Ejercicios UD 5 Derivadas para ebau PDF

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Derivadas con soluciones para preparar ebau...

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Departamento de Matemáticas. IES Azorín.

BLOQUE 2. FUNCIONES ELEMENTALES Y DERIVABILIDAD

1º Bachillerato Matemáticas I U.D. 5 DERIVADAS EJERCICIOS

1. Utilizando la definición de derivada obtén la derivada de las siguientes funciones en los puntos indicados: a) f ( x ) = x 2 − 1 en x =1

b) f ( x ) =

1 en x = 0 x +1

c) f ( x ) = 2x + 1 en x = 3

2. Utilizando la definición obtén la función derivada de las siguientes funciones: a) f ( x ) = ( x − 1)

b) f ( x ) =

2

1 x

c) f ( x ) =

x

3. Utilizando la tabla de derivadas inmediatas y las reglas de derivación, calcula la derivada de estas funciones:

2 b) f ( x) = tg( x +1)

x2 + 1 x +1 m) f ( x ) = senx  ln x

c) f ( x) = 3 x -1

n) f ( x ) = senx

x−5 2x + 3 2 e) f ( x ) = x  senx

ñ) f ( x) = ( x2 + 3)3

l) f ( x) =

a) f ( x) = 3 x − 5 x − x + 7 4

3

2

d) f ( x ) =

o) f ( x ) = x 3 − 3x p) f ( x) = ln( x2 + x +1)

3 f) f ( x ) = sen x

g) f ( x ) =

6 x2 -4x + 2 4 r) f ( x ) = 1+ 2x − x 2

q) f ( x ) =

x  cos x 2

x(cos x + e x ) ex 1 i) f ( x ) = senx + cos x 2 x j) f ( x ) = x e x 2 +1 k) f ( x ) = 2 x -1 h) f ( x) =

s) f ( x ) = − 3x 4 + 3x 2

x −2 2 2 x - 3x + 2 u) f ( x ) = x2 +1

t) f ( x ) = x 

3 4. Considera la función f ( x ) = x

a) Halla los puntos de la función en los que la recta tangente sea paralela a la recta de ecuación −3 x + y − 7 = 0 . b) Halla las ecuaciones de dichas rectas tangentes. c) Halla las ecuaciones de las rectas normales a f ( x ) en dichos puntos. 3 2 5. Halla el valor de k para que la función f ( x) = x + kx −3 x tenga un extremo relativo en x = 3 . ¿Se trata de un máximo o un mínimo?

6. Dada la función f ( x) = ax − x2 + b halla a y b para que esta función tenga un mínimo relativo en el punto

( 2,7 )

7. Estudia la siguiente función: f ( x ) =

4− x x 2 −1

a) Dominio. b) Cortes con los ejes. c) Simetría. d) Regiones. e) Asíntotas. f) Monotonía y extremos relativos. g) Curvatura y puntos de inflexión. h) Gráfica

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Matemáticas I BLOQUE V. DERIVADAS

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U.D. 11 DERIVADAS

 4 − ( x + 3)2 8. Razona y justifica por qué la función f ( x ) =   x + 1 Es continua en x = −1 pero no es derivable.

si x  − 1 si x  − 1

9. Demuestra que f ( x ) = ln x es cóncava hacia abajo. 10. Estudia la curvatura y puntos de inflexión de la función f ( x) = x4 − 6 x2 11. Halla la función derivada de cada una de las siguientes funciones. a)

f ( x ) = 2x 4 + x 3 − x 2 + 4

d)

f ( x) =

g)

f ( x) = x

j)

f ( x) =

b)

x+1 x −1

3

(

h) f ( x ) =

2

)(

1 3 x2 5 3 f) f ( x ) = 5 + 2 x x

c) f ( x ) =

)

4

3

2

3 x3

( x + 2 )2 +

o)

y =6

r)

y = 6 x . cos 2(4 x)

)

2

1 x

3− x k) f ( x ) = e

m) f ( x ) = ln 2 x − x + 3x − 3x x

x3 + 2 3

e) f ( x ) = 5 x − 3  x + x + 4

x2 + 1 x2 − 1

(

f ( x) =

i) f ( x ) =

e 2x x2 ñ) f ( x ) = arctg x

l) f ( x ) =

2

(

n) f ( x ) = arcsen 1 − 2 x

2

)

 x+ 2  y = ln    x− 2 

p)

x2 − 2 x + 3

(

)

q) y = ln x + 2 x 3

4

3

12. Siendo f ( x ) = 2x4 , calcula sus derivadas sucesivas. 4 13. Conocidas las funciones f ( x ) = 3x + 5 y g ( x ) = 2x , calcula la derivada de f

14. Calcula las derivadas de las funciones siguientes: a)

f ( x) = 6

e) f (x ) =

b)

7x 3 + 3 7x 3 −3

i) f ( x) = ln ( ln ( x) )

f ( x) =

x2 +1 x 2 +1

3

f) f (x ) =

j)f (x ) = x 2 a a 2 x e− x

c) f ( x ) = 3x

d ) f ( x) = 5 3 x +1

)

4 o) f ( x ) = ln  3x 2 (5x 3 − 7 )   

3

g ) f ( x ) = x2 − ( 4 x − 7 )

h) f ( x) =

k) f ( x) = e−2 x

l) f ( x) = 5 x +1

3

p) f ( x ) =

5

( 2x + 5)

2

2

n) f ( x) = log ( x3 − 2 x )

m) f ( x) = ln(3x 2 + 5)

(

2 x6

1 + x  ñ) f ( x ) = ln    1-x 

1

(x

5

− x2 + 3)

5

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Matemáticas I BLOQUE V. DERIVADAS

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U.D. 11 DERIVADAS

15. Calcula la derivada de las siguientes funciones: 2

x − 10x − 32 5 3

a) f ( x) = 7 + x − x 3

b) y =

d ) y = (7 − x )

e) y =

g ) y = ln (2 x − 1 )

h ) f ( x ) = e 4 x ( x − 1)

2

( x − 1)

2

4

c) y = −

x x + − 17 3 2

f ) f (x ) =

j) y = 

−2x2 3− x

log 2

e5 cos( − )

16. Una pelota lanzada hacia arriba desde una altura de 2 metros, sigue la ecuación de movimiento dada por la función 2 h (t)= 2 + 25 t - 4,9 t , siendo h la altura en metros y t el tiempo en segundos. Calcula la velocidad media entre los instantes 1s y 2s. Calcula las velocidades instantáneas en esos dos instantes. ¿Cuál es el punto más alto que alcanza la pelota? 17. Una función polinómica de grado 3 verifica que f(1)=1 ,f´(1) = 0 y f´´(1)=0. Calcula los coeficientes del polinomio. 18. Escribe La ecuación de la recta tangente a la curva recta 4 x − 2 y + 5 = 0

y = x2 + 4 x +1 que es paralela a la

2

19. Dada la función f(x)=3x- 2x , calcula su función derivada y las ecuaciones de las rectas tangente y normal a su gráfica en el punto de abcisa x o = −1. 20. Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva de ecuación f(x)=x 3 −3x 2 + 2 en el punto de abcisa x 0 = −1. 21. ¿En qué punto de la curva f(x)=

1 2 x −1 la recta tangente es paralela a la bisectriz del 2

primer cuadrante? 22. Dada la función y= x − 6x + 9 2

a) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva en un punto de abcisa x = -3. b) Calcula en qué punto de la curva la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

f (x ) = ax 4 + 3bx 3 − 3x 2 − ax , calcula los valores de a y b sabiendo que la recta tangente en el punto (−1, 1) es paralela a la recta y = 2x - 3. 2 x3 + 2 x + a si x 1 24. Dada la función f(x)=  Calcula a y b para que la función sea bx 2 + 1 si x  1 23. Dada la función

derivable en 25. Dada la siguiente función

f ( x) =

x estudia: x −1 2

a) Dominio y puntos de corte con los ejes. b) Continuidad c) Monotonía y extremos relativos. d) Asíntotas y regiones e) Gráfica. f) Ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa x = 3

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a) Dominio y asíntotas.  b) Simetr ías y cortes con los ejes. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Máximos y mínimos, si los hay.  e) Una representaci ón aproximada de la misma.

3

26. Dada la curva: y =

x

( x − 2)

2

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, se estudia:

27. En un laboratorio depositamos en un producto una colonia inicial de 4.000 hongos. La función que nos da el número de hongos en la colonia en función del tiempo que transcurre, en días es

f ( t ) = 4000  3t .

Calcula:

a) El número de hongos existentes en la colonia al cabo de 5 días. b) La tasa de variación instantánea de crecimiento de la colonia al cabo de 5 días. c) ¿En qué momento la velocidad instantánea de crecimiento es de 9610660,3 hongos \ día? 28. Prueba que la función f(x) =

x2 + x x

, es estrictamente creciente en R − .

29. Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la función

h ( x ) = − x2 en los puntos x = 2 y

x = -2. 30. Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función

f ( x) = x 3 − 6x 2 .

31. Estudia el crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos de la función: f ( x) = x 3 − 9x 2 + 24x − 20 . 32. Determina los extremos relativos de la función f ( x) = x 3 − 3x 33. Obtén A, B y C para que la función

f

(x ) =

Ax 2 + Bx + C

pase por el punto

(4,6) y tenga un mínimo en el punto (2,-2). 3 2 34. Estudia la curvatura de la función f ( x ) = x − 6x + 9x .

35. Determina los valores de m para que la siguiente función: f (x ) = x 4 + 4x 3 + mx 2 + 3x − 2 sea cóncava hacia arriba para todo x € R. 36. Representa gráficamente las siguientes funciones: a) f(x) = x − 3x + 2 . 3

e) f(x) =

x −1 x2 +8

37. Dada la función

x2 b) f(x) = 2−x

c) f(x) =

 ex si x  -1  2 -1< x...