Lagrangiano - ejercicios propuestos y resueltos PDF

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ejercicios propuestos y resueltos
...

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EjemplosadicionalesdelTema1. L i Lagrangiana. (Verlos (Ver los delos de los ApuntesdeMecánicaAnalítica) (

)

ESCUELA TECNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONAUTICOS Ejercicio de clase. Mecánica Analítica 3º

2.12.2011

El test consta de 10 apartados, cada uno tiene 5 respuestas. Sólo una es correcta; márquenla en la plantilla adjunta.

P) La Lagrangiana L de un sistema con dos grados de libertad es L  T  U , donde T  12 ( q12  q22 )y

U 

k 2

( q 22 q1  q 12 q 2 )  V ( q1 ) es un potencial generalizado del que se derivan las componentes de las fuerzas

generalizadas ( Qj ) que actúan en el sistema. La función V  V (q1 ) tiene derivada V '  V ' (q1 ) continua y k es una constante. Si no se imponen ligaduras al sistema: P1) Las fuerzas generalizadas satisfacen: A) Q1  k q2  q2  q1   V ' , Q2  k q2  q2  q1  B) Q1  V ' , Q2  0 C) Q1  k q2  q2  q1   q1V ' , Q2   k q2  q2  q1  D) Q1  k q1  q2  q1   V ' , Q2  k q2  q2  q1  E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta. P2) La función de energía H  H ( q, q ) asociada a la Lagrangiana es A) B) C) D) E)

2T  U T U T V T Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

P3) Los momentos canónicos generalizados correspondientes a cada coordenada q j son:

B)

p1  q1 y p2  q2 p1  q1  k2 q22 y p2  q2  k2 q12

C)

p1  q1  k q2 q1

A)

y

p2  q2  k q1 q2

1  q y p2  q2  k2 q2 D) p1  q E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta. k 2

2 1

2

P4) Puede afirmarse que: A) T es una constante del movimiento. B) V es una constante del movimiento. C) T  V es una constante del movimiento. D) p2 es una constante del movimiento. E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

2 2 P5) Si se incorpora ahora al sistema la ligadura q 2 q1  q1 q2  0 , se puede afirmar que:

A) La ligadura es holónoma. B) p2 es una constante del movimiento. C) La función de energía H  H ( q, q ) es una constante del movimiento.

D) T es constante del movimiento. E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.





P6) Una partícula se mueve en el plano horizontal xy por acción de una única fuerza F   γ v , donde γ es una constante positiva. Usando como variables generalizadas las coordenadas polares planas ( r,  ) , las componentes generalizadas de la fuerza sobre la partícula son: A) Q  γ r y Q  γ r  

r

B) Qr   γ r

y

C) Qr  γ (r  r  )

Q   γ r 2  y

Q  0

D) Qr  γ  r y Q  γ r  2 E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta. P7) Para la función dinámica u (q , p , t ) con respecto a un sistema de N grados de libertad con Hamiltoniano H  H (q, p , t ) , puede asegurarse que: A) u pk  [ qk , u] B) u qk  [ pk , u] C) du dt  [u, H ] D) d [u , H ] d t[ H , u]  [ H , u] E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta. P8) Para un sistema hamiltoniano de un grado de libertad, la transformación de contacto (q, p )  (Q , P ) dada por las relaciones Q  e t qa cos(b p ) , P  e  t qa sen(b p) (los parámetros a, b y  son constantes distintas de cero): A) Es canónica si b a  1 para todo valor de  B) Es canónica si b  1 2 , a  2 , para todo valor de  C) Es canónica si b  2 , a  1 2 , para todo valor de  D) No es canónica, cualesquiera que sean los parámetros. E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta. P9) El Hamiltoniano asociado a un sistema lagrangiano de un grado de libertad es H ( q, p)  p2 2  A( q) p  B( q) , donde A y B son funciones conocidas. Puede asegurarse que A) p B

es una constante del movimiento.

B) L( q, q)  ( q 2  A 2) 2  q A  B C) L( q, q)  q 2 2  q A  B D) L( q, q)  ( q  A)2 2  B E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

P10) El potencial generalizado de un sistema lagrangiano holónomo natural correspondiente a una partícula de



      constante. Las variables generalizadas se corresponden según (q , q , p )  (r , v , p ) . Puede asegurarse que:   A) La función de energía es H (r , v )  T  B) dT dt   0 T    C) La fuerza asociada a U es Q  m 0  r   D) p  m v 

2

 



masa m , posición r y energía cinética T  m v / 2 , es U (r , v )  m0 ( v  r ) 2 , donde 0 es un vector

E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

Ejemplos: 1)

Plantear explícitamente las ecuaciones de Lagrange para una partícula de masa M moviéndose en un triedro inercial y sometida al peso. Usar como coordenadas generalizadas las coordenadas cartesianas de un triedro que se mueve  paralelamente al anterior y su origen (O’) se desplaza con una ley rO ' (t ) arbitraria.

x3

q3

P Mg O’

q1

q2

x2 x1

Solución: 1) x 3

q3

P Mg O’

q1

q2

x2 x1 T  0, q j

    ro ' (t )  xo ' (t )e1  yo ' (t )e2  zo ' (t )e3,      r  ro ' (t )  q1e1  q2e2  q3e3,      r  a1   e1 , a2  e2 , a3  e3 , q1      v  vo '  q1 e1  q2 e2  q3 e3 ,   T  12 M v 2  12 M  vo2  q12  q22  q32        2q1 (vo '  e1 )  2 q2 ( vo '  e2 )  2 q3 ( vo '  e3 )  ,

T    M  q j  (vo '  e j )  ,  q j

  d T  M  qj  (ao '  e j )  , dt  q j         F   Mge3 , Q1  F  a1  0, Q 2  F  a 2  0, Q3  F  a3   Mg ,

M   q1   xo ' ( t)   0,

M  q2   yo ' ( t)   0, M  q3   zo ' (t )    Mg ,

Ejemplos: 2)

Plantear explícitamente las ecuaciones de Lagrange para una péndulo ideal: partícula de masa M moviéndose en un plano vertical y sujeta por un hilo ideal. Usar como coordenada generalizada el ángulo que forma el hilo con la vertical descendente.

z



R P Mg

x

Solución: 2) z 

R

N Mg

   r  R (sin  e1  (1  cos  )e3 ),  r     R (cos e1  sin e3 ), a  )     v  R(cos  e1  sin  e3 ),       F Mge N e e ( sin cos      x 3 1 3 ),

T  12 Mv 2  12 MR 2 2 ,   d T  T   F  a , dt    

M R 2   M gR sin 

Ejemplos: 3)

Una partícula de masa M se mueve en un triedro (O,x,y,z) bajo la acción de una fuerza atractiva desde el origen O del triedro y proporcional a la distancia. Plantear explícitamente las ecuaciones de Lagrange usando como coordenadas generalizadas las coordenadas esféricas de la partícula r , ,  .



z

  F  k r

M

 r

y

x



Solución: 3) z

x



Coordenadas generalizadas: li d

q1, q 2, q 3  r,  , 

    r  r sin  cos e1  sin  sin  e2  cos e3  ,

  F  k r

  r    M ar   sin cos e1  sin  sin  e2  cos e3 , r  r  r     r  cos cos e1  cos sin  e2  sin  e3  , a   y    r  r   sin  sin  e1  sin  cos e2  , a     r       r  a  a , v   q j a j  ra T  12 M r2  r 2 2  r 2 2 sin2 t j       Qr  F  ar   kr, Q  F  a  0, Q  F  a  0,



T 1  M 2 r 2  2 r 2 sin2 ,  T  1 M 2r 22 sin cos , 2 r 2 









T  0, 





z

T  12 M r 2  r 2 2  r 2 2 sin 2 ,       Qr  F  ar   kr, Q  F  a  0, Q  F  a  0,



  F  k r

M

 r



T 1 T 1  2 M 2 r 22 sin cos ,  M 2r2  2r2 sin 2 ,  r 2 y T  0,   T 1 T 1 T 1 2  x  2 M 2r 2 sin 2 ,   2 M  2r  ,  M r 2 , 2    r  d T d T 1   sin cos  ,   2 r 2 , d T  12 M 4 rr sin 2  2 r 2 sin 2  4r 2   M r, M 4 rr   2   dt    dt r d t 























M r  Mr  2   2 sin 2   kr ,

d T T   Q , dt   

  sin cos   0, Mr 2r sin 2  rsin 2  2r 0



Mr 2 r  r  Mr 22 sin cos  0,







d T T   Qr , dt r r d  T T   Q , dt  







Ejemplos: 4)

Una partícula de peso Mg se mueve sin rozamiento sobre la parábola z  a x 2 (donde a es una constante). Plantear la ecuacion de Lagrange para el movimiento de la partícula usando q  x como coordenada generalizada.

z

Mg

x

Solución: 4) z  z  a x2 N Mg

x

q  x,      r   2  i  2axk , ax  r  xi  ax k ,  x     dr   2 ax xk  ,  xi v dt  T  12 Mv 2  12 M  x 2  z 2  

 12 M  x 2  4 a 2 x 2 x 2   12 Mx 2 1  4 a 2 x 2  ,

T T  Mx 1  4a 2 x 2  ,  4 a 2 M x 2 x,  x x

   F   Mgk  N ,

d T  Mx 1  4a 2 x 2   8a 2 Mx 2 x, dt x

  Q x  F  a x   Mg 2ax ,

d T T   Qx , dt x x

Mx1  4a 2 x 2   8a 2Mx 2x  4a 2M x 2x   Mg 2ax , x1  4a2 x2   4a 2 x 2 x   g 2ax ,

Ejemplo(ligadurasnoholónomas ideales): UnapartículadepesoMg semueveenuntriedroinercialx,y,z bajolaacciónde lafuerza deunmuelleideal de constante elástica K K y longitud natural despreciable.Elvectorvelocidaddelapartículaesparaleloencadainstanteal vector

   u( t)  (2  sin t) i  (3  cos  t) j  (4  sin  t) k ,

 siendounaconstanteconocida.ObtenerlasecuacionesdeLagrange que describenelmovimientodelapartícula. z Mg

y

x 11

Solución(ligadurasnoholónomas ideales): Coordenadasgeneralizadasx,y,z,

 v

      yj   zk  v  xi

x y z   , 2  sin  t 3  cost 4  sin t

paraleloa u ( t )

2ligadurasnoholónomas:

(1) : (3  cos t ) x  (2  sin t ) y  0, (2) : (4  sin i  t ) y  (3  cos  t ) z  00,

B11  (3  cos  t ), B12   (2  sin  t), B13  B1  0, B22  (4  sin  t ), ) B23   (3  cos t ), ) B21  B2  0,

T  12 M ( x 2  y 2  z2 ), U  Mgz  1 K ( x 2  y 2  z 2 ), L  T  U , 2          d L L CN   f  i   1 ( B11i  B12 j  B13k )   2 ( B21i  B22 j  B23k )  i , dt  x x        d L L  CN    f  j  1 ( B11i  B12 j  B13k )   2 ( B21i  B22 j  B23k )  j , dt  y  y        d L L  CN    f  k  1 ( B11 i  B12 j  B13 k )  2 ( B21 i  B22 j  B23 k )  k , dt z z

 

 





12

Solución(ligadurasnoholónomas ideales):

x  Kx  1 (3  cos t ), M My  Ky   1 (2  sin  t )   2 (4  sin  t ), ) Mz  Kz  Mg   2 (3  cos  t ), (3  cos t ) x  (2  sin i t) y  00, (1) (4  sin t ) y  (3  cos t ) z  0, (2) Incógnitas:

x( t ), y( t), z( t), 1( t), 2( t),

Condicionesiniciales:

x ( t0 ), y( t0 ), z( t0 ), x( t0 ), y( t0 ), z( t0 ), Compatiblescon(1)y(2)!!

13

Más ejemplos! 1)Determinarlalagrangiana deunpéndulosimple(partículadepesoMg)de longitudR cuandoademássobreelpénduloactúalafuerzadeunmuelleidealde constanteelásticaK. Usarelángulocomocoordenadageneralizadayescribir  laecuacióndelmovimientoapartirdelalagrangiana.

z



R P Mg

x

14

Solución:      r  R (sin  e1  (1  cos )e3 ), a  , v   , 1) z 2 2 2 1 1 T  2 Mv  2 MR  ,



R

N

 2 U  Mgz  K OP  1 2

P Mg

x

 MgR(1  cos  )  KR 2 1  cos     R ( Mg  KR ) 1  cos  ,

L  T  U  12 MR 22  R ( Mg  KR ) 1  cos  , d L L   0, dt    

M R 2  R ( M g  KR ) sin   0

2)UnapartículadepesoMgsemuevesinrozamientosobreelparaboloide,de ejevertical,.Sobre lapartículaactúaademásunmuelleidealde z  ax 2  by 2 constanteelásticaK,cuyoextremoestáfijoalorigendecoordenadas.Determinar lalagrangiana delapartículaysusecuacionesdelmovimientousandox,y,como coordenadasgeneralizadas.

z

P Mg

x

y

16

       r  xi  y j  zk  xi  y j  (a x 2  b y 2 )k ,          y j  zk   y j  2( a xx  b yy )k , v  xi   xi

2)Solución.

z

 T  12 Mv 2  12 M  x 2  y 2  4( a xx  b yy )2  ,  2 U  Mgz  21 K OP 

P

z  ax  2

Mg

x

 Mg ( a x 2  b y 2 )  12 K  x 2  y 2  ( a x 2  b y 2) 2 ,

y L  T U 

 12 M  x 2  y 2  4(a xx  b yy ) 2   Mg (a x 2  b y 2 )  12 K  x 2  y 2  ( a x2  by 2 ) 2  , L  M  x  4 a x( a xx  b yy )  ,  x L 1  2 M 8( axx  byy ) ax   2 Mg ax  21 K  2 x  y 2  4 ax( a x 2  b y 2 )  x 17

L  M  y  4b y ( a xx  b yy ) , y

L 1  2 M  8(axx  byy )ay   2Mgby  21 K  2y  x 2  4by (ax 2  b y 2 )  y d L  , dt x

d L  , dt y

d L L   0, dt x x

M (1  4a 2 x2 )  x  x  2agM  K   2a 2 Kx 3 

d L L   0,  dt y y

M (1  4b2 y2 )  y  (2bgM  K ) y  2b2 Ky 3 

 x 2 abKy 2  4 aM ( ax 2  by 2 )  4abMyy   0, 0

 y  2abKx 2  4bM (ax 2  by 2 )  4 abMxx  0, 18

Ejemplosdesistemasconleyesdeconservación“triviales” 1)

z



R P Mg

x

L  T  U  12 MR 2 2  R ( Mg  KR ) 1  cos   ,

L E ( , )    L   2 2 1 T  2 MR  ,

L ( , )

constante

E  T  U  12 MR2 2  R( Mg  KR)  1  cos   constante

Ejemplosdesistemasconleyesdeconservación“triviales” 

z

2)

  F  k r

q  r, , 

M

 r

Mg

y

x



U  12 kr 2  Mgr cos ,



L  T  U  L ( r,  ,  , r, , , t ),

E  T  U  const

p 



T  12 M r 2  r 2 2  r 2 2 sin 2 ,

L 2  2 Mr sin     const. 

2leyesde conservación

3) Una partícula de masa M se mueve respecto de un triedro inercial sometida al peso. Usar como coordenadas generalizadas las coordenadas cartesianas de un triedro que se mueve paralelamente al anterior y su origen (O’)  se desplaza con una ley r (t ) arbitraria. O'

x3

q3

P Mg O’

q1

q2

x2 x1

x3

q3

P Mg O’

q1

q2

x2 x1

    ro' (t )  xo ' (t )e1  y o ' (t )e2  z o ' (t )e3 ,      v  vo '  q1 e1  q2 e2  q3 e3 ,  T  12 M v 2  12 M (q 3  zo ' ) 2 



 12 M (q1  xo ' ) 2  ( q2  yo ' ) 2  , U  Mgx3  Mgq3  Mg zo' ( t),

L  T U ,

L L  0,  p1   M ( q1  xo )  const  c1 , q1 q1 L L  0,  p2   M ( q 2  y o )  const  c2 ,  q2 q 2 

N Noexi istelaleydeconservaciónparaarbitrario! t l l d ió E ( q, q ) ro ' (t ) bit i !

d M ( q 3  zo ' )  Mg  0, M (q3  zo ' )  Mg t  const dt d Equivalentea: ( q 3  zo ' ) M ( q 3  zo ' )  Mg ( q 3  zo ' )  0, dt 1 2

M ( q 3  zo ' )2  Mg ( q3  zo ' )  const

4) UnapartículadepesoMg semueveenuntriedroinercialx,y,z bajolaacciónde lafuerza deunmuelleideal de constante elástica K K y longitud natural despreciable.Elvectorvelocidaddelapartículaesparaleloencadainstanteal vector

   u( t)  (2  sin  t) i  (3  cos  t) j  (4  sin  t) k , siendounaconstanteconocida.ObtenerlasecuacionesdeLagrange que  describenelmovimientodelapartícula. 2 2 2

L  T  U,

z Mg

T  12 M ( x  y  z ),

U  Mgz  12 K ( x 2  y 2  z 2 ), Enlascoordenadasx,y,z

y

x L  0, B1  0 t

E  T  U  const. 23

• a)Ejercicio. ) Ej i i

(x B , y B ) Encontrar lacurva plana y ( x) que une lospuntos ( xA , y A ) y,teniendo lalongitud más corta. B

s AB   ds  A

xB



1  y (x )2 dx , con

xA

F  1  y ( x) 2



d  y  dx  1  y 2

y (xA )  yA , y ( xB )  yB ,

   0,   



y 1  y

2

d F  F   0, dx y  y

 const  y ( x)  const . 

y  c2  c1 x ,

 y  yA   yB  yA  y  yA  xA  B  x x x x x   A   B A   B

24

1)Ejercicio.Dinámica relativista. 

Un electrón relativista se mueve en el seno de un potencial . La U (r , t ) lagrangiana de dicha partícula es L  mc 2 1  v 2 / c 2  U ( r ,t ), siendo m y c la masa del electrón y la velocidad de la luz en el vacío. Determinar a partir del Principio de Hamilton las ecuaciones del movimiento de dicha partícula.

25

Ejemplo1 (ejercicionº2deapuntes). DospartículasdemasasM1 yM2 estánunidasatravésdeunhiloidealquepasaporun agujerotaladradoenelplanohorizontal(sinrozamiento)delafigura.Determinar:Variedad de configuración fuerzas generalizadas ecuaciones de Lagrange etc deconfiguración,fuerzasgeneralizadas,ecuacionesdeLagrange,etc.

z

y



1

 x

g 2

z

y

g

Partícula1: ( x , y )

Th



 x

x , x 1

2

, x 3   x , y , z

m1 , m2 , m3   M1 , M1 , M 2 ;

  e ; e2 

M1 M 1 M 2

  e2 ; e3 

M2 M 1 M

   ; e1  e 2 3

       r  xe1  ye2  ze3 ; f   M 2ge 3  f 1CH   Th

 f1 CH

x

  e ; e 2 

  e ; e3 

M 1 M 2 M1 1

x x2  y 2

 e 1  Th

M 1 M 2 M1 2

y x2  y 2

M 1 M M2

 e1 

y

  e2 x2  y2  e 3 ,

x2  y 2 x2  y 2  x y   T  e1  e2  h e3 ;  T h   x2  y 2 Th  x2  y 2 

2

 e3;

...