Jose 3ejemplos - ejercicios propuestos y resueltos PDF

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ejercicios propuestos y resueltos ...

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Sucesiones Aritméticas. 1. Calcule la diferencia común y complete los espacios en blanco para cada una de las sucesiones aritméticas dadas. 9, 7, , 3, , … a.

b.

30, , ,60, 70, , , …

c.

, ,−5,−10, , , …

Solución En la sucesión dada en este ejercicio se verifica fácilmente que la diferencia común es puesto que al utilizar la fórmula:

−5 ,

d=a4 −a3=−10−(−5 )=−10+5 =−5 Ahora utilizando la fórmula del n−¿ ésimo término, la diferencia común tercer término a3 =−5 se calculará a1 ,

d=−5 y el

an =a1 + ( n−1 ) d En la fórmula del n−¿ ésimo se toma a

n=3 , por lo que,

a3 =a1 + ( 3−1 ) d −5=a1 +2 ( −5 ) a1=−5+10=5 Por lo que para encontrar los términos a2 , a5 y a6 de la sucesión en cuestión se usará la fórmula del n−¿ ésimo término, la diferencia común y el primer término. Donde se obtienen a2=5+ ( 2−1) (−5 )=5+1 (−5 )=5−5 =0 a5 =5+ ( 5−1) (−5 )=5+4 (−5)=5 −20=−15 a6 =5+ ( 6−1)( −5 )=5+5 ( −5 )=5−2 5=−20 Por lo tanto, la diferencia común es La sucesión resultaría

−5

, a1=5 ,a 2=0, a5=−15 y a6 =−20

5 , 0 ,−5 ,−10 ,−15 ,−20 , …

2. Dadas las siguientes sucesiones aritméticas determine

an

y el término que se indica.

a.

−1 ,−4 ,−7 ,… , a 6

b. c.

5,11, 17, … , a5 −3 ,−6 ,−9 , −12,… , a 11

Solución En la sucesión dada en este ejercicio se verifica fácilmente que la diferencia común es puesto que, al utilizar la fórmula con los términos que se posee se obtiene:

−3 ,

d=a2−a 1=−6 −(−3 )=−6+3 =−3 d =a3−a 2=−9 −(−6 )=−9+6 =−3 d=a4 −a3=−12−(−9 )=−12+9 =−3 Para encontrar an primer término,

se utilizará la formula del

n−¿ ésimo término, la diferencia y el

an =a1 + ( n−1 ) d an =−3 + ( n−1)( −3 )=−3−3 n+3 =−3 n Teniendo que el término general es

an =−3 n , se encontrará á

a11 ,

a11 =−3 ( 11) =−33 Resultando que el sexto término de la sucesión es

−33

3. Calcular a1 para cada sucesión aritmética con: d=3 y a 4=5 a. b. d=10 y a9 =90 c. d=−2 y a7 =25 Solución En esta sucesión se facilita la diferencia común y el séptimo término, lo cual es suficiente para calcular el primer término con la fórmula del n−¿ ésimo termino, an =a1 +( n−1 ) d En la fórmula del n−¿ ésimo se toma a a7 =a1 +( 7−1 ) d a7 =a1 +6 d

25=a1 + 6 ( −2)

n=7 , por lo que

a1=25+1 2=37 Resultando que el primer término es

37.

4. Calcule d para cada sucesión aritmética que tiene: a1=4 y a3 =16 a. b. a1=−20 y a8 =1 a1=−17 y a5 =−85 c. Solución En esta sucesión se facilita el primer término y el quinto término, lo cual es suficiente para calcular la diferencia común con la fórmula del n−¿ ésimo termino, an =a1 +( n−1 ) d En la fórmula del n−¿ ésimo se toma a

n=5 , por lo que

a5 =a1 +( 5− 1 ) d −85=−17+4 d −8 5+17 =4 d 4 d=−68

d=

−68 =−17 4

Resultando que la diferencia común es

−17.

5. A partir de los términos que se indican de cada sucesión aritmética, calcular . a3 =12 y a6 =24 a. b. a2=−20 y a10 =−100 a6 =−20 y a21=55 c.

a1

y d

Solución En esta sucesión se facilita el sexto término y el vigésimo primer término, lo cual es suficiente para calcular el primer término y la diferencia común con la fórmula del n−¿ ésimo termino, an =a1 +( n−1 ) d En este caso se utilizará en dos ocasiones la fórmula del n=21 por lo que a6 =a1 +( 6−1 ) d

n−¿ ésimo se toma a

n=6

y

−20=a1 +5 d a1=−20−5 d ① a21 = a1+ ( 21−1 ) d 55=a1+ 20 d a1=55−20 d ②

Debido a que las igualdades ① y ② resultan ser iguales a

a1 ,

55−20 d =−20−5 d 55 + 20 =−5 d+20 d 75=1 5 d d=

75 =5 15

Sustituyendo d=5

en la igualdad ①,

a1=−20−5 d

a1=−20−5 ( 5) =−20−2 5 =−4 5 Resultando que la diferencia común es

5 y el primer término es

−45.

6. Dada una sucesión aritmética con

a1=5 y a8 =40 determinar

7. Dada una sucesión aritmética con

a1=4 y d=6

s8

determine s 7

8. Calcule el término para cada sucesión aritmética con, a5 .

a1=2

y

s 5=50

determine

En esta sucesión se facilita el primer término y la suma de los cinco primeros términos, lo cual es suficiente para calcular el quinto término y la diferencia común con la fórmula de la n−¿ esima suma, S n=

n ( a 1+ an ) 2

En la fórmula de la n−¿ ésima suma se toma n=5, S 5=

5 ( a1 +a 5 ) 2

50=

5 ( 2+a5) 2

(50 )2=10+5 a5 100−10 =5 a5 a5 =

90 =18 5

Resultando que el quinto término es 18 .

Sucesiones geométricas. 1. Completa los espacios en blanco de las siguientes sucesiones geométricas y calcule la razón común. 1, 4,16, , , … a. , ,−12,−24, , … b. −81, , , 3 ,−1, , , … c.

2. Dadas las siguientes sucesiones geométricas determine 1,6, 36, … , a4 a. b. 5,15, 45, … , a 5 −16,−8,−4, ... , a7 c.

an

y término que se indica.

3. Calcule a1 para cada sucesión geométrica con: a. r=2 y a 4=−40 b. r=−3 y a5 =324 1 r= c. y a6 =−1 2

4. Calcule r para cada sucesión geométrica que tienen: a1=1 y a 4=−40 a. b. a1=9 y a6 =288 a5 =3 y a7 =27 c.

5. Calcule la suma de términos indicada para las sucesiones geométricas con: s3 a1=1 y r=4 a. s4 a =3 b. y r=4 1 s3 a1=9 y r=−3 c. 6. Calcule a1 para cada sucesión geométrica con: r=2 y s 3=63 a. b. r=5 y s 4 =156 r=−2 y s 4 =10 c....