Matemática financiera. Ejercicios resueltos y propuestos PDF

Preview

Summary

EJERCICIOS PROPUESTOS...

Description

PRIMERA EDICION

Matematica Financiera Ejercicios Resueltos y Propuestos

Milton Efraín Guamán Flavio Florencio Parra Carlos Patricio Ruales Dieter Alfredo Kolb Carlos Clavijo Quito, Noviembre del 2015

Quito, Noviembre del 2015

DATOS DE LOS AUTORES

Ing. Milton Efraín Guamán Msc. MBA. Profesión:

Ingeniero Informático Magister en Finanzas y Gestión de Riesgos Magister en Dirección de Empresas

Docencia:

Universidad Central del Ecuador Universidad Politécnica Salesiana Universidad Internacional del Ecuador Instituto de Altos Estudios Nacionales – IAEN Fundación Tecnológicas de Latinoamérica – FATLA

Correo:

[email protected]

Ing. Flavio Florencio Parra Profesión:

Ingeniero Civil

Docencia:

Universidad Central del Ecuador Universidad Politécnica Salesiana

Correo:

[email protected]

Ing. Carlos Patricio Ruales Mgt. Profesión:

Ingeniero Administración de Empresas Magister en Administración Pública

Docencia:

Universidad Central del Ecuador Universidad Politécnica Salesiana

Correo:

[email protected]

2

Ing. Dieter Alfredo Kolb MBA. Profesión:

Ingeniero en Sistemas Ingeniero Comercial Magister en Administración de Empresas

Docencia:

Universidad de las Fuerzas Armadas “ESPE” Universidad de las Américas Universidad Central del Ecuador

Correo:

[email protected]

Ing. Carlos Clavijo Profesión:

Ingeniero Civil

Docencia:

Universidad Central del Ecuador Universidad Politécnica Salesiana

Correo:

[email protected]

3

INTRODUCCIÓN

La matemática financiera trata sobre temas básicos relacionados con: porcentajes, logaritmos, progresiones, interés simple, tasa de interés, gráficos de tiempos y valores, descuentos, documentos financieros, ecuaciones de valor y cuentas de ahorro, interés compuesto y depreciaciones, cuyo conocimiento permitirá al estudiante encontrar soluciones a problemas que se presentan en la vida práctica relacionadas con el ámbito financiero, mercado de capitales, inversiones, ahorros y de manera general en las diferentes transacciones

4

IMPORTANCIA

Dentro del mundo de los negocios, el futuro profesional se enfrentará en muchas ocasiones a tomar decisiones que involucran la inversión adecuada de los recursos con que cuenta o a la disponibilidad de los mismos por lo tanto es necesario que tenga los conocimientos que involucran a la Matemática Financiera.

La Matemática Financiera es de importancia pues le permitirá al estudiante, en el momento que desempeñe un cargo en los niveles de apoyo o de dirección en una empresa sea pública o privada, tenga las técnicas, herramientas y destrezas para la toma de decisiones; entonces, deberá revisar documentos y emitir una opinión profesional decisiva y definitoria sobre estudios y proyectos o informes realizados, que necesariamente contendrán cálculos matemáticos y sobre todo financieros, para ver si es rentable o no una inversión.

En el mundo actual, donde la economía se ha globalizado y que gracias al apoyo de la cibernética se ha dado una verdadera revolución; pues las negociaciones y transacciones financieras y afectaciones, se hacen en tiempo real, por lo que se requiere poseer sólidos conocimientos financieros que permitan aprovechar las oportunidades que se presentan en el mercado y tomar las medidas precautelatorias cuando estas puedan afectar las finanzas de la empresa.

5

INDICE DE CONTENIDOS

CAPÍTULO I ............................................................................................................................ 7 1. GENERALIDADES ......................................................................................................7 1.1.

LOGARITMOS Y PROGRESIONES ................................................................. 7

1.2.

INTERÉS SIMPLE ............................................................................................19

1.3.

DESCUENTOS ................................................................................................. 34

1.4.

ECUACIONES DE VALOR Y CUENTAS DE AHORRO ............................... 46

CAPÍTULO II .........................................................................................................................66 2. INTERÉS COMPUESTO DEPRECIACIONES .......................................................66 2.1.

INTERÉS COMPUESTO DEPRECIACIONES............................................... 66

ANEXOS ............................................................................................................................... 96 APENDICE 1

EL PORCENTAJE: APLICACIONES................................................... 96

APENDICE 2

LOGARITMOS: APLICACIONES ....................................................... 107

APENDICE 3

PROGRESIONES: APLICACIONES ................................................. 118

APENDICE 4

INTERES SIMPLE: APLICACIONES ................................................ 135

APENDICE 5

DESCUENTOS: APLICACIONES...................................................... 152

APENDICE 6 ECUACIONES DE VALOR Y CUENTAS DE AHORRO: APLICACIONES ............................................................................................................. 166 APENDICE 7

INTERÉS COMPUESTO: APLICACIONES ......................................183

APENDICE 8

DEPRECIACIONES: APLICACIONES .............................................. 205

APENDICE 9

TASA NOMINAL, TASA EFECTIVA Y TASAS EQUIVALENTES ... 220

BIBLIOGRAFÍA Y NETGRAFÍA ........................................................................................ 233 BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................... 233 NETGRAFIA ...................................................................................................................233

6

CAPÍTULO I 1. GENERALIDADES 1.1.

LOGARITMOS Y PROGRESIONES

CONCEPTOS PRINCIPALES

Porcentaje:

Se conoce también con el término tanto por ciento y se define como la proporcionalidad que se establece con relación a cien unidades y se expresa con el símbolo ( % ). Cualquier número que esté expresado en forma decimal se puede escribir como porcentaje recorriendo el punto decimal dos lugares a la derecha y agregando el símbolo de % y viceversa. El porcentaje puede también expresarse en forma fraccionaria sobre todo en las tasas de interés. Logaritmos:

Se considera para el estudio solamente la parte que tiene relación con las matemáticas financieras. Se estudiará la forma de cálculo de las variables n e i. El logaritmo de todo número es un exponente. El logaritmo de un producto es igual a la suma de sus logaritmos. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. El logaritmo de una potencia es igual a la potencia por el logaritmo del número. Progresiones:

Son una serie de términos en la que cada término posterior al primero puede obtenerse del anterior; sumando, multiplicando o dividiendo por una diferencia o razón común. El estudio incluye las progresiones que tiene aplicación a las matemáticas financieras. Progresión Aritmética: Es una sucesión de términos, en la que cualquier término posterior al primero se obtiene sumándole un número constante llamado diferencia común.

7

Progresión Geométrica: Es una sucesión de números tales que cada uno de ellos se encuentra del anterior multiplicándole o dividiéndole por una cantidad constante llamada razón.

Progresión Geométrica infinita: Es una variedad de progresión geométrica cuya razón está entre menos 1 y 1.

Explicaciones y ejemplos:

1. Leer el problema con detenimiento y concentración tantas veces que sean necesarias hasta entender en forma precisa el alcance de los datos que se proporciona y la variable desconocida que se debe calcular. 2. Determinar la variable o cantidad desconocida mediante una letra. Observe que ciertas frases que se incluyen en el problema como: encuentre cuál es, cuánto será etc.; constituyen las variables que debemos calcular. 3. Despejar de la fórmula la variable desconocida y reemplazar con los datos conocidos la ecuación. 4.

Efectuar los cálculos y verificar las soluciones obtenidas.

Las siguientes páginas incluyen diversos ejemplos sobre cada uno de los temas incluidos en el bloque I con el procedimiento de cálculo. El éxito del estudio y el adecuado aprendizaje radica en el análisis de cada uno de ellos y en volverlos a resolver sin mirar la solución, esto le permitirá y ejercitará para que resuelva los ejercicios propuestos al final del presente bloque.

APLICACIONES SOBRE PORCENTAJES 1.1 . Calcular el 200% de 48,000 usd Por la regla de tres simple 48,000 100% X 200%

X

48,000 x 200% 96,000usd 100%

Directamente : 48,000* 2 = 96,000 usd 1.2 . Calcular el 50 1/ 2 % de 30,000 usd Por la regla de tres simple 8

30,000 X

X

100% 50.5%

30,000 x 50.5% 100%

5,150usd

Directamente : 30,000 * 0.505 = 15,150 usd 1.3 Qué porcentaje de 1,000 usd es 71.25 usd Por la regla de tres simple 1,000

100%

71.25

X

X

71.25 x 100% 1,000

7.125 %

Directamente : 0.7125 / 1,000 = 7.125% 1.4 Una empresa comercial ofrece en venta refrigeradoras, cuyo precio de lista es de 650 usd, con un descuento del 20% por venta al contado y con el 12% de IVA. Calcular: a) El valor de la factura a pagar b) El descuento efectivo c) El porcentaje efectivo que beneficie al cliente. a)

Valor de la factura a pagar 650

- 130 520 +

62.40 582.40

b)

Precio de lista (PL)

20% descuento ( 650 * 0.20 ) Precio con descuento 12% impuesto (520 x 0.12) Valor de la factura

Descuento efectivo (D.E.)

D.E = precio de lista - valor de la factura D.E = 650 - 582.40; D.E= 67.60 usd

9

c)

Porcentaje efectivo que beneficia al cliente

% efectivo =

D.E Precio de lista

=

67.60

= 0.104 = 10.4%

650

APLICACIONES SOBRE LOGARITMOS Y EXPONENTES

1.1

Calcular i

3.24 + ( 1 + i ) 50

=

6.345242 - 1

Solución: ( 1 + i ) 50 = 6.345242 - 1 - 3.24

( 1 + i ) 50 = 2.105242 ( aplico logaritmos a ambos lados )

log ( 1 + i ) 50 = log ( 2.105242 )

50 log ( 1 + i ) = log ( 1 + i )

=

log ( 2.105242 ) log ( 2.105242 ) 50

log ( 1 + i ) = 0.006446041 ( obtengo el antilogaritmo a ambos lados ) 1+ i = Antilog ( 0.006446041 ) i = Antilog ( 0.006466041 ) – 1 i = 1.014999996 - 1 = 0.01499 = 1.499% ; i = 1.5% 1.2

Calcular n

(1 + 0.12125) n = 0.001042 Solución: log ( 1 + 0.12125 ) n = log ( 0.001042) n log ( 1.12125 ) = log ( 0.001042 ) log (0.001042) n=

-2.982132281 =

= - 59.9997 = - 60

10

log (1.12125)

0.049702456

n = - 60 APLICACIONES SOBRE PROGRESIONES 1.1. Una persona se compromete a pagar en forma ascendente durante 24 meses, una deuda por la compra de un automóvil: El primer pago 800; El segundo 840; el tercero 880 y así sucesivamente. ¿Cuánto habrá pagado en total durante los 24 meses? Solución: Es una progresión aritmética cuya serie de términos es: 800, 840 880,... a = Primer término = 800 d = diferencia común = 840 - 800 = 40 n = número de términos = 24 u = último término = a + ( n – 1 ) d u = 800 + ( 24 –1 ) 40 = 1.72 S = suma de términos = n/2*(a+u) S = 24/2*(800+1.720)

S = 30,240 usd 1.2 Una empresa tiene ventas anuales por 500,000 usd. Desea incrementar el 12% anual ¿Cuánto venderá al inicio del año 12? Solución: Es una progresión geométrica a = primer término = 500,000 segundo término = 500,000 ( 1 + 0.12 )= 560,000 tercer término = 560,000 ( 1.12 ) = 627,200 es decir: la progresión es. 500,000; 560,000; 627,200 r = razón = 1+12% = 1.12 n = 12 u =ar

n

= 500,000 * 1.12

12

;u=1’739,275usd (ventas al inicio del año 12)

1.3 Hallar la suma de la progresión geométrica infinita 1, ¼; 1/16, 1/64,.. Solución: a = 1, r = ¼

s

a 1- r

1 1 - 1/4

1 1 - 0.25

1 0.75

.3333

11

EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN a) Resolver los siguientes ejercicios: 1. Un electrodoméstico tiene un precio marcado en 250 usd. Sobre este precio se carga un impuesto igual al 10% ; una vez que ha sido cargado se aplica un nuevo impuesto equivalente al 4% del total ¿Cuál será el valor de la factura que el cliente debe pagar? 2. Calcular n en la ecuación 5,225 ( 1 + 0.0255 )

n

= 3,750

3. Una persona debe el día de hoy 4,000 usd. De acuerdo mutuo con el acreedor decide pagar 400 usd cada 6 meses al que se debe incluir una tasa de interés del 2 ½% de su obligación, hallar el interés total que debe pagar. 4. Una computadora fue adquirida en 2,000 usd, la depreciación mensual es del 5 %. ¿Qué valor tendrá la máquina después de 24 meses de uso? b) VERDADERO O FALSO

Marque una X si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. AFIRMACIÓN

V

F

Porcentaje es la proporcionalidad que se establece con relación a cada Unidad. La vida útil de un activo se estima con base en la experiencia e informes de expertos o fabricantes. El logaritmo del cociente de dos números es igual al logaritmo del numerador más el logaritmo del denominador. En una progresión geométrica, cada término se obtiene multiplicando o dividiendo del anterior por una cantidad constante llamada diferencia común. En una progresión geométrica infinita, la razón es mayor a 1.

c) CASAMIENTOS

12

Una con líneas los siguientes definiciones con los conceptos correspondientes. DEFINICIONES Depreciación

CONCEPTOS Valor a la fecha de compra

Vida útil

Valor del activo cuando deja de ser útil

Costo inicial

Duración probable del activo

Valor de salvamento

Pérdida del valor

Auto evaluación Hasta el momento cual es su evaluación: excelente, bien, regular o mal. Si no se evalúa por lo menos de “Bien”, debe volver atrás o elaborar un plan remedial para superar las deficiencias; usted puede, hágalo con entusiasmo. Por otro lado si se siente bien o excelente, ADELANTE Y FELICIDADES.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Resolver:

a) 50 ½% de 30,000 b) 0.5 1/8% de 1’000,000 c) 9 2/8% de 10,000

2.- Qué porcentaje de:

a) 20,000 es 2,212.50 b) 200 es 500 c) 0.25 es 0.005 3.- De qué cantidad es:

a) 820 el 11 1/16% b) 1.15 el 25% c) 25,000 el 20.4% 13

4.- Una empresa ofrece a la venta refrigeradoras cuyo precio de lista es de $650 con un descuento del 12% por venta al contado y con el 5% de impuesto a las ventas. Calcule los siguientes ítems: a) el valor de la factura a pagar; b) el descuento efectivo; c) el porcentaje efectivo que beneficia al cliente.

5.- Un comerciante compra mercadería por un valor de $180,000 y la vende en $270,000. Calcule los siguientes ítems: a) la utilidad; b) el porcentaje de ésta en relación con el precio de costo; c) el porcentaje en relación con el precio de venta.

6.- Calcule i : a) 3.24 b) 1

i

1 i 35

50

6. 345242

1

28 . 666723

7.- Calcule n : n

a) 1 0. 061222 b)

1 0.12125

n

0 .0000841 0. 001042

8.- Encuentre los términos 20 y la suma de los 20 primeros términos de las progresiones:

a) -3 ; -2 ; 4 ; -1 ; 8 ; … b) 0; 3x ; 6x ; … c) x ; -6x ; -12x ; … 9.- Una empresa desea la estabilidad de sus empleados y mantiene una política de incremento de salarios. Si el salario inicial de un nuevo empleado es de $ 460 y se considera un incremento anual del 10%. ¿Cuál será el sueldo del empleado después de 15 años?

14

10.- Una persona se compromete a pagar en forma ascendente durante 24 meses una deuda por la compra de un automóvil; el primer pago $800; el segundo $840; el tercero $880 y así sucesivamente. ¿Cuánto habrá pagado en total durante los 24 meses?.

11.- Encuentre el 10mo término y la suma de los 10 primeros términos de las siguiente progresiones geométricas;

a) -2 ; 4 ; -8 ; 16 ; … b) 1 ; 2 ; 4 ; 8; …

12.- Encuentre la suma de las siguientes progresiones geométricas infinitas:

a) 1 ; 1/5 ; 1/25 ; 1/125 ; … b) 1 ; ¼ ; 1/16 ; 1/64 ; …

13.- El monto de un depósito después de n años, cuando el interés es compuesto, está dado por la fórmula C 1

n

. Si i es la tasa de interés y C es el capital inicial depositado:

a) encuentre los primeros tres términos de la progresión; b) determine la razón.

14.- Si una persona deposita $50,000 al 12% de interés compuesto acumulable anualmente, ¿cuánto ha acumulado al finalizar el año 12?

15.- Suponiendo que un documento paga el 9% de interés compuesto anual; si se invierten &187,500 ahora y luego de un tiempo se obtienen $270,000, ¿Cuánto tiempo ha transcurrido?.

15

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN.

1. Un electrodoméstico tiene un precio marcado en 250 usd. Sobre este precio se carga un impuesto igual al 10% ; una vez que ha sido cargado se aplica un nuevo impuesto equivalente al 4% del total ¿Cuál será el valor de la factura que el cliente debe pagar?. Solución:

250 + 25

Precio de lista Impuesto ( 250 * 0,10 )

275 + 11

Precio con impuesto Impuesto ( 275 * 0,04 )

286

Valor de la factura (paga cliente)

2. Calcular n en la ecuación 5,225 ( 1 + 0.0255 )

n

= 3,750

Solución: 5,225 (1 + 0.0255 )

n

= 3,750

( 1 + 0.0255 )

n

=

( 3,750 / 5,225 )

- n log ( 1 + 0.0255 ) = log ( 3,750 / 5,225 )

log ( 3,750 / 5,225 ) 5. n = log ( 1 + 0.0255 ) 16

log ( 3,750 / 5,225 ) n=-

- 0.144055 = 13,173

= log ( 1 + 0.0255 )

0.01093567

3. Una persona debe el día de hoy 4,000 usd. De acuerdo mutuo con el acreedor decide pagar 400 usd cada 6 meses al que se debe incluir una tasa de interés del 2 ½% de su obligación, hallar el interés total que debe pagar.

Solución : i = 2.5 % semestral = 0.025 ; t = 1 4,000 # de pagos que debe efectuar: 400

= 10 pagos

Saldo Inicial = 4,000 Interés del primer pago = I = c.i.t. = 4,000 * 0.025 = 100 Saldo luego del primer pago = 4,000 - 400 = 3,600 Interés del segundo pago = I = C.i.t. = 3,600 * 0.025 = 90 Saldo luego del segundo pago =3,600 - 400 = 3,200 Interés del tercer pago = I = C.i.t. = 3,200 * 0.025 = 80 y así sucesivamente.

El interés total pagado será la suma de lo...