Ejercicios Integrales-2021 resueltas PDF

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Examen matemáticas resuelto de todo tipo de ejercicios...

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PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2021

MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES



Junio, Ejercicio 3



Junio, Ejercicio 4



Reserva 1, Ejercicio 3



Reserva 1, Ejercicio 4



Reserva 2, Ejercicio 3



Reserva 2, Ejercicio 4



Reserva 3, Ejercicio 3



Reserva 3, Ejercicio 4

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Reserva 4, Ejercicio 3



Reserva 4, Ejercicio 4



Julio, Ejercicio 3



Julio, Ejercicio 4

www.emestrada.org

Considera la función f : definida por f ( x )  4 x 3  x 4 a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Esboza la gráfica de f y calcula el área del recinto limitado por dicha gráfica y el eje de abscisas. MATEMÁTICAS II. 2021. JUNIO. EJERCICIO 3 R E S O L U C I Ó N a) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: f '( x)  12 x2  4 x3  0  x 2 (12  4 x)  0  x  0 ; x  3 (  , 0)

(0, 3)

(3,  )

Signo f '( x)

+

+

―

Función

C

C

D

La función es creciente en (  , 0)  (0,3) . Decreciente en (3,  ) . Tiene un máximo relativo en (3, 27) b) Calculamos lo punto de corte con los ejes 3 4 3 Corte con el eje X  y  0  4 x  x  0  x (4  x)  0  x  0 ; x  4  (0,0) y (4,0)

Corte con el eje Y  x  0  y  0  (0,0)

El área de la región pedida es:

A



4 0

4

 x5   (4x  x ) dx   x 4  5  0  3

4

1024  256 2  u  256   0  5  5  www.emestrada.org

Considera la función F : 0,    

definida por: F ( x )  

x 0

(2t 

t ) dt

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de F en el punto de abscisa x  1. MATEMÁTICAS II. 2021. JUNIO. EJERCICIO 4

R E S O L U C I Ó N

La ecuación de la recta tangente es: y  F (1)  F '(1)  ( x  1) Calculamos: F (x ) 



x 0

(2t 

F '( x)  2 x 

3  2t 2 t ) dt  t 2   3 

x

3  2   x 2  2 x  F (1) 1 2  5  3 3 3  0

x  F '(1)  2  1  3

Luego, sustituyendo, tenemos que: y

5 4  3  ( x 1)  y  3 x  3 3

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Considera la función f :

definida por f ( x )  e x

a) Calcula a para que la recta tangente a la gráfica de f en el punto a , f (a )  pase por el origen de coordenadas. b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, la recta tangente a la misma en el punto

 1, f (1) y el eje de ordenadas. MATEMÁTICAS II. 2021. RESERVA 1. EJERCICIO 3 R E S O L U C I Ó N a) La recta tangente en x  a es y  f  a  f ' a  x  a

f a   e a f '(x )  e x  f ' a   e a Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y  e a  e a  x  a  Como pasa por el origen de coordenadas, tenemos que: 0  e a  e a  0  a   e a   a  e a  a 

ea 1 ea

b) La recta tangente es: y  e  e  x 1   y  e  x

Calculamos el área



1

1

2    e  e  x  dx  e x  e x2    e  12 e   1 0  2e  1 0 '359 u 2  0 x

0

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Calcula



3

x 2  3 x  2 dx

1

MATEMÁTICAS II. 2021. RESERVA 1. EJERCICIO 4

R E S O L U C I Ó N

Abrimos la función: x 2  3 x  2  0  x  1 ; x  2

 x 2  3x  2 si x 1  2 f ( x)   x  3 x 2 si 1  x  2  x 2  3x  2 si x  2 



3 1

2

x  3x  2 dx 



2 1

2

 x3  x2 ( x  3x  2)dx  (x  3x  2)dx    3  2x   2 2  3 1 2



3

2

3

x3  x2   2x   3  2 3 2

2 2 2 2  23   13   33   23  2 1 3 2     3  2  2      3  2  1    3  2  3     3  2  x   2 2 2 2  3   3   3   3  8 1 3 27 8    6  4    2 9  6  6 4  1 3 3 2 2 3

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definida por f ( x)  x 2  x 1 .

Considera la función f :

a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.



c) Calcula

2

f ( x ) dx

0

MATEMÁTICAS II. 2021. RESERVA 2. EJERCICIO 3

R E S O L U C I Ó N 2   x  x  1 si x  1 a) Abrimos la función: f ( x)  x  x 1   2   x  x 1 si x  1 2

2 x  1 si x  1 Calculamos la derivada y la igualamos a cero: f '( x)   2 x 1 si x 1 2x  1  0  x  2 x 1  0  x  

1  No sirve, porque no está en su dominio 2

1   ,  2 

 D

Signo y ' Función

1 2

1, 

1   ,1  2   C

 C

1 1   La función es creciente en  ,1   (1,   ) y decreciente en  ,  2 2   1 3 Tiene un mínimo en  ,  2 4

b) Calculamos la integral que nos piden.



2

0

f ( x) dx 



1

0

2

( x  x 1) dx 



1

2

1

2

 x3 x2   x3 x2  ( x  x 1) dx     x     x  2 2  3 0  3 1 2

1 1  8 4   1 1  11     1   0     2      1  3 2  3 2  3 2  3

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Considera la función f : 0,    

definida por f ( x )  x  e x

a) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f y las rectas x  2 , y  x b) Determina el área del recinto anterior. MATEMÁTICAS II. 2021. RESERVA 2. EJERCICIO 4

R E S O L U C I Ó N a)

b) Hacemos por partes la integral

 x  e dx  x  e   e dx x  e x

x

x

x

e x C C

u  x ; du  dx dv  e x dx ; v  e x

Calculamos el área que nos piden:

A



2

0

2

 x 2  ( x  e  x) dx   x e x  e x  2  0  x

  2  2  4   0  2 2 2 e e  0 e 0 e 1 u 2  

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Considera la función

f :  0,   

definida por f ( x )   ln( x )

2

(ln denota la función

logaritmo neperiano). a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f, así como sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan. c) Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función f y las rectas y  0 ; x  1 ; xe

MATEMÁTICAS II. 2021. RESERVA 3. EJERCICIO 3

R E S O L U C I Ó N a) Calculamos la derivada y la igualamos a cero: 2 ln x  0  2 ln x  0  ln x  0  x  e 0  1 f '( x)  x

0,1

1,

 D

 C

Signo y ' Función

La función es creciente en (1,   ) y decreciente en  0,1 . Tiene un mínimo en 1, 0 b) Calculamos el área que nos piden.

(ln x)

2





 

dx  x(ln x) 2  2 ln x dx  x(ln x)2  2 x ln x  dx  x(ln x )2  2x ln x  2x  C

2

u  (ln x) ; du  dv  dx ; v  x

A

2 ln x dx x

u  ln x ; du 

1 dx x

dv  dx ; v  x



e

1

(ln x) 2 dx   x(ln x) 2  2 x ln x 2 x   e 2 e 2 e   0  0 2   e 2 u 1 e

2

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Calcula



2 0

1 1

e

x

dx . (Sugerencia: efectúa el cambio de variable t 

e x ).

MATEMÁTICAS II. 2021. RESERVA 3. EJERCICIO 4

R E S O L U C I Ó N

Hacemos el cambio de variable: 2 e x text

e x dx  2 t dt Calculamos los nuevos límites de integración:

x  0  t 1 x 2 t  e

Con lo cual: I



2 0

1 1

ex

dx 



e 1

1 2t dt  2  1 t t2



e 1

 1   t  t  dt  (1 ) 

Descomponemos la integral racional 1 A B A  (1  t)  B  t    t (1  t ) t 1  t t (1  t )

Como los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que serlo, luego: t  0  1 A t  1 1  B  B   1

 1    dt  2 1  t (1 t )   2  2ln(e  1)  2 ln 2

I2



e



e 1

e 1 1     dt  2 ln t  ln(t  1) 1  2  ln e  ln(e  1)   ln1 ln 2   t t  1

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Calcula



 2 0

 2sen

2

( x )  cos 2( x )  dx

MATEMÁTICAS II. 2021. RESERVA 4. EJERCICIO 3

R E S O L U C I Ó N

2 2 Sabemos que: sen x  cos x  1 y que sen 2 x 



 2

0





 2sen  2 0

2

(x )  cos (x ) dx  2

 1  cos 2 x  1 dx   3 2  





 2

0

 2 0

 2sen

2

1 cos 2 x 2

( x )  1 sen (x ) dx  2



 2

0

 3sen

2

(x )  1 dx 



  1 3cos 2 x   x 3sen 2 x 2       0   0  0      dx     2  4 0  4  4 2 2

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definidas por f ( x )  x  2 y g ( x )  4  x 2 .

Considera las funciones f , g :

a) Halla los puntos de corte de las gráficas de ambas funciones y esboza el recinto que delimitan. b) Determina el área del recinto anterior. MATEMÁTICAS II. 2021. RESERVA 4. EJERCICIO 4

R E S O L U C I Ó N

 x  2 si x  0 son dos semirectas que pasan por el punto a) La función f ( x)  x  2    x  2 si x  0

0,  2  . La función g ( x)  4  x 2 es una parábola cuyo vértice está en el punto  0, 4 y corta al eje X en los puntos   2, 0  y 2, 0  . Calculamos los puntos de corte: x   2  ( 2, 0) Si x  0   x  2  4  x 2  x 2  x  6  0   x  3 No válida  x  2  ( 2, 0) Si x  0  x  2  4  x 2  x 2  x  6  0   x   3  No válida

b) Calculamos el área del recinto

A  2



2 0

(4  x )  ( x  2)  dx  2 2



2 0

2

 x3 x2   8  44 2  6 x  2   2 12 u ( x  x 6) dx 2   2  3  3  3 0 2

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definida por f ( x)  1 

Considera la función f :



x 0

t  e t dt

Determina los intervalos de concavidad y convexidad de f y sus puntos de inflexión (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan. MATEMÁTICAS II. 2021. JULIO. EJERCICIO 3

R E S O L U C I Ó N



t Vamos a calcular la integral I  t  e dt , que es una integral por partes.

u  t ; du  dt dv  e t dt ; v  e t





I  t e t dt  t  e t  e t dt  t  et  et  C

La función que nos dan es: f ( x)  1 



0 t  e t dt  1  t  e t  e t  0  1   x e x  e x  0  e   x e x  e x  2 0 x

x

Calculamos la primera y segunda derivada f '(x )  e x  x  e x  e x  x  e

x

f ''(x )  x  e x  e x  e x (x  1)  0  x   1

Signo f ''( x) Función

  , 1

1,   

 Cn



Cx

Luego, la función es cóncava en   , 1 y convexa en 1,    2  Tiene un punto de inflexión en  1,2   . e 

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Considera la función f definida f ( x) 

x21 (para x   1 , x  1. Halla una primitiva de f x 2 1

cuya gráfica pase por el punto (2, 4). MATEMÁTICAS II. 2021. JULIO. EJERCICIO 4

R E S O L U C I Ó N Dividimos los dos polinomios, con lo cual la integral se descompone en:



x2  1 dx  x2  1



1 dx 



2 dx  x  x 1 2



2 dx x 1 2

Calculamos las raíces del denominador: x 2 1  0  x  1 ; x   1 Descomponemos en fracciones simples: 2 A B A( x 1)  B( x1)    2 x 1 x 1 x  1 (x  1)  (x  1) Como los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que serlo. Para calcular A y B sustituimos los valores de las raíces en los dos numeradores.

x 1  2  2 A  A  1

x  1  2   2B  B   1

Con lo cual:



x 2 1 dx  x  x2  1



1 dx (x  1)



1 dx  x ln x 1  ln x 1  C (x  1)

Como tiene que pasar por el punto (2, 4) 4  2 ln 1 ln 3  C  C  2  ln 3

Luego, la primitiva que nos piden es: F( x)  x  ln x 1  ln x 1  2  ln 3

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