Derivadas - Ejercicios PDF

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Tarea Colaborativa 4 Unidad 5 Cálculo Diferencial Resuelva los siguientes problemas de aplicación de las derivadas: 1. Si la ecuación de demanda es: 10p + x + 0 x 2 = 700 , p es precio y x es cantidadde unidades vendidas, y, la ecuación de costos es: C ( x )= 1000 +0 x 2 , halle la utilidad marginal...

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Tarea Colaborativa 4 Unidad 5 Cálculo Diferencial Resuelva los siguientes problemas de aplicación de las derivadas: 1.

Si la ecuación de demanda es: 10p + x +

0.01 x 2=700 , p es precio y x es cantidad

de unidades vendidas, y, la ecuación de costos es: C ( x )=1000+0.01 x 2 , halle la utilidad marginal si x= 100. La utilidad está dada por la ecuación P(x)= R(X)-C(x) El ingreso es R=px Por lo tanto, despejamos p de la ecuación de demanda y lo multiplicamos por x para obtener la función ingreso: 10 p=700−x −0.01 x

p=

700−x−0.01 x 10

2

2

p=70−0.1 x −0.001 x 2 R (x ) = px =70 x − 0.1 x −0.001 x 2

3

2 3 2 p ( x ) =( 70 x −0.1 x −0.001 x )−( 1000+0.01 x ) 3 2 p ( x ) =−0.001 x −0.11 x +70 x−100 0 2 p´ ( x )=−0.003 x −0.22 x +7 0

La ecuación utilidad marginal seria: p´ ( x )=−0.003 x 2−0.22 x +7 0 Ahora para determinar la utilidad marginal en x=100, reemplazos ´

p ( 100 )=−0.003 ( 100 )2−0.22 (100 )+7 0 p´ ( 100 )=−30−22+7 0

p´ ( 100 )=1 8

La utilidad marginal sería de $18.

2. Una compañía advierte que puede vender toda la existencia de cierto producto que elabora a una tasa de $2 por unidad. Si estima la función de costo del producto como C(x)

( )

2

=

(1000+

1 x ) dólares por x unidades producidas: 2 50

( )

1 x 2 50 c ( x )=¿

1000+

2

c ´ ( x ) =(1000+

1250 ) X

a) Determine el número de unidades producidas que maximizarían la utilidad. 1000 X=125 0 X =1.25 X =1.25∗100 0 X =1250 El número de unidades que maximiza la utilidad es de 1250 b) ¿Cuál sería la utilidad si se produjeran 6.000 unidades?

(

1 6000 2 50 ( x )=¿

1000+

)

2

( x )=820 0 Utilidad= unidades*valor de fabricación-costo fabricación utilidad=( 6000∗2 )−380 0 utilidad=3.80 0 La utilidad seria de 3.800

3. Una compañía está buscando un terreno rectangular en la cual pueda construir un almacén nuevo. El área del almacén debe ser 6.400 metros cuadrados. Debe tener en un lado del edificio 40 metros de ancho para la zona de carga y al frente 10 metros de ancho para la zona de estacionamiento. ¿Cuál es el área mínima de terreno que la compañía debe buscar? x=base y y=altura 6400=xy 6400/ x= y ¿ area total=( x+ 10 )+ ¿ y+40) ¿ At = ( x +10 )+¿ 6400/x +40) 6400+ 40 x x ) At = ( x +10 )+¿ 2

At =

6400 x + 6400 40 x 400 x + + x x x x

At =6400+ At =40 x + '

A t=40− '

A ' t=

6400 + 40 x + 40 0 x

6400 + 680 0 x

6400 x2

128000 x3

−40=

−6400 2 x

2

−40 x =−6400 0 2

x=

−6400 −40

√ x2=√ 1600 x=4 0 At =40 (40 )+

6400 + 680 0 (40)

At =1600 + 1600 +680 0 At =10.000 m

2

El área mínima de terrero que deben comprar es de 10.000

m

2

4. El editor de una revista descubre que si fija un precio de $1 a su revista, vende 20.000 ejemplares al mes. Sin embargo, si el precio fijado es de $1.50 sus ventas solo serán de 15.000 ejemplares. El costo de producir cada ejemplar es de $0.80 y tiene costos fijos de $10000 al mes. Suponiendo una ecuación de demanda lineal, calcule la función de utilidad marginal y determine el precio de la revista que haga la utilidad marginal igual a cero. Función de ingresos: 2 I ( x ) =−1000 0 X +3 0000 X

Función de costos: C ( x ) =−8 000 X +34000 Función de utilidad: 2 U ( x )=−1000 0 X +30000 X −(8000 X +34000 ) 2 U ( x )=−1000 0 X +38000 X−34000 ¿

Utilidad marginal:

U ´ ( x ) =−20000 x+3800 0 Utilidad marginal cuando x es igual a 0 x=38000/2000 0 x=1. 9 La utilidad marginal cuando x es igual a 0 es de $ 1.9 5. Un restaurante especializado en carnes determina que al precio de $5 por platillo de carne tendrán en promedio 200 clientes por noche, mientras que si lo vende a $7 el número promedio de clientes bajará a 100. Determine la relación de demanda suponiendo que es lineal. Encuentre el precio que maximiza los ingresos. Función relación cliente precio cliente ( p )=mp+b Entonces 5 m+ b=20 0 7 m+b=10 0 Donde m=-50 y b=450 Costos=

costo=−50 p+ 45 0 i(p)=−50 p 2 + 450 p

Ingresos=

i' ( p)=−100 p+ 45 0 Ahora

i(0)=−100 p+45 0

i(0)=−100 p+45 0 100 p=45 0 p=4.5

El precio que maximiza el ingreso es de 4.5

6. Un propietario de 40 apartamentos puede alquilarlos a U$ 1000 c/u, sin embargo, observa que puede incrementar en U$ 5 el alquiler por cada vez que alquila un apartamento menos. ¿Cuántos apartamentos debe alquilar para un máximo ingreso? Alquiler de un apartamento: 100 Ingresos por no alquilar un apartamento: 5y Ingresos por alquilar un apartamento: 100+5y Ingresos por alquilar x apartamentos: x(100+5y) Y=40-x Función ingreso: ¿ 100+5 ¿ 40-x)) ¿ i(x)=x ¿ (100+20−5 x ) ) i(x)=x ¿

i(x)= x (120−5 x ) i(x)=120 x−5 x 2 i' (x)=120−10 x x=120/1 0 x=1 2 La cantidad de apartamentos que debería arrendar seria 12 7. Una discoteca abre a las 10 de la noche y cierra cuando se han marchado todos sus clientes. La expresión que representa el número de clientes en función del número de horas que lleva abierta, t, es N(t) = 80t – 10t2. a) ¿A qué hora el número de clientes es máximo? momento?

¿Cuántos clientes hay en ese

Buscamos los puntos en los que la derivada es igual a 0: N'(t) = 80 – 20t

80 – 20t = 0

8t=4

N''(t) = –20 < 0; en t = 4, la función tiene un máximo. El número de clientes es máximo a las 2 de la mañana (4 horas después de abrir). Este número de clientes es: N (4) = 80 · 4 – 10 · 4 = 160 personas El número de clientes que hay en ese momento es de 160 b) ¿A qué hora cerrará la discoteca? N(t) = 0

80t – 10t2 = 0

10t (8 – t) = 0

t=0 y t=8 El establecimiento cierra 8 horas después de abrir, a las 6 de la mañana 8. Una franquicia de tiendas de moda ha estimado que sus beneficios semanales (en miles de euros) dependen del número de tiendas que tiene en funcionamiento (n) de acuerdo con la expresión: B(n) = –8n3 + 60n2 – 96n Determina: a) El número de tiendas que debe tener para maximizar sus beneficios semanales. B'(n) = –24n2 + 120n – 96 –24n2 + 120n – 96 = 0 –n2 + 5n – 4 = 0 n=

−5 ± √ 25−16 −2

n=1 y n=4

Para saber cuál es el máximo utilizamos la segunda derivada

B''(n) = –48n + 120 B''(1) = 72 > 0; en n = 1 hay un mínimo. B''(4) = –72 < 0; en n = 4 hay un máximo

Debe tener 4 tiendas para que los beneficios semanales sean máximos.

b) El valor de dichos beneficios máximos. B(4) = –8 * 4 3

+ 60 * 42 – 96 *4 = 64

Los beneficios semanales serán de 64000 9. Una empresa quiere producir C (t)=200 + 10t, unidades de un producto para vender a un precio p(t) = 200 – 2t, euros por unidad, siendo t el número de días transcurridos desde el inicio de la producción. a) Calcula el beneficio si t = 10. Si t = 10 C (10) = 200 + 10 * 10 = 300 unidades p (10) = 200 – 2 * 10 = 180 € por unidad Beneficio: C (10) · p (10) = 300 · 180 = 54000 € b) Escribe, dependiendo de t, la función de beneficio (0≤ t ≤ 60). B(t) = C(t) p(t) = (200 + 10t) (200 – 2t) = –20t2 + 1600t + 40000 si 0 ≤ t ≤ 60 c) Determina cuándo el beneficio es máximo. Para hallar el beneficio máximo, hacemos B'(t) = 0: B'(t) = –40t + 1600 = 0

t = 40

Al cabo de 40 días el máximo beneficio: B (40) = –20 * 402 + 1600 * 40 + 40000 = 72000 € C 10. Con una cartulina rectangular de 2mts por 3 mts, se quiere construir una caja sin tapa. Para ello, se recorta un cuadrado de cada uno de los vértices. Calcula el lado del cuadrado recortado para que el volumen de la caja sea máximo.

El volumen de la caja es: V(x) = (3 – 2x) · (2 – 2x) · x, x є (0, 1) V(x) = 6x – 10x2+ 4x3 V'(x) = 6 – 20x + 12x2 V'(x) = 0 x=

6 – 20x + 12x2 = 0

10± √ 28 12

1,27 (no vale) 0,39

V''(x) = –20 + 24x; V''(0,39) < 0

x = 0,39

Si x = 0,39 m, el volumen será máximo....