Ejercicios derivadas parciales PDF

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Guia con ejercicios intermedios...

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Universidad Nacional Aut´ onoma de Honduras Departamento de matem´ atica pura C´ alculo en varias variables ´ MM-202 CALCULO II

III Periodo 2018

Carlos Cruz

Parte 0. Lineamientos (0 Puntos) Instrucciones: Los siguientes ejercicios propuestos hacen referencia a los temas visto durante el primer parcial. En cada ejercicio muestre todo su procedimiento trabajando de forma clara honesta y ordenada. De lo contrario no tendr´ a derecho a cr´ editos. trabaje en un cuaderno o paginas en blanco y luego tome una fotograf´ıa o escanear para subir en el espacio correspondiente en la plataforma virtual(Campus Virtual). El documento debe ser subido en un solo archivo PDF y seg´ un los ejercicios asignados seg´ un la terminaci´on de su n´ umero de cuenta que se muestra en la tabla siguiente. Terminaci´ on de cuenta Tema

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Parte I

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

Parte II

j

i

h

g

f

e

d

c

b

a

Punto III

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

Parte IV

a,r

b,q

c,p

d,o

e,n

f,m

g,l

h,k

i,j

j,m

Parte V

a

b

c

d

e

f

g

h

j

i

Parte VI

j

i

h

g

f

e

d

c

b

a

Parte VII

j

i

h

g

f

e

d

c

b

a

Parte VIII

b

a

c

d

e

f

g

h

i

j

Parte IX

a

b

c

d

e

g

f

h

i

j

Parte XI

a

b

c

d

e

g

f

h

i

j

Parte I. Funciones de varias variables (0 Puntos) 1. Determine el dominio de las siguientes funciones de varias variables y grafiquelo : ˙ ˆ 1 x ´1 a) f px, yq “ a ? e) f px, yq “ sin x`y y´ x d f) f px, yq “ ln px lnpy ´ xqq x2 ´ y ` ˘ b) f px, yq “ g) f px, yq “ ln xy ´ x3 ´ y3 ` x2 y2 2 2 x ` y ´ 16 a ˆ ˙ h) f px, yq “ JxK ` 1 ´ y2 y´1 ´1 c) f px, yq “ sin x i) f px, yq “ lnpy lnp2 ` x ` yqq ` ˘ ? ? 2 d) f px, yq “ ´xy ln y ´ 4x j) f px, yq “ lnp´ x lnpx ` yqq

MM-202/tarea1-November 15, 2018

– P´ agina 2 de 6 –

Nombre:

Parte II. Curvas de nivel (0 Puntos) 1. Determine las curvas de nivel y graficarlas, Apoye sus resultados usando la aplicaci´ on DESMOS ? ` 2 ˘ x f) f px, yq “ ln x ` y a) f px, yq “ y 2x ˆc ˙ g) f px, yq “ 2 y x ` y2 b) f px, yq “ ln 2 2 x h) f px, yq “ ex `y a 2 2 ? c) f px, yq “ x ´ y i) f px, yq “ ´xy ? d) f px, yq “ xy j) f px, yq “ x2 ´ 2x ´ y2 e) f px, yq “ 1 ´ |x| ´ |y|

Parte III. L´ımites de funciones de varias variables (0 Puntos) 1. Determine si los siguientes l´ımites x2 ` y 2 a a) f px, yq “ lim px,yqÑp0,0q x2 ` y 2 ` 1 ´ 1 b) f px, yq “

sinpxyq px,yqÑp0,0q y

c) f px, yq “

px,yqÑp0,0q

f) f px, yq “

lim

lim

cospxyq ´ cospsinp2xyqq x2 y 2

1 ´ cospx2 ` y2 q d) f px, yq “ lim px,yqÑp0,0q px2 ` y 2 qx2 y 2 x ` lnp1 ` xyq e) f px, yq “ lim 1`x`y px,yqÑp2,0q

lim

px,yqÑp0,0q

g) f px, yq “

px,yqÑp0,0q

h) f px, yq “

px,yqÑp0,0q

lim

lim

tan´1

ˆ

|x| ` |y| x2 ` y 2

x3 ´ xy2 x2 ` y 2 x3 x2 ` y 2 3

x y ` sin

i) f px, yq “

px,yqÑp0,0q

j) f px, yq “

px,yqÑp0,0q

lim

lim

˜

πxy 2

˙

¸

a

y2 x ´ cosp2πxq 2x x2 ` x ` y 2

Parte IV. Regla de la cadena (0 Puntos) 1. a) Muestre que

F

ˆ

x

x z , y y

˙

“0

satisface

Bz Bz “z `y By Bx

b) 1) Sea f px, yq una funci´ on homog´enea de grado n muestre que x

Bf Bf “ nf `y By Bx

c) Si f es una funci´ on de la variable u, ` sea u ˘“ x2 ` y2 . Muestre que z “ xy ` f x2 ` y2 cumple con la ecuaci´on

.

Bz Bz ´x “ y 2 ´ x2 Bx By

d) Sea u “ f px, yq, v “ gpx, yq funciones diferenBv Bu Bv Bu “ , “´ , ciables de px, yq, si Bx Bx By By x “ r cospθq, y “ r sinpθq. Muestre que ˆ ˙ Bu Bu Bv 1 Bv ` ´ “ Br Br r Bθ Bθ . e) Sea

w “ f pu, vq y

y eBw cospxq; si

Bw

“

u “ e cospyq, x

Bw

“ 2

y

g) Suponga que w “ f px, yq, y “ u ´ v. Demuestre que

x “ u ` v,

B2 w B2 w B2 w ´ “ 2 2 Bx By Bu Bv

2) x2 fxx ` 2xyfxy ` y2 fyy “ npn ´ 1qf

y

f) Suponga que w “ f px, yq, x “ r cospθ q, y “ r sinpθq. Demuestre que ˙2 ˆ ˙2 ˆ ˙2 ˆ ˙2 ˆ 1 Bw Bw Bw Bw ` 2 “ ` Bθ Br By Bx r

v “ Bw “ Bx

h) Suponga que w “ f px, yq, y “ u ´ v. Demuestre que 5

x “ 2u ` v,

B2 w B2 w B2 w B2 w B2 w ` 2 ` 2 “ ` Bx2 Bx By By2 Bu2 Bv2

i) Suponga que w “ f px, yq, x “ r cospθ q, y “ r sinpθq. Demuestre que 1 B2 w B2 w 1 Bw B2 w B2 w ` 2 2 ` ` “ 2 2 2 Br r Br Bx By r Bθ j) Suponga que

a

w “

´ r¯ 1 f t´ y r “ r a

2 ` z 2 . Demuestre que 2 x2 `B2yw B w a2

1 ,a P R B2 w B2 w “ aBt2 ` ` 2 2 Bz 2 By Bx k) Suponga que w “ f prq y r “ x2 ` y2 ` z 2 .

By Bw Bx

. Muestre Bu que

Bv

2

y

“ ex pcospyq´sinpyqq`ey pcospxq´sinpxqq

Demuestre que dw B2 w B2 w d2 w ` 2r dr ` ` “ dr2 By2 Bx2 Bz 2 B2 w

MM-202/tarea1-November 15, 2018

– P´ agina 3 de 6 –

l) Suponga que w “ f puq` g pvq, u “ x ´ at y que v “ x ` at . Demuestre que

Nombre:

p) Suponga que w “ f puq donde u “ Demuestre que

B2 w B2 w “ a2 2 Bx2 Bt

x

m) Suponga que w “ f pu, vq, u “ x ` y, v “ x ´ y. Demuestre que ˙2 ˆ ˙2 ˆ Bw Bw Bw Bw ´ “ Bv Bu Bx By w “ f px, yq, x “ e cospvq, y “ ˙2 ˆ ˙2 ˆ Bw Bw “ ` eu sinpvq. Muestre que By Bx «ˆ ˙ ff ˆ ˙ 2 Bw Bw 2 e´2u ` Bu Bv

n) Sea

ˆ

Bw Bu

˙2

`

ˆ

Bw Bv

˙2

“

ˆ

Bw Bx

˙2

`

ˆ

Bw By

Bw Bw “0 `y By Bx

q) Si f es una funci´on diferenciable de x y y, u “ f px, yq, x “ r cospθq, y “ r sinpθq. Muestre que 1 Bu Bu Bu Bu pcospθ q`sinpθ qq` pcospθ q´sinpθ qq “ ` Br r Bθ Bx By

u

o) Suponga que w “ f px, yq y que hay una constante α tal que x “ u cospαq ´ v sinpαq , y “ u sinpαq ` v cospαq. Demuestre que

x2 ´ y 2 . x2 ` y 2

r) Sean f y g son funciones diferenciables de x Bv Bu , “ y y, u “ f px, yq, v “ gpx, yq , si By Bx Bu Bv “´ , Bx By x “ r cospθq, y “ r sinpθq. Muestre que

˙2

.

1 Bv Bu “ Br r Bθ

Parte V. Recta tangente a la curva de nivel (0 Puntos) 1. Determine la ecuacion de la recta tangente a las curvas de nivel en los puntos indicados a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 35 f) 36 g) 37 h) 38 i) 39 j) 40...