Apuntes Derivadas Parciales PDF

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Apuntes y pautas de Calculo en Varias Variables (Calculo III)...

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APUNTES CÁLCULO 3

DERIVADAS PARCIALES Definición. función, a   a1 , a2 ,

Sean f : A  n Si el límite

lim



Int  A .

,a n

 

f a1 ,..., a j 1 , x j , a j 1..., an  f a1 ,...,a j 1 ,a j ,a j 1 ...,a n



xj  aj

x a j j

existe, lo llamaremos la derivada parcial de f respecto a la variable xj en el f punto a y se anotará por a  o D j f  a  o f xj a :  xj



Observación:

De la definición se desprende que

f a  es la derivada usual de la xj

función de una variable x j definida por:

  

g xj  f a1 ,..., aj 1 , x j , aj 1 ..., an



en el punto donde x j  a j . Esto significa que la derivada parcial de f con respecto a la variable x j consiste en derivar de manera usual la función f respecto a la variable xj , pero considerando al resto de las componentes x k  k  1,...,n ; k  j  como constantes. EJEMPLOS  f f , .  x y  f f f 2) Sea f  x, y, z  sen xy  y xz . Hallar , , . x y z

1) Sea f  x, y   3 x3 y  2 xy2  5 x  4 . Hallar



  

3) Sea f  x, y, z  y zcos y x  sen  zx  1 Hallar 4) Sea f :

f f f  0,1,  ,  0,1,  ,  0,1,  . x y z 2

función definida por:

 3x  y  2  3 x  5 y ; si  x, y   0, 2   f  x,y    x2  2  y  2  2  10 ; si  x, y   0, 2   f f f f Hallar  0,  2 ,  0, 2 ,   1,1 ,   1,1 x y x y PROFESOR: Patricio Suzarte Herrera

APUNTES CÁLCULO 3

Interpretación Geométrica de la Derivada Parcial en 2 Supongamos que f : A 

2

es una función tal que

como: f  x , y0   f  x0 , y0  f x0 , y0   lim  x  x0 x x  x0

 

g x  f  x ,y0

f  x0 , y0  existe. Entonces x

g  x   g  x0   g  x0  x  x0 x a lim

f  x0 , y0   m1 , donde m1 es la pendiente de la recta tangente a la curva x que se obtiene al cortar la superficie de ecuación z  f  x , y  por el plano 2 : y  y0 en

se tiene que

el punto P x0 , y0 , f  x0 , y0  .

Análogamente, se tiene que

f  x0 , y0   m2 , donde y

m2 es la pendiente de la recta

tangente a la curva que se obtiene al cortar la superficie de ecuación z  f  x , y  por el plano 1 : x  x0 en el punto P x0 , y0 , f  x0 , y0  .

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APUNTES CÁLCULO 3

Las ecuaciones de estas rectas tangentes vienen dadas por: x  x 0 z  f  x0 , y0    y  y0 f 1 ,  x0 y0  x y  y0 z  f  x0 , y0    x  x0 T2 : f 1  x0 , y0  y T1 :

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APUNTES CÁLCULO 3

Interpretación Económica de la Derivada Parcial Sea z  p  x, y  una función de producción con respecto a los insumos x e y . Se tiene:

p : representa a la productividad marginal de p con respecto a x. x

p : representa a la productividad marginal de p con respecto a y. y Si consideramos un punto P   x0 , y0  , entonces:

p  x0 , y0  : representa a la productividad marginal de x 0 unidades de x e y 0 unidades de y . x Con esto se tiene que:

p  x0 , y0   0 , entonces se cumple que al incrementar la cantidad de insumos x en 1 x p unidad, dejando fijo y en y0 , la producción aumenta en  x0 , y0  . x p II) Si  x0 , y0   0 , entonces se cumple que al incrementar la cantidad de insumos x en 1 x p unidad, dejando fijo y en y0 , la producción disminuye en  x0 , y0  . x p Lo anterior es análogo para  x0 , y0  . y I)

Si

Por lo tanto:

p  x 0 ,y 0   p  x 0  1,y 0   p  x 0 ,y 0  x . p x 0 ,y 0   p  x 0 , y 0  1  p  x 0 ,y 0  y

OBS: Todo esto es válido para funciones de costos, ingresos y utilidad.

PROFESOR: Patricio Suzarte Herrera

APUNTES CÁLCULO 3 EJEMPLO. 2 2 Sea p x, y  5 xy  2 x  3 y la producción de dos insumos x e y . Determinar la

productividad marginal para x  100 e y  90 .

f  5y  4x x 



f  5x  6y y

f  100,90   50  0 , es decir, si aumento la cantidad de insumos x a 101, x manteniendo fijo y en 90. la producción se incrementará en 50 unidades. f  100,90  40  0 , es decir, si aumento la cantidad de insumos y a 91, y manteniendo fijo x en 100, se dejan de producir 40 unidades.

EJERCICIO. Una compañía de teléfonos celulares tiene la siguiente función de producción para su producto p  x, y   50 x

2 3

y

13

, donde x representa la mano de obra e y el capital.

1) Hallar la producción de 125 unidades de mano de obra y 64 unidades de capital. 2) Hallar las productividades marginales. 3) Evaluar la productividad marginal en x  125 e y  64 . Interprete sus resultados.

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APUNTES CÁLCULO 3

Derivadas Parciales de Orden Superior Sean f : A  n

función, A abierto, A   y supongamos que

f existe para  xi

todos los puntos de A . Entonces podemos definir la función f :A n  xi f x  xi Esto quiere decir que podemos considerar derivadas parciales de esta nueva función respecto de las mismas variables x1, x2 ,..., xn . Si estas derivadas existen, se llaman derivadas parciales de segundo orden. Para esto se utilizan las notaciones: x 

a) Para i  j   f  2 f  a    a  x j  x i  x jx i

(Derivada parcial mixta)

b) Para i  j   f  2 f  a  a    x i  x i  x i2

EJEMPLOS Hallar todas las derivadas de segundo orden para las siguientes funciones: 1)

f  x, y   3 x3 y  2 xy2  5 x  4

2) f  x, y, z   x 2  y cos  xz Observaciones. 1) Las derivadas parciales de orden superior se definen y se denotan siguiendo un patrón similar al de las derivadas de segundo orden. 2) No siempre se cumple que Teorema. Sea f : A  2

B a, b ,   , entonces

2 f 2 f  a  x x  a  xj xi i j

una función tal que f,

f f 2 f 2 f son continuas en , , ,  x  y  x y  y x

2 f 2 f  a, b    a, b  . y x x y PROFESOR: Patricio Suzarte Herrera...