,

u (x, 0)

La constante

k

k >

u

=

f

0,

0

< x < L,

(L, t) = 0,

( x) ,

0

t >

t >

0,

0,

(4) (5) (6)

< x < L.

es proporcional a la conductividad térmica y se llama

difusividad térmica.

Solución del problema

Para resolver este problema por el método de separación de variables, se empieza por suponer que la ecuación (4) tiene una solución de la forma u (x, t)

Para determinar

X

y

T,

=

X

(x) T (t) .

primero se calculan las derivadas parciales de la función

∂2u ∂ x2

∂u (x, t) = X (x) T 0 (t) ∂t

(x, t) =

X

00

u

(x) T (t)

y se sustituyen estas expresiones en la ecuación resultando X

0

00

(x) T (t) ,

00

( x)

(x) T (t) =

kX

0

X

y separando las variables T

kT

(t) (t)

=

X

( x)

.

Observamos ahora que las funciones del primer miembro dependen solamente de t, mientras que las del segundo miembro dependen solamente de

x

y, puesto que

dos cocientes deben ser iguales a alguna constante

λ.

x

y

t

son variables independientes entre sí, los

Por tanto,

Tema 8. Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 4

T

0

kT

(t) (t)

=

00

X

y

λ

( x) ( x)

X

=

λ

o bien X

00

(x) − λX (x) = 0

y

T

0

(t) − λkT (t) = 0.

En consecuencia, para soluciones separables, el problema de resolver la ecuación en derivadas parciales se ha reducido al problema de resolver las dos ecuaciones diferenciales ordinarias anteriores. Si consideramos ahora las condiciones de contorno (5) y, teniendo en cuenta que tenemos que X

Por consiguiente, o bien

T

(0) T (t) = 0

y

(t) = 0 para todo

X

0, lo cual implica que

t >

(0) =

X

(L) T (t) = 0,

X

t > u (x, t)

u (x, t)

=

X

(x) T (t)

0.

≡0

o bien

(L) = 0.

Ignorando la solución trivial, se combinan las condiciones de contorno con la ecuación diferencial en

X

y

se obtiene el problema X

00

X

donde

λ

(x) − λX (x) = 0 (0) =

X

(7)

(L) = 0,

puede ser cualquier constante.

Nótese que la función

X

( x)

≡0

es una solución para todo

λ

y, dependiendo de la elección de

λ

ésta

puede ser la única solución del problema. Así que si se busca una solución no trivial u (x, t) = X (x) T (t), primeramente se deben determinar aquellos valores de λ para los cuales el problema con condiciones iniciales y de contorno tiene una solución no trivial. Dichos valores especiales de propios,

y las soluciones no triviales correspondientes son las

Para resolver el problema, empezamos con la ecuación característica casos. Caso 1.

λ

>

r

0. En este caso, las raíces de la ecuación característica son

general de la ecuación diferencial (7) es X

( x) =

C1 e

√ λx

λ

se denominan

valores

funciones propias.

+ C2 e

2

−λ = √ λ,

±

0 y consideramos tres

de modo que la solución

√ − λx

Si recurrimos a las condiciones de contorno, que la única solución es Caso 2.

λ

= 0. Ahora

r

C1

=

C2

X (0) = X (L) = 0, para determinar C1 y C2 obtenemos = 0. Por consiguiente, no existe solución no trivial para λ > 0.

= 0 es una raíz doble de la ecuación característica y la solución general de la

ecuación diferencial es X

( x) =

Las condiciones de contorno implican de nuevo que

C1 C1

+ C2 x. =

C2

= 0 y, consecuentemente, no existe solución

no trivial. Caso 3.

λ

<

0. En este caso las raíces de la ecuación característica son

la ecuación es X

( x) =

C1

cos

√ −λx + C2

sen

En esta ocasión las condiciones de contorno dan lugar al sistema

√ −λx =0

±

i

√ −λ

y la solución general de

√ √ 1 −λL + C2 sen −λL = 0 √ Como C1 = 0, el sistema se reduce a C2 sen −λL = 0. Por tanto, (7) tiene una solución no trivial cuando √ −λL = nπ o lo que es lo mismo C

C1

cos

λ=−

³ nπ ´2 L

n

= 1, 2, . . .

Tema 8. Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 5

Además las soluciones no triviales

Xn

Xn

donde los valores

an

πx

n

sen

an

L

consideramos las segunda ecuación

λ 0

T

n

( x) =

están dadas por

son constantes arbitrarias distintas de cero.

Una vez determinados los valores de

Para cada

¡ ¢2 λ = − nLπ

(x) correspondientes al valor

(t) + k

³ π´ n

2 T

L

(t) = 0.

= 1, 2, . . . , la solución general de la ecuación lineal de primer orden es Tn

(t) = bn e

−k(nπ /L)2 t

.

Por tanto, combinando las dos soluciones anteriores obtenemos, para cada un

(x, t) =

Xn

(x) Tn (t) = cn e

−k(nπ /L)2 t

sen

n

= 1, 2, . . .

π

n

L

x

donde cn es una constante arbitraria. Si consideramos una suma infinita de estas funciones, entonces aplicando el principio de superposición, la serie u (x, t)

∞ X

=

n=1

cn e

−k(nπ /L)2 t

π

n

sen

L

x

satisface tanto la ecuación del calor como las condiciones homogéneas (5). Nos falta únicamente determinar los coeficientes constantes u (x, 0)

=

f

(x) . Esto da lugar a u (x, 0)

=

∞ X

n=1

cn

pero esta es la serie de Fourier de senos de los coeficientes a través de la expresión cn

Concluimos entonces que la serie

u (x, t)

=

2

=

L

n=1

f

π

n

x

L

f ( x)

=

f ( x) ,

f

0

utilizando la condición inicial

< x < L,

sobre el intervalo [0, L] , lo cual nos permitirá calcular

ZL

L

à ZL 2

∞ X

sen

{cn }∞ n=1

(x) sen

0

(x) sen

³

L

´

π

n

L

x

dx.

´ !

π

n

0

³

x

dx

e

−k(nπ /L)2 t

π

sen

n

L

x

es solución del problema con condiciones iniciales y de contorno descrito anteriormente. Esta solución en serie converge con bastante rapidez, a menos que

t

sea demasiado pequeño, debido a la presencia de

factores exponenciales negativos. Por eso es muy práctica en cálculos numéricos.

3.

Ecuación de onda Consideraremos ahora las vibraciones transversales de una cuerda extendida entre dos puntos,

y

x

=

L.

El movimiento se produce en el plano

en dirección perpendicular al eje desde el eje

x,

entonces

u

x.

Si

u (x, t)

xy

denota el desplazamiento de la cuerda para

satisface la ecuación (2) en la cuál se asume que

La cuerda es perfectamente

flexible

x

=0

de manera tal que cada punto de la cuerda se mueve t >

0 medidos

Tema 8. Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial. 6

La cuerda es homogénea, esto es, su masa por unidad de longitud es constante Los desplazamientos

u

son pequeños comparados con la longitud de la cuerda.

La tensión de la cuerda es constante La tensión es grande en comparación con la fuerza de la gravedad. No actúan otras fuerzas sobre la cuerda Por consiguiente, un problema típico con condiciones iniciales y de contorno es

2 ∂2u 2∂ u (x, t) = a 2 ∂ x2 ∂t u (0, t) u (x, 0)

La constante

=

f

(x, t) ,

= 0,

0

u (L, t)

< x < L,

= 0,

t

∂u (x, 0) = g (x) ∂t

( x) ,

t >

0,

(8)

≥ 0,

(9)

0

(10)

≤x≤L

2 es estrictamente positiva y depende de la densidad lineal y la tensión de la cuerda. Las

a

condiciones de contorno nos indican que los extremos de la cuerda permanecen t

= 0, las funciones

f

y

fijos en todo instante. En

especifican la configuración inicial y la velocidad inicial de cada punto de la

g

cuerda.

Solución del problema En este caso, la separación de variables

u (x, t)

=

X

(x) T (t) se realiza igual que en el caso de la

ecuación del calor. Se calculan las derivadas parciales segundas de la función

∂2u ∂ t2

(x, t) =

X

u,

∂2u (x, t) = X 00 (x) T (t) , ∂ x2

(x) T 00 (t)

se sustituyen estas expresiones en la ecuación resultando X

00

( x) T

y separando las variables T

(t) =

0

(t)

2

a T

(t)

2

a X

=

X

00

00

X

(x) T (t) ,

( x) ( x)

Como en el caso anterior estos cocientes deben ser ...