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Álgebra lineal Selectividad CCNN 2009

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1. [ANDA] [JUN-A] Sean F1, F2 y F3 las filas priemra, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz B de orden 3, cuyo determinante vale -2. Calcula, indicando las propiedadeds que utilices: a) El determinante de B-1. 4

b) El determinante de Bt Bt es la matriz traspuesta de B . c) El determinante de 2B. d) El determinante de una matriz cuadrada cuyas filas primera, segunda y tercera son, respectivamente, 5F1-F3, 3F3 y F2. 2. [ANDA] [JUN-B] Una empresa envasadora ha comprado un total de 1500 cajas de pescado en tres mercados diferentes, a un precio por caja de 30, 20 y 40 euros respectivamente. El coste total de la operación ha sido de 40500 euros. Calcula cuánto ha pagado la empresa en cada mercado sabiendo que en el primero de ellos se ha comprado el 30% de las cajas.

3. [ANDA] [SEP-A] a) Discute según los valores del parámetro  el siguiente sistema:

3x + y =0 x + z =  x + y + 3z = 1

b) Resuélvelo para  = 0. 1 -2 1 -2 1 3 1 0 4. [ANDA] [SEP-B] Sean las matrices A = -2 -1 1 , B = y C = 1 -2 . -1 2 1 1 0 -1 0 3 Determina la matriz X que verifica AX-Bt = 2C

Bt es la matriz traspuesta de B . x+

5. [ARAG] [JUN] a) Discutir y resolver en función de los valores del parámetro m el sistema lineal

y+

z=1

mx + m2y + m 2z = 1 2 mx + my + m z = 1

2

0 a a 0 1 1 b) Teniendo en cuenta que 1 0 1 = 2, determinar el valor del determinante a-1 0 a . 1 1 0 a-2 a-1 0

6. [ARAG] [JUN] a) Dada la matriz A =

1 0 0 n 1 1 0 , calcular la inversa de la matriz A . 0 0 1

b) Estudiar para qué valores del parámetro  existe un único polinomio P(x) = a+bx+cx2 que satisface P(0) = , P(1) = 0, P(-1) = 0.

7. [ARAG] [SEP] a) Sean las matrices A =

2 a 1 0 de orden 2. Hallar la relación entre los parámetros a, b, c para que se ,I= 0 1 b c

verifique que A-1 = 2I-A. 1 -2 1 b) Calcular, en función de los valores del parámetro k, el rango de la matriz B = 1 1 3 . 5 -1 k a b c 8. [ARAG] [SEP] a) Resolver el siguiente determinante sin usar la regla de Sarrus: -a+c -b-a -c+b . a+c b-a c+b -1/2 3/4 b) Para M = , calcular Mn, con n  N. 1 1/2

9. [ASTU] [JUN] Dado el número real a, se considera el sistema

x-ay+z = a ax-y+z = 1 -ax-y+z = a

a) Discuta el sistema según los valores de a. b) Resuelva el sistema para el caso a = 2.

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0 1 3 10. [ASTU] [JUN] Se consideran las matrices P = 2-a 1 a y Q = 3 3 a a) Según los valores de a, estudie el rango de P. b) Para el caso a = 1, halle X tal que P·X = Q.

1 0 1 0 2 -1 . 1 1 2

1 1 1 11. [ASTU] [SEP] Dado el número real m, se considera la matriz A = 1 m 1 . m 1 1 a) Halle los valores de m para los que la matriz A tiene inversa. b) Para m = 2, halle, si existe, la inversa de A. -4 c) Para m = 2, calcule el vector X que verifique A·X = B, siendo B = 1 . 4 2y+az = a 12. [ASTU] [SEP] Se considera el sistema (a-2)x+y+3z = 0 . (a-1)y = 1-a a) Estudie el sistema, según los valores de a. b) Resuélvalo cuando sea compatible indeterminado. 13. [C-LE] [JUN-A] Sea A una matriz cuadrada tal que det(A) = -1 y det (-2)A = 32. Calcular el tamaño de la matriz A.

14. [C-LE] [JUN-A] Calcular la matriz X que verifica AX = BBt, donde A =

15. [C-LE] [JUN-B] Sea el sistema de ecuaciones lineales:

2 1 0 1 0 , siendo Bt la matriz traspuesta de B. yB= 3 -1 2 3 -2

x-y = 5 y+z =  . Se pide: x-2z = 3

a) Discutirlo en función del parámetro . b) Resolverlo cuando sea posible.

16. [C-LE] [JUN-B] Resolver la ecuación:

x+1 x x x x+1 x = 0. x x x+1

-x -1 2x 17. [C-LE] [SEP-A] Resolver la ecuación: 2x -x -1-x = 0. -1 2x 0

18. [C-LE] [SEP-B] Estudiar, en función del parámetro real , el rango de la matriz A =

2- 1 1 1 - -1 . 1 -1 2-

19. [C-MA] [JUN] a) Sean A, B y X matrices cuadradas de tamaño n. Despeja X en la ecuación A·X·B = B2. 0 0 -1 1 0 2 b) Calcula la matriz X siendo A = 0 1 -1 y B = 0 1 3 . 1 -1 0 1 0 1 1 x x-1 1 -1 20. [C-MA] [JUN] a) Calcula, en función del parámetro a, las soluciones de la ecuación: 0 1 2 1 -1 2 0 x

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-1 -1 0 0

x 0 x a

1 0 = 0. 1 x

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b) ¿Para qué valor de a la ecuación anterior tiene una única solución? 21. [C-MA] [SEP] a) Sean A, B y X matrices cuadradas de tamaño n. Despeja X en la ecuación X·A = 2X+B2. 1 0 1 2 2 0 b) Calcula la matriz X siendo A = 0 1 0 y B = 0 4 0 . 1 0 -1 0 0 4

22. [C-MA] [SEP] a) Clasifica, en función del parámetro , el sistema de ecuaciones

x-y-z = 2 5x+3y+3z = 0 . 3x+2y+z = 1

b) Resuélvelo para  = 0, si es posible.

23. [CANA] [JUN] Dado el sistema

2x-3y+az = 1 x+z = 0 , hallar el valor del parámetro a para que sea incompatible. ¿Por qué lo es? 3x+y-3z = a

2 3 0 -1 2 0 2 -1 24. [CANA] [JUN] Dadas las matrices A = -7 -5 -2 , B = 0 3 y C = , calcular el determinante de B·C-2At. 3 -4 0 1 -1 0 2 1 2 0 0 -1 yN= : 1 2 3 1 2A+B = M . i) Hallar las matrices A y B que verifican el sistema: A-3B = N

25. [CANA] [SEP] Dadas las matrices M =

ii) Calcular M-1Nt. x+ky+z = 4 26. [CANA] [SEP] Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro k: x+3y+z = 5 . kx+y+z = 4 0 1 0 0 0 1 27. [CATA] [JUN] Sean A = 0 0 1 y B = 1 0 0 . 1 0 0 0 1 0 a) Comprueba que la inversa de A es A2. b) Comprueba también que A518 = B. 28. [CATA] [JUN] En la resolución por el métoido de Gauss de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas nos hemos 3 -5 2 -5 encontrado la matriz siguiente: 0 0 0 0 . 0 3 -6 6 a) Explica, razonadamente, cuál es el tipo de sistema inicial. b) Si es compatible, encuentra la solución. x+5y+z+a = 0 (a-2)z+x+2y-1 = 0 . (a-1)y+(1-a)x+z+a+2 = 0 a) Explique, razonadamente, si se trata de un sistema lineal homogéneo. b) Construya su matriz de coeficientes y su matriz ampliada. c) Encuentre los valores del parámetro a para los cuales el sistema no es compatible determinado, y estudie el caracter del sistema en cada uno de estos casos.

29. [CATA] [SEP] Considere el siguiente sistema de ecuaciones:

d) Resuélvalo solamente cuando el conjunto de sus soluciones sea una recta de 3.

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30. [CATA] [SEP] Considere la matriz A =

a 0 1 0 . . Calcule le valor de los parámetros a y b para que A2 = -2 1 1 -b

31. [EXTR] [JUN-A] Sea A una matriz cuadrada de orden 3. Sabemos que el determinante de A es |A| = 2. Calcule los siguientes determinantes: a) |2A|. b) A-1 . c) A·At (At es la traspuesta de la matriz A). d) Determinante de la matriz obtenida al intercambiar las dos primeras columnas de A. e) Determinante que se obtiene al sumar a la primera fila de A la segunda multiplicada por 2. 0 b b 32. [EXTR] [JUN-B] Determine el rango de la matriz A siguiente, según los valores del parámetro b: A = 1 0 1 . b -2 0 1 x 0 33. [EXTR] [SEP-A] Considere las matrices A = -2 , B = 1 -2 2 , C = y y O = 0 . -1 z 0 a) Diga razonadamente cuál es el rango de la matriz A·B. b) Clasifique y resuelve el sistema de ecuaciones A·B·X = O. 1 1 1 a b c .

34. [EXTR] [SEP-B] Considere la matriz A =

a2 b2 c2 a) Calcule el determinante de A y compruebe la igualdad |A| = (b-a)(c-a)(c-b). b) ¿Qué relación debe existir entre a, b y c para que el rango de la matriz sea igual a 1? Justifique la respuesta. 4x+4y+2z = 2 x+y-z =  , se pide: 4x+4y+z = 9 a) Discutir el sistema según los valores del parámetro . b) Resolver el sistema para  = -1.

35. [MADR] [JUN-A] Dado el sistema

2x-y =  36. [MADR] [JUN-B] Dado el sistema x-2y = 4 , se pide: 3x-y = 2 a) Discutir el sistema según los valores del parámetro . b) Resolver el sistema cuando sea posible. a 1 1 37. [MADR] [JUN-B] Dada la matriz A = 1 a 1 , se pide: 1 1 a a) Estudiar el rango de la matriz A según los valores del parámetro a. b) Obtener la matriz inversa de A para a = -1. m 38. [MADR] [SEP-A] Dada la matriz M = m 0 a) Determinar los valores del parámetro

1 1 1 m

2m 2 , se pide: 1 para los cuales la matriz A es invertible.

b) Determinar los valores del parámetro m para los cuales la matriz A25 es invertible. c) Para m = -1 calcular, si es posible, la matriz inversa M-1 de M.

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x+2y+z = 0 39. [MADR] [SEP-B] Dado el sistema x-y+2z = 0 , se pide: x-y+2z = 0 a) Obtener los valores del parámetro  para los cuales el sistema tiene soluciones distintas de x = y = z = 0. b) Resolver el sistema para  = 5. 40. [MADR] [SEP-B] Dadas las matrices A =

4 -2 y B = 1 1

4 -2 , obtener una matriz cuadrada X de orden 2 que verifique la -3 1

ecuación matricial AXB = A+B. 1 2 1 a 41. [MURC] [JUN] Calcular el rango de la matriz A según los valores del parámetro. A = 1 -2 3 1 0 4 -2 1 x-y+z = -3 42. [MURC] [JUN] Estudiar si el siguiente sistema tiene solución y, en ese caso, resolver por Cramer: -x-y = 1 . x-2z = -1 -1 2 1 43. [MURC] [SEP] Calcular, si es posible, la inversa de la matriz A = 1 0 -1 . 2 1 -1 ax+y-z = 0 44. [MURC] [SEP] Clasificar el sisguiente sistema según los valores del parámetro: 3x+2y+z = 0 . -3x+z = 0 1 2 3 6 45. [RIOJ] [JUN] Hallad las matrices A que verifican la ecuación 2 3 1 A = 6 . 3 1 2 6

46. [RIOJ] [SEP] Hallad, según el valor de a, el rango de la matriz

1 2 4 1 a 4 . 1 a a2

47. [RIOJ] [SEP] Discutid, según los valores de a, el siguiente sistema de ecuaciones:

x+y+z = 3 x+2y-z = 2+a . 2x+3y+az = 5

Resolvedlo cuando sea posible. 3 6 0 18 48 12 1 0 0 48. [VALE] [JUN] Dadas las matrices cuadradas A = 0 3 2 , B = 0 18 12 e I = 0 1 0 , se pide: 0 0 1 0 0 6 0 0 1 a) Justificar que la matriz A tiene inversa y obtener razonadamente la matriz inversa A-1, incluyendo todos los pasos que llevan a la obtención de A-1. b) Calcular, razonadamente, el determinante de la matriz 3A-1, incluyendo en la respuesta todos los pasos realizados. c) Obtener razonadamente los valores reales x, y, z que verifican la ecuación xI+yA+zA2 = B. (+3)x-4y-2z = 4 x-2y-(+2)z = 2 se pide, razonando las respuestas: 2x+(-3)y-2z = 4 a) Justificar que para el valor  = 0 el sistema es incompatible. b) Determinar los valores del parámetro  para los que el sistema es compatible y determinado. c) Resolver el sistema para el valor del parámetro  para el cual es compatible indeterminado.

49. [VALE] [JUN] Dado el sistema de ecuaciones lineales

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1 2 -2 50. [VALE] [SEP] Dada la matriz A() = 4 3 2 , se pide:   -6 a) Calcular, en función de , el determinante de la matriz A(), escribiendo los cálculos necesarios. b) Determinar, razonadamente, los números reales  para los que el determinante de la matriz inversa de A() es igual a 1/66. x+y+z = 0 51. [VALE] [SEP] Dado el sistema de ecuaciones lineales 2x+3y+4z = 0 se pide: 5x+7y+z = 0 a) Deducir, razonadamente, para qué valores de  el sistema sólo admite la solución (x,y,z) = (0,0,0). b) Resolver, razonadamente, el sistema para el valor de  que lo hace indeterminado.

Soluciones -7 -2 1 -1 5. a) m=0: inc; m=1: c.i. (a,b,1-a-b); m{0,1}: c.d. b) 16 c) -16 d) 30 2. 13500, 15000, 12000 3. a) =0: c.i; =6: inc; {0,6}: c.d. b) (0,1-3k,k) 4. -5 -18 4 2 -7 -30 1 0 0 M si n impar m+1 -1 2 6. a) 2 9. a) a=0: inc; a=1: c.i.; a{0,1}: c.d. b) ,0, b) -n 1 0 b) P(x) = -x , . 7. a) c = 0; ab = -1 b) k=11: 2; k11: 3 8. a) 0 b) 2 I si n par m m a 0 0 1

1. a)

-1 -3 3 , , 3 4 4 14.

10. a) a = 4 7: 2; a4 7: 3 b)

1 1 12 7 5 -31

15. =

-1 2

: inc; 

-1 : c.d. 2

-4 14 -14 1 5 -15 17 2 -1 5 -5

12+3 2-2 3 , , 2+1 2+1 2+1

11. a) m1 b)

16.

-1 3

a = -6: una sol: z = 3; a > -6: dos sol: 3 a+6 21. a) X = B2(A-2I)-1 b)

= 3 2

1 6 -1 1 2 2 ,B= 7 -5 0 7 6 7

ii)

1 0 6 4 -2 -1

30. -1, 1

1 1  0, ,1 : inc;  0, ,1 : c.d. b) (-1,-1,-1) 5 5 -1 -3 4 1 -1 4 4 -1 1 0 1

31. a) 16 b)

1 2

8 5 -17

c)

12. a) a{0,2}: inc: a=1: c.i.; a{0,1,2}: c.d. b) (3-5k,k,1-2k) 13. 5

17. 1 18. {-1,2,3}: 2; {-1,2,3}: 3 19. a) X = A-1B b) -6 -12 -2 0 -16 0 -8 0 -8

22. a) =

26. k=3: inc; k=1: c.i; k{1,3}:c.d. 28. a) c.i. b)

: inc; a = 2: c.i. d) a=2: (1-2k,k,-3-3k)

m{0,1} b) m{0,1} c)

-1 0 1 -1 1 0 3 -1 -1

c) 4 d) -2 e) 2

5+8k 3

8 3

: inc; =1: c.i;  1,

,2+2k,k

1 -1 -2 3 -5 -4

32. b{0,2}: 2; b{0,2}: 3

41. a=2: 2; a2: 3 42.

46. a=2: 1; a=-2: 2; a{-2,2}: 3 47. a=0: c.i. (4-3k,2k-1,k); a0: c.d. (7-a,a-3,-1) 48. a) A-1 =

1 3

1 -1 4 0 1 -2 0 0 3

: c.d. b)

29. a) no b) A =

36. {2,6}:inc; {2,6}: c.d. b) =2: (0,-2); =6: (-4,-14)

39. a) 1, 5 b) (k,-k,-3k) 40.

8 3

0 1 2 -1 1 1 -1 0 -2

-3 13 -3 , , 4 8 8

1 5 1 1 2 a-2 ; A* = 1-a a-1 1

20. a < -6: sin sol. real;

23. 20 24. 22 25. i) A 1 5 1 -a 1 2 a-2 1 1-a a-1 1 -a-2

33. a) 1 b) c.i. (2k-2m,k,m)

37. a) a=1: 1; a=-2: 2; a{-2,1}: 3 b)

-9 4 -2 , , 5 5 5

43.

1 3 -2 -1 -1 -1 0 2 1 5 -2

c) a =

34. b) a=b=c 1

0 1 1 1 0 1 2 1 1 0

35. 38. a)

44. a=6: c.i; a6: c.d. 45.

1 1 1

b) 3 c) 3, 2, 1 49. b) {-1,0} c)  = -1: (2k+m+2,k,m) 50. a)

2+30 b) 6 51. a) 9 b) (k,-2k,k)

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