Ejercicios resueltos y propuestos de derivadas PDF

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Ejercicios resueltos y propuestos de derivadas...

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LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN U.C.V.

F.I.U.C.V.

1.1.

y

(x

1.3.

y

x

1.5.

y

1 x 

1.7.

y

1.9.

y

1.11. y

e

e

1.13. y 1.15. y

dy dx

:

10 20

x ) x

x2

Prof. José Luis Quintero

CÁLCULO I (0251) - TEMA 4

1. En los siguientes ejercicios, halle 5

La derivada de una función Pág.: 1 de 5

 x5  

1.2.

y

cos(sen(x2 ))

1.4.

y

3tgh(4x)

1.6.

y

 x x 4   2x 1 

1.8.

y

arccos(log2 (x 4

1

7

x

1

sec(log(x2 1))

tg(2x 1)

1.10. y

sen4 ( 1x )

cos(x)

(sen(x)) 3 x

1.17. y

x

1.19. y

ln(sec 2(arctg(2x )))

1.21. y

sen2 (ln(x)

1.23. y

5

1.25. y

 x6  x 2 

1.27. y

1 arcsen  1 

1.28. y

ln(sen(3 arctg(e3x )))

1.29. y

 (x  2  (x

1.30. y

3

cos(x) cos(x)

sen(x) sen(x)

arcsen(ln(5 1

x2   x 2 

1)(x 1)(x2

x.arctg( 1

2)   2) 

x

 2x     1 x2 

1.24. y

 x 1 arccos    x 

1.26. y

  4  

x3

2

 5x  

1  1 cos(x)  ln 2  1 cos(x) 1 tg  1

senh(3x)  cosh(3x) 

2 x 3

sen(x))

1 x 1)

x ln(e

2. Usando la definición calcule la función derivable de: 1 2.2. g(x) 2.1. f(x) x 2.3. f(x) sen(x) 2.4. h(x)

2x))

 sen(x)  arctg    1 cos(x)  arctg(5x) arcctg(7x)

1.22. y

arctg(x4 )

7  9 

x

1.16. y

1.20. y

1)

1

1.14. y

1.18. y

x2

x

 22x  csc2    ln(1 x)   (ex x)arc sec(x)

1.12. y

ln(arctg(3x))

1

1))

ln(x2 ) 5x2

2x

1

4 2   3  x2   

3

LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN U.C.V.

F.I.U.C.V.

CÁLCULO I (0251) - TEMA 4

La derivada de una función Pág.: 2 de 5 Prof. José Luis Quintero

3. Halle la segunda derivada d2 y dx2 de las siguientes funciones: 3.1. y

3x 2

x

4

3.3. y

 x  arcsen    x 1 2 cosh(x)

3.4. y

ln(x2

3.5. y

2

cos (x)

3.6. y

x 1 , para x 1 x

3.2. y

1) , para x

e

tg(x), cuando x

4. Calcule la derivada

dy dx

0

de las funciones definidas paramétricamente por:

x 4 cos(t) 4.1.   y 4sen(t) x e t cos(t) para t 4.2.  t  y e sen(t)

0

3at  x 1 t3  4.3.  3at 2 y  1 t3 x 2 sec(t) 4.4.  cuando t  y 1 2tg(t)

x t ln(t) 4.5.  ln(t) para t y t  5. Halle la derivada y ' 5.1. x

3

2

x y

2 x

5.2. y 3

3

5.5.

x

y

y

1

2

6

1

dy dx de la función dada implícitamente por la ecuación: 0

x

4y, en el punto de ordenada y 5.3. x ln(y) y ln(x) 1, en el punto (1, e). 5.4. tg(y) xy 5.6. ye 5.7. x

y

y

e y

1.

a

x 1

, cuando (x, y)

(0,1)

x

6. ¿Es la función f(x)

x

x

2 derivable en su dominio?. Justifique su respuesta.

LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN U.C.V.

F.I.U.C.V.

7. Sean: f(0) 8. Sean: f '(1)

La derivada de una función Pág.: 3 de 5 Prof. José Luis Quintero

CÁLCULO I (0251) - TEMA 4

3, f '(0)

1, f ''(0)

3, f ''(1)

0, g(0)

2, g(0)

1, g '(0)

1, g'(0)

3 y g''(0)

3 y g ''(0)

2. Halle ( fg )''(0) .

2. Halle[f(g(0))]''.

9. Sea

f(x)

 e2x 2 si x  ln(x 1) 1 si x 

0 . 0

9.1. Grafique la función f. 9.2. Determine en forma analítica y en forma gráfica si f '(0) existe. 10. Sea

 e3x si x 0  2 f(x) ax bx c si 0 x 1 .  x3 si x 1  10.1. Determine a, b y c para que f sea continua en x 0 y derivable en x 10.2. Determine a, b y c para que f sea derivable en x 0 y continua en x

1 1

11. Dada la función:

 x3 si x 1 ,  2 bx c si x 1 ax determine los valores de a, b y c para que f ''(1) exista. f(x)

12. Dada la función:

 x3 si x 2 ,  2 bx c si x 2 ax determine los valores de a, b y c para que f ''(2) exista. f(x)

13. Dada la función f(x)

14. Dada la función f(x)

15. Dada la función y

x

1 1

x , calcule f(VII) , deduciendo previamente la derivada n-ésima. x

1

2 , calcule f (XI) , deduciendo previamente la derivada n-ésima. 2x e

2x2

x2

, halle la expresión xy ' 2y.

16. Demuestre que la función y(x)

xe

x2 2

satisface la ecuación xy '

(1

x2 )y.

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6x

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17. Pruebe que la función y(x) orden 2xy

La derivada de una función Pág.: 4 de 5

(x2

x

3 es solución de la ecuación diferencial de primer

4

0.

4)y '

18. Pruebe que la función

k 2

y(x)

C1 senh(2x)

diferencial de segundo orden y '' 4y

19. Demuestre que la función y(x)

x

C2 e

y C2 satisface a la ecuación y '' 3y ' 2y

2

x ) y '' 2x(1

21. Demuestre que la función y(x)

x )y ' xe

x

2x

para cualquier valor de las constantes C1

0.

20. Pruebe que la función definida por f(x) segundo orden (1

es solución de la ecuación

0.

C1e

2 2

C2 cosh(2x)

arctg(x) es solución de la ecuación diferencial de

0.

satisface la ecuación xy '

(1

x)y.

22. ¿Qué valores deben tomar las constantes a, b y c para que la función: x 3 si x x0 f(x)  2 ax bx c si x x0  tenga segunda derivada en x0 ? 23. Pruebe que la función descrita paramétricamente por las ecuaciones 3 2  t  x 2 ,  1 y t3  2 es una solución de la ecuación diferencial

 dy   dx   

3

2x

dy dx

2y

1.

24. Pruebe que y definida como función de x por las ecuaciones paramétricas  x sen( )  2 e 2 y e

satisface la ecuación diferencial (1 25. Sea exy

3xy2. Pruebe que

dy dx

x 2)y '' xy '

y(xy 1) . x(2 xy)

2y.

LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN U.C.V.

F.I.U.C.V.

diferencial y

(xy

1)y '

ln(y)

ecuación diferencial ysen(x)

28. Dada la función f(x)

e x , halle f(0)

e

cos(x) satisface la

x.f '(0) .

tg(x) y g(x)

30. Dadas las funciones f(x)

1

x y g(x)

31. Demuestre que la función y

y2

2y2 )y ' .

(1

29. Dadas las funciones f(x)

1

x

ln(1

1

1 ln(x)

f '(0)

x) , halle g '(0) .

sen( 2x ) , halle gf '(1) . '(1)

satisface a la ecuación diferencial dada por

y(y ln(x) 1) . x2

32. Demuestre que la función y

1

1, satisface la ecuación

0.

27. Pruebe que la función y definida por la ecuación ln(y)

xy '

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CÁLCULO I (0251) - TEMA 4

26. Pruebe que la función y definida por la ecuación xy 2

La derivada de una función Pág.: 5 de 5

(y ')2

2x 2

2

satisface a la ecuación diferencial dada por

2yy '' .

33. Demuestre que la función y

1 2 x x e 2

3  x2 ln  4 x2

36. Si y

1 ln(1 2

1  1 x 1 1 ln  arctg(x) , demuestre que y '   1  4  x 1  2

x)

1 ln(x2 6

x

ex .

e 3xsen(5x) satisface a la ecuación diferencial dada por

34. Demuestre que la función y y '' 4y ' 29y 0.

35. Si y

satisface a la ecuación diferencial y '' 2y ' y

1)

x2 x

4

3x 1

 2x 1  arctg   , demuestre que y ' 3 3  

.

1

1

1

x3

....