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Ejercicios de derivadas...

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Tabla de derivadas 𝑑 (𝑘) = 0 𝑑𝑥 𝑑 (𝑢 𝑛 ) = 𝑛𝑢 𝑛−1 𝑢′ 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎: 𝑑𝑥 𝑑 (𝑢 + 𝑣 ) = 𝑢 ′ + 𝑣′ 𝑆𝑢𝑚𝑎: 𝑑𝑥 𝑑 (𝑢 − 𝑣) = 𝑢 ′ − 𝑣′ 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝑑𝑥 𝑑 (𝑘𝑢) = 𝑘𝑢′ 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜: 𝑑𝑥 𝑑 (𝑢 ∙ 𝑣 ) = 𝑢𝑣 ′ + 𝑣𝑢′ 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜: 𝑑𝑥 𝑑 𝑢 𝑣 ∙ 𝑢 ′ − 𝑢 ∙ 𝑣′ 𝐶𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒: ( )= 𝑑𝑥 𝑣 𝑣2 𝑅𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑒𝑛𝑎: 𝑑 (𝑓 (𝑔(𝑥 ))) = 𝑓 ′ (𝑔(𝑥 )) ∙ 𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥 Derivadas fundamentales: 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒:

𝑑 1 (ln(𝑥)) = 𝑥 𝑑𝑥 𝑑 1 (ln(𝑔(𝑥))) = 𝑔 ′(𝑥) 𝑑𝑥 𝑔(𝑥) 𝑑 1 (log𝑎 𝑥) = 𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥 𝑥 ln 𝑎 𝑑 1 𝑔′(𝑥) (log𝑎 (𝑔 (𝑥))) = 𝑔(𝑥) ln 𝑎 𝑑𝑥

Funciones Logarítmicas:

Funciones exponenciales:

𝑑 (𝑒 𝑥 ) = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑑 (𝑎 𝑥 ) = 𝑎 𝑥 ln(𝑎) 𝑑𝑥 𝑑 (𝑒 𝑔(𝑥)) = 𝑒 𝑔(𝑥) 𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑 (𝑎 𝑔(𝑥) ) = ln(𝑎) 𝑎 𝑔(𝑥) 𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥

Que es la expresión de la derivada de 𝑓 ◦ 𝑔, en Funciones trigonométricas inversas: términos de f y g: o bien se puede escribir en notación de Leibniz: 𝑑 1 (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (𝑔 (𝑥))) = 𝑑𝑣 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Si: 𝑦 = 𝑓(𝑣 ), 𝑣 = 𝑔(𝑥 ) 𝑑𝑣 →∙ 𝑑𝑥

En general, la regla de cadena si: 𝑦 = 𝑓(𝑢 ), 𝑢 = 𝑔(𝑠), 𝑠 = ℎ (𝑡), 𝑡 = 𝑝(𝑥) 𝑑 𝑦′ =

𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑠 𝑑𝑡 ∙ ∙ ∙ 𝑑𝑢 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑥

√1 − (𝑔(𝑥))

2

𝑔′(𝑥)

−1 𝑔′(𝑥) (𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (𝑔(𝑥))) = 𝑑𝑥 2 √1 − (𝑔(𝑥))

Funciones trigonométricas: 𝑑 1 (arctan(𝑔(𝑥))) = 𝑑 2 𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥 1 + (𝑔(𝑥)) (𝑠𝑒𝑛 (𝑔(𝑥))) = cos(𝑔(𝑥)) 𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑 𝑑 1 (𝑐𝑜𝑠 (𝑔(𝑥))) = −𝑠𝑒𝑛(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥) 𝑔′( (arcsec(𝑔 (𝑥))) = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑 √ 𝑔(𝑥) (𝑔(𝑥)) − 1 (tan(𝑔(𝑥))) = sec2 (𝑔(𝑥)) 𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑 (sec(𝑔(𝑥))) = 𝑠𝑒𝑐(𝑔(𝑥))𝑡𝑎𝑛(𝑔(𝑥)) 𝑔′(𝑥) 𝑑 −1 𝑑𝑥 (𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛(𝑔 (𝑥))) = 2 𝑔′(𝑥) 𝑑 𝑑𝑥 1 + (𝑔(𝑥)) (𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝑔(𝑥))) = − 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝑔(𝑥)) 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛(𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑 1 𝑑 𝑔′( (arcsec(𝑔 (𝑥))) = 2 𝑑𝑥 (𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛(𝑔(𝑥))) = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 (𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥) 2 √ 𝑑𝑥 𝑔(𝑥) (𝑔(𝑥)) − 1

Ejercicios de derivada 1.- Determine la derivada de la función mediante su definición: 𝑓 (𝑥) =

√𝑎2 +𝑥2 𝑥

Solución: 𝑓 ′ (𝑥) = lim ℎ→0

= lim

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ

ℎ→0

√𝑎2 +(𝑥+ℎ)2 𝑥+ℎ

−

ℎ

√𝑎2 +𝑥2 𝑥

= lim

ℎ→0

𝑥 √𝑎2 +(𝑥+ℎ)2 − (𝑥+ℎ)√𝑎2 +𝑥2 𝑥(𝑥+ℎ)

ℎ

𝑥 √𝑎2 + (𝑥 + ℎ)2 − (𝑥 + ℎ)√𝑎2 + 𝑥 2 ℎ→0 ℎ𝑥(𝑥 + ℎ)

= lim

𝑥 √𝑎2 + (𝑥 + ℎ)2 − 𝑥√𝑎2 + 𝑥 2 − ℎ√𝑎2 + 𝑥 2 ℎ→0 ℎ𝑥(𝑥 + ℎ)

= lim

𝑥 (√𝑎2 + (𝑥 + ℎ)2 − √𝑎2 + 𝑥 2 ) − ℎ√𝑎2 + 𝑥 2 ℎ→0 ℎ𝑥(𝑥 + ℎ)

= lim

Aplicamos propiedades de limites:

ℎ√𝑎2 + 𝑥 2 𝑥 (√𝑎2 + (𝑥 + ℎ)2 − √𝑎2 + 𝑥 2 ) − lim ℎ→0 ℎ𝑥(𝑥 + ℎ) ℎ→0 ℎ𝑥(𝑥 + ℎ)

= lim

Para el primer limite aplicamos su conjugada:

(∗∗)

𝑥 (√𝑎2 + (𝑥 + ℎ)2 − √𝑎2 + 𝑥 2 ) (√𝑎2 + (𝑥 + ℎ)2 + √𝑎2 + 𝑥 2 ) ∙ ℎ→0 ℎ𝑥(𝑥 + ℎ) (√𝑎2 + (𝑥 + ℎ)2 + √𝑎2 + 𝑥 2 ) lim

lim

𝑥 ((√𝑎2 + (𝑥 + ℎ )2 )

ℎ→0 ℎ𝑥(𝑥

= lim ℎ→0

= lim ℎ→0

+ ℎ)(√𝑎2 + (𝑥 + ℎ)2 + √𝑎2 + 𝑥 2 ) 𝑥 (𝑎2 + (𝑥 + ℎ)2 − 𝑎2 − 𝑥 2 )

𝑥 (𝑎2 + 𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − 𝑎2 − 𝑥 2 )

ℎ𝑥(𝑥 + ℎ)(√𝑎2 + (𝑥 + ℎ)2 + √𝑎2 + 𝑥 2 )

ℎ→0 ℎ𝑥(𝑥

ℎ→0

2

− (√𝑎2 + 𝑥 2 ) )

ℎ𝑥(𝑥 + ℎ)(√𝑎2 + (𝑥 + ℎ)2 + √𝑎2 + 𝑥 2 )

= lim = lim

2

𝑥 (2𝑥ℎ + ℎ2 )

+ ℎ)(√𝑎2 + (𝑥 + ℎ)2 + √𝑎2 + 𝑥 2 ) 𝑥ℎ(2𝑥 + ℎ )

ℎ𝑥(𝑥 + ℎ)(√𝑎2 + (𝑥 + ℎ)2 + √𝑎2 + 𝑥 2 )

= lim

(2𝑥 + ℎ ) 2 + (𝑥 + ℎ)2 + √𝑎2 + 𝑥 2 ) (𝑥 + ℎ) (√𝑎 ℎ→0

Volviendo a (∗∗)

ℎ√𝑎2 + 𝑥 2 𝑥 (√𝑎2 + (𝑥 + ℎ)2 − √𝑎2 + 𝑥 2 ) − lim ℎ𝑥(𝑥 + ℎ) ℎ→0 ℎ𝑥(𝑥 + ℎ) ℎ→0 lim

(2𝑥 + ℎ )

√𝑎2 + 𝑥 2 − lim ℎ→0 𝑥(𝑥 + ℎ) ℎ→0 (𝑥 + ℎ)(√𝑎2 + (𝑥 + ℎ)2 + √𝑎2 + 𝑥 2 ) lim

Evaluamos el limite = = = = = = =

(2𝑥 + 0)

√𝑎2 + 𝑥 2 − 𝑥(𝑥 + 0) (𝑥 + 0)(√𝑎2 + (𝑥 + 0)2 + √𝑎2 + 𝑥 2 ) 2𝑥

𝑥(√𝑎2 + 𝑥 2 + √𝑎2 + 𝑥 2 ) 2

2√𝑎2 + 𝑥 2 1

√𝑎2 + 𝑥 2

−

−

√𝑎2 + 𝑥 2 𝑥2

−

√𝑎2 + 𝑥 2 𝑥2

√𝑎2 + 𝑥 2 𝑥2

𝑥 2 − √𝑎2 + 𝑥 2 ∗ √𝑎2 + 𝑥 2 𝑥 2 √𝑎2 + 𝑥 2

𝑥 2 − 𝑎2 − 𝑥 2 𝑥 2 √𝑎2 + 𝑥 2 −𝑎2

𝑥 2 √𝑎2 + 𝑥 2 𝑑𝑦 −𝑎2 𝑓 ′ (𝑥 ) = = 𝑑𝑥 𝑥 2 √𝑎2 + 𝑥 2

2.- Determine la derivada de la función mediante su definición: 𝑓 (𝑥) = (𝑥 2 + 𝑥)2

Solución:

) lim ((𝑥 + ℎ)2 + 𝑥 + ℎ)2 − (𝑥 2 + 𝑥 )2 𝑓 ′ (𝑥) = lim𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥= ℎ ℎ ℎ→0

ℎ→0

((𝑥 + ℎ)2 + (𝑥 + ℎ))2 − ( 𝑥 4 + 2𝑥 3 + 𝑥 2 ) ℎ→0 ℎ

= lim

= lim ℎ→0

= lim

(𝑥 + ℎ)4 + 2(𝑥 + ℎ )3 + (𝑥 + ℎ )2 − 𝑥 4 − 2𝑥 3 − 𝑥 2 ℎ

ℎ→0

= lim

ℎ→0

= lim ℎ→0

= lim ℎ→0

𝑥 4 + 4𝑥3 ℎ + 6𝑥2 ℎ2 + 4𝑥ℎ3 + ℎ4 + 2(𝑥 3 + 3𝑥2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 ) + 𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − 𝑥 4 − 2𝑥3 − 𝑥2 ℎ

𝑥 4 + 4𝑥3 ℎ + 6𝑥2 ℎ2 + 4𝑥ℎ3 + ℎ4 + 2𝑥 3 + 6𝑥2 ℎ + 6𝑥ℎ2 + 2ℎ3 + 𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − 𝑥 4 − 2𝑥 3 − 𝑥 2 ℎ

4𝑥 3 ℎ + 6𝑥 2 ℎ2 + 4𝑥ℎ 3 + ℎ4 + 6𝑥 2 ℎ + 6𝑥ℎ2 + 2ℎ 3 + 2𝑥ℎ + ℎ2 ℎ

ℎ(4𝑥 3 + 6𝑥 2 ℎ + 4𝑥ℎ2 + ℎ 3 + 6𝑥 2 + 6𝑥ℎ + 2ℎ2 + 2𝑥 + ℎ) ℎ

= lim 4𝑥 3 + 6𝑥 2 ℎ + 4𝑥ℎ2 + ℎ 3 + 6𝑥 2 + 6𝑥ℎ + 2ℎ2 + 2𝑥 + ℎ ℎ→0

Evaluamos el límite:

= 4𝑥 3 + 6𝑥 2 ∙ 0 + 4𝑥 ∙ 02 + 03 + 6𝑥 2 + 6𝑥 ∙ 0 + 2 ∙ 02 + 2𝑥 + 0 = 4𝑥 3 + 6𝑥 2 + 2𝑥

𝑑𝑦 𝑓′(𝑥) = = 4𝑥 3 + 6𝑥 2 + 2𝑥 𝑑𝑥

3.- Determine la derivada de la función mediante su definición: 𝑓 (𝑥) = 𝑥 √𝑥 + 1 Solución:

) lim (𝑥 + ℎ)√𝑥 + ℎ + 1 − 𝑥√𝑥 + 1 𝑓 ′ (𝑥) = lim𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥= ℎ ℎ ℎ→0 ℎ→0 (𝑥 + ℎ)√𝑥 + ℎ + 1 − 𝑥√𝑥 + 1 ℎ ℎ→0

= lim = lim ℎ→0

𝑥√𝑥 + ℎ + 1 + ℎ √𝑥 + ℎ + 1 − 𝑥√𝑥 + 1 ℎ

Por propiedad de limites:

ℎ√𝑥 + ℎ + 1 𝑥√𝑥 + ℎ + 1 − 𝑥√𝑥 + 1 + lim ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ

= lim

𝑥(√𝑥 + ℎ + 1 − √𝑥 + 1) + lim √𝑥 + ℎ + 1 ℎ→0 ℎ→0 ℎ

= lim

Para el primer limite aplicamos su conjugada:

𝑥(√𝑥 + ℎ + 1 − √𝑥 + 1) (√𝑥 + ℎ + 1 + √𝑥 + 1) √𝑥 + ℎ + 1 ∙ + lim ℎ→0 ℎ (√𝑥 + ℎ + 1 + √𝑥 + 1) ℎ→0 lim

lim

ℎ→0

lim

2

2

− (√𝑥 + 1) ) + lim√𝑥 + ℎ + 1 ℎ→0 ℎ(√𝑥 + ℎ + 1 + √𝑥 + 1)

𝑥 ((√𝑥 + ℎ + 1)

𝑥 (𝑥 + ℎ + 1 − 𝑥 − 1)

ℎ→0 ℎ(√𝑥

+ ℎ + 1 + √𝑥 + 1)

ℎ→0 ℎ(√𝑥

+ ℎ + 1 + √𝑥 + 1)

lim

lim

ℎ→0 (√𝑥

𝑥ℎ

=

=

𝑥

(√𝑥 + 0 + 1 + √𝑥 + 1) 𝑥

(√𝑥 + 1 + √𝑥 + 1) 𝑥

ℎ→0

+ lim√𝑥 + ℎ + 1 ℎ→0

𝑥 + lim√𝑥 + ℎ + 1 + ℎ + 1 + √𝑥 + 1) ℎ→0

Evaluamos el límite: =

+ lim√𝑥 + ℎ + 1

2 √𝑥 + 1

+ √𝑥 + 1

+ √𝑥 + 0 + 1

+ √𝑥 + 1

𝑥 + √𝑥 + 1 𝑓′(𝑥) = 2 √𝑥 + 1

4.- Determine la derivada de la función mediante su definición: 𝑓 (𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 Solución:

2 2 𝑓 ′ (𝑥) = lim𝑓(𝑥 + ℎ ) − 𝑓(𝑥=)lim cos (𝑥 + ℎ) − cos 𝑥 ℎ ℎ ℎ→0

ℎ→0

cos 𝑥 ∙ cos ℎ − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛 ℎ − cos 𝑥 ℎ→0 ℎ

= lim

cos 𝑥 (cos ℎ − 1) − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛 ℎ ℎ→0 ℎ

= lim

𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛 ℎ −cos 𝑥 (1 − cos ℎ ) − lim = lim ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ 1 − cos ℎ 𝑠𝑒𝑛 ℎ = − cos 𝑥 lim − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 lim ℎ ℎ ℎ→0 ℎ→0

Utilizando limites especiales: = − cos 𝑥 ∙ 0 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙ 1 = −𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑑𝑦 𝑓 ′ (𝑥 ) = = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥

Limites especiales lim

→0

lim

→0

𝑠

ℎ

1−

ℎ

ℎ

=

ℎ

=

5.- Determine la derivada de la función mediante su definición: 𝑓 (𝑥) = + 𝑥+𝑥 2 𝑥 Solución: 1

1 2 2 1 ℎ + 𝑥 + ℎ+(𝑥 + ℎ) ) − 𝑥(+ 𝑥+𝑥 ) 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 ) 𝑥 + 𝑓 (𝑥) = lim = lim ( ℎ ℎ ℎ→0 ′

ℎ→0

1 1 (𝑥 + ℎ + 𝑥 + ℎ + 𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 ) − ( + 𝑥+𝑥 2 ) 𝑥 = lim ℎ→0 ℎ

1 + 𝑥(𝑥 + ℎ) + ℎ(𝑥 + ℎ) + 𝑥 2 (𝑥 + ℎ) + 2𝑥ℎ(𝑥 + ℎ) + ℎ 2 (𝑥 + ℎ)1 + 𝑥 ∗ 𝑥 + 𝑥 2 ∗ 𝑥 )− ( ( ) 𝑥+ℎ 𝑥 = lim ℎ→0 ℎ

1 + 𝑥2 + 𝑥3 1 + 𝑥 2 + 𝑥ℎ + ℎ𝑥 + ℎ2 + 𝑥 3 + 𝑥 2 ℎ + 2𝑥 2 ℎ + 2𝑥ℎ 2 + ℎ 2 𝑥 + ℎ3 − 𝑥 𝑥+ℎ = lim ℎ→0 ℎ 𝑥(1 + 𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ 2 + 𝑥 3 + 3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 ) − (𝑥 + ℎ)(1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 ) (𝑥 + ℎ)𝑥 = lim ℎ→0 ℎ

(𝑥 + 𝑥 3 + 2𝑥 2 ℎ + ℎ2 𝑥 + 𝑥 4 + 3𝑥 3 ℎ + 3𝑥 2 ℎ2 + ℎ 3 𝑥) − (𝑥 + 𝑥 3 + 𝑥 4 + ℎ + 𝑥 2 ℎ + 𝑥 3 ℎ) ℎ𝑥(𝑥 + ℎ) ℎ→0

= lim

𝑥 + 𝑥 3 + 2𝑥 2 ℎ + ℎ2 𝑥 + 𝑥 4 + 2𝑥 3 ℎ + 3𝑥 2 ℎ2 + ℎ 3 𝑥 − 𝑥 − 𝑥 3 − 𝑥 4 − ℎ − 𝑥 2 ℎ − ℎ𝑥 3 ℎ→0 ℎ𝑥(𝑥 + ℎ)

= lim

2𝑥 2 ℎ + ℎ2 𝑥 + 2𝑥 3 ℎ + 3𝑥 2 ℎ2 + ℎ 3 𝑥 − ℎ − 𝑥 2 ℎ − ℎ𝑥 3 ℎ𝑥(𝑥 + ℎ) ℎ→0

= lim

𝑥 2 ℎ + ℎ 2 𝑥 + 2𝑥 3 ℎ + 3𝑥 2 ℎ2 + ℎ3 𝑥 − ℎ ℎ→0 ℎ𝑥(𝑥 + ℎ)

= lim

ℎ(𝑥 2 + ℎ𝑥 + 2𝑥 3 + 3𝑥 2 ℎ + ℎ 2 𝑥 − 1) = lim ℎ→0 ℎ𝑥(𝑥 + ℎ) 𝑥 2 + ℎ𝑥 + 2𝑥 3 + 3𝑥 2 ℎ + ℎ2 𝑥 − 1 𝑥(𝑥 + ℎ) ℎ→0

= lim

Evaluamos el límite: =

𝑥 2 + 0 ∙ 𝑥 + 2𝑥 3 + 3𝑥 2 ∙ 0 + 02 ∙ 𝑥 − 1 𝑥 2 + 2𝑥 3 − 1 = 𝑥(𝑥 + 0) 𝑥2 𝑓 ′ (𝑥 ) =

𝑥 2 + 2𝑥 3 − 1 𝑥2

6.- Determine la derivada mediante la regla de los 4 pasos de: 𝑥+1 𝑓(𝑥) =

2𝑥

Solución: Paso 1:

Paso 2:

𝑓(𝑥 + ℎ ) =𝑥+ℎ+1

2(𝑥+ℎ)

Recordar:

𝑓(𝑥 + ℎ ) − 𝑓 (𝑥 ) 𝑥+ℎ+1 = −

2𝑥 2(𝑥+ℎ)

𝑥+1

Regla de los 4 pasos: 𝑥+

2(𝑥 + ℎ)(𝑥 + 1) − 2𝑥(𝑥 + ℎ + 1) 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 ) = (𝑥 + ℎ + 1)(𝑥 + 1) 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 ) =

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 ) =

2(𝑥 2 + 𝑥 + ℎ𝑥 + ℎ) − (2𝑥 2 + 2𝑥ℎ + 2𝑥) (𝑥 + ℎ + 1)(𝑥 + 1) 2𝑥 2 + 2𝑥 + 2ℎ𝑥 + 2ℎ − 2𝑥 2 − 2𝑥ℎ − 2𝑥 (𝑥 + ℎ + 1)(𝑥 + 1)

2ℎ 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 ) = (𝑥 + ℎ + 1)(𝑥 + 1)

𝑥+

𝑥+ ℎ

lim →0

2ℎ 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 )(𝑥 + ℎ + 1)(𝑥 + 1) = ℎ ℎ

Paso 3:

2ℎ 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 ) = ℎ ℎ(𝑥 + ℎ + 1)(𝑥 + 1)

2 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 ) = ℎ (𝑥 + ℎ + 1)(𝑥 + 1) Paso 4: lim

ℎ→0

2 2 2 2 = = = ( )2 𝑥 + 1 (𝑥 + ℎ + 1)(𝑥 + 1)(𝑥 + 0 + 1)(𝑥 + 1) (𝑥 + 1)(𝑥 + 1) 2 𝑑𝑦 𝑓 ′ (𝑥 ) = = 𝑑𝑥 (𝑥 + 1)2

𝑥+

−

− ℎ

−

)

7.- Determine la derivada mediante la regla de los 4 pasos de: 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 2 + 𝑥 + 1)

Solución: Paso 1:

𝑓(𝑥 + ℎ) = (𝑥 + ℎ − 1)((𝑥 + ℎ)2 + 𝑥 + ℎ + 1)

Paso 2:

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 ) = (𝑥 + ℎ − 1)((𝑥 + ℎ )2 + 𝑥 + ℎ + 1) − (𝑥 − 1)(𝑥 2 + 𝑥 + 1)

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 ) = (𝑥 + ℎ − 1)(𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 + 𝑥 + ℎ + 1) − (𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑥 − 𝑥 2 − 𝑥 − 1)

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 3 + 2𝑥 2 ℎ + 𝑥ℎ 2 + 𝑥 2 + 𝑥ℎ + 𝑥 + 𝑥 2 ℎ + 2𝑥ℎ2 + ℎ3 + 𝑥ℎ + ℎ2 +ℎ−𝑥 2 − 2𝑥ℎ − ℎ2 − 𝑥 − ℎ − 1 − 𝑥 3 + 1

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 ) = 3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ 2 + ℎ 3

Paso 3: 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 )3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ 2 + ℎ3 = ℎ ℎ

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 )ℎ(3𝑥 2 + 3𝑥ℎ + ℎ2 ) = ℎ ℎ 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 ) 2 = 3𝑥 + 3𝑥ℎ + ℎ 2 ℎ

Paso 4:

lim3𝑥 2 + 3𝑥ℎ + ℎ 2 = 3𝑥 2 + 3𝑥 ∙ 0 + 02 = 3𝑥 2

ℎ→0

𝑑𝑦 𝑓 ′ (𝑥 ) = = 3𝑥 2 𝑑𝑥

8.- Determine la derivada mediante la regla de los 4 pasos de: 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 8

Solución: Paso 1:

𝑓(𝑥 + ℎ) = 4(𝑥 + ℎ) + 8

Paso 2:

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 ) = 4(𝑥 + ℎ) + 8 − (4𝑥 + 8)

𝑓(𝑥 + ℎ ) − 𝑓 (𝑥 ) = 4𝑥 + 4ℎ + 8 − 4𝑥 − 8

𝑓(𝑥 + ℎ ) − 𝑓 (𝑥 ) = 4ℎ

Paso 3: 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 )4ℎ = ℎ ℎ 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 ) =4 ℎ

Paso 4:

lim4 = 4

ℎ→0

𝑑𝑦 𝑓 ′ (𝑥) = = 4 𝑑𝑥

9.- Determine la derivada mediante la regla de los 4 pasos de: 3

𝑓(𝑥) = √𝑥 + 3

Solución:

𝑓(𝑥 + ℎ) = √𝑥 + ℎ + 3= √𝑥 + ℎ + 3 3

Paso 1:

3

𝑓(𝑥 + ℎ ) − 𝑓(𝑥 ) 3= √𝑥 + ℎ +−3√𝑥 + 3 3

Paso 2:

3 3 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 )√𝑥 + ℎ + 3 − √𝑥 + 3 = ℎ ℎ

Paso 3:

Paso 4:

√𝑥 + ℎ + 3 − √𝑥 + 3 lim ℎ→0 ℎ 3

3

Aplicamos el conjugado:

3 3 3 3 3 3 √𝑥 + ℎ + 3 − √𝑥 + 3 √(𝑥 + ℎ + 3)2+ √𝑥 + ℎ + 3 √𝑥 + 3 + √(𝑥 + 3)2 lim ∙3 3 3 3 ℎ→0 ℎ √(𝑥 + ℎ + 3)2+ √𝑥 + ℎ + 3 √𝑥 + 3 + √(𝑥 + 3)2

lim

3 3 √(𝑥 + ℎ + 3)3− √(𝑥 + 3)3

ℎ→0

3 3 3 ℎ √(𝑥 + ℎ + 3)2+ √𝑥 + ℎ + 3 √𝑥 + 3 + √(𝑥 + 3)2

ℎ→0

+ √(𝑥 + 3)2 ℎ √(𝑥 + ℎ + 3)2+ √(𝑥 + ℎ + 3)(𝑥 + 3)

ℎ→0

ℎ √(𝑥 + ℎ +

ℎ→0

+ √(𝑥 + 3)2 ℎ √(𝑥 + ℎ + 3)2+ √(𝑥 + ℎ + 3)(𝑥 + 3)

ℎ→0

3

lim

lim lim

lim

3

(𝑥 + ℎ + 3) − (𝑥 + 3)

3

3

𝑥+ℎ+3−𝑥−3

3 3)2+ √(𝑥

3

3

3

=

3

=

+ √(𝑥 + 3)2 + ℎ + 3)(𝑥 + 3) 3

ℎ

3

1

2 √(𝑥 + ℎ + 3)(𝑥 + 3) + √(𝑥 + 3)2 √(𝑥 + ℎ + 3)+ 3

Evaluamos el límite: =

3

3

3

1

3 √(𝑥 + 0 + 3)2+ 3√(𝑥 + 0 + 3)(𝑥 + 3) + √(𝑥 + 3)2

1

+ √(𝑥 + 3)2 √(𝑥 + 3)2+ √(𝑥 + 3)(𝑥 + 3) 3

1

3

√(𝑥 + 3)2+ √(𝑥 + 3)2+ √(𝑥 + 3)2

3

3

3

=

1

3 √ (𝑥 + 3)2 3

𝑑𝑦 1 𝑓′(𝑥 ) = = 3 𝑑𝑥 3 √ (𝑥 + 3)2

1−2 cos 𝑥 10.- Hallar la derivada de 𝑓(𝑥) =

𝑠𝑒𝑛 𝑥

Solución:

Derivada del cociente:

𝑓(𝑥) =𝑔(𝑥) → 𝑓 ′ (𝑥) = ℎ(𝑥)

Luego, 𝑓 ′ (𝑥 ) =

𝑓 ′ (𝑥 ) =

𝑓 ′ (𝑥 ) = 𝑓

𝑔∙ℎ′ −ℎ∙𝑔 ′ 𝑔2

(1 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥) ∙ (𝑠𝑒𝑛 𝑥 )′ − (𝑠𝑒𝑛 𝑥) ∙ (1 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥)′ (1 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥)2

(1 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥) ∙ cos 𝑥 − (𝑠𝑒𝑛 𝑥) ∙ (2𝑠𝑒𝑛 𝑥) (1 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥)2

cos 𝑥 − 2 cos 2 𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥 (1 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥)2

cos 𝑥 − 2 (cos 2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑥) 𝑥) = (1 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥)2

′(

cos 𝑥 − 2 𝑓 ′ (𝑥 ) = (1 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥)2

Identidad trigonométrica: 𝑠 𝑛 𝑥 + co

𝑑𝑓 cos 𝑥 − 2 𝑓 ′ (𝑥 ) = = 𝑑𝑥 (1 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥)2

𝑥=

11.- Hallar la derivada de 𝑦 = cos3 √𝑒 𝑥 4 + √𝑥

Solución:

Por regla de la cadena:

3

𝑦 = (cos √𝑒 𝑥 4 + √𝑥 ) 𝑦 = ′

3 (cos √𝑒 𝑥 4

2

+ √𝑥 ) ∙ 2

𝑑 𝑑 𝑑 4 (cos √𝑒 𝑥 4 + √𝑥 ) ∙ (√𝑒 𝑥 4 + √𝑥) ∙ (𝑒 𝑥 + √𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

1 1 𝑦 = 3 (cos √𝑒 𝑥 4 + √𝑥 ) (− sen √𝑒 𝑥 4 + √𝑥 ) ∙ ∙ (𝑒 𝑥 4 ∙ 4𝑥 3 + ) 2√𝑥 2√𝑒 𝑥 4 + √𝑥 ′

2 1 −3 (cos √𝑒 𝑥 4 + √𝑥 ) (sen √𝑒 𝑥 4 + √𝑥 ) (𝑒 𝑥 4 ∙ 4𝑥 3 + ) 2√𝑥 𝑦′ = 4 𝑥 2√ 𝑒 + √𝑥

2 1 −3 (cos √𝑒 𝑥 4 + √𝑥 ) (sen √𝑒 𝑥 4 + √𝑥 ) (𝑒 𝑥 4 ∙ 4𝑥 3 + ) 𝑑𝑦 2√𝑥 𝑦′ = = 4 𝑑𝑥 2√ 𝑒 𝑥 + √𝑥

12.- Hallar la derivada de 𝑦 = ln 𝑒 3𝑥−1

𝑒 3𝑥 −1

Solución: Aplicamos propiedad de logaritmo para que la derivación sea más sencilla: 𝑒 3𝑥 + 1 = ln (𝑒 3𝑥 + 1 ) − ln(𝑒 3𝑥 − 1) 𝑦 = ln 3𝑥 𝑒 −1

𝑦′ = (ln(𝑒 3𝑥 + 1 ))′ −(ln(𝑒 3𝑥 − 1 ))′

𝑦′ =

𝑦′ =

𝑒 3𝑥

1 1 (𝑒 3𝑥 + 1)′ − 3𝑥 (𝑒 3𝑥 − 1)′ +1 𝑒 −1 1 1 𝑒 3𝑥 ∙ 3 − 3𝑥 𝑒 3𝑥 ∙ 3 +1 𝑒 −1

𝑒 3𝑥

1 1 ) 𝑦 ′ = 3𝑒 3𝑥 ( 3𝑥 − 3𝑥 𝑒 +1 𝑒 −1

𝑑𝑦 1 1 𝑦 ′ = = 3𝑒 3𝑥 ( 3𝑥 − 3𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑒 +1 𝑒 −1

13.- Hallar la derivada de 𝑦 = √𝑥 Solución:

4𝑥+6 2 +3𝑥+4

Aplicamos la derivada de un cociente: 𝑦′ = 𝑦′ =

2𝑥 + 3 √𝑥 2 + 3𝑥 + 4 ∙ 4 − (4𝑥 + 6)2∙ √𝑥 2 + 3𝑥 + 4 2

(√𝑥 2 + 3𝑥 + 4 )

(4𝑥 + 6)(2𝑥 + 3) 2√𝑥 2 + 3𝑥 + 4 2 𝑥 + 3𝑥 + 4

4√𝑥 2 + 3𝑥 + 4 −

4√𝑥 2 + 3𝑥 + 4 ∙ 2√𝑥 2 + 3𝑥 + 4 − (8𝑥 2 + 12𝑥 + 12𝑥 + 18 ) 2√𝑥 2 + 3𝑥 + 4 𝑦′ = 𝑥 2 + 3𝑥 + 4

𝑦′ = 𝑦′ = 𝑦′ =

𝑦′ =

8(𝑥 2 + 3𝑥 + 4) − (8𝑥 2 + 24𝑥 + 18) 2(𝑥 2 + 3𝑥 + 4)√𝑥 2 + 3𝑥 + 4

8𝑥 2 + 24 𝑥 + 32 − 8𝑥 2 − 24𝑥 − 18 2(𝑥 2 + 3𝑥 + 4)√𝑥 2 + 3𝑥 + 4 14

2(𝑥 2 + 3𝑥 + 4)√𝑥 2 + 3𝑥 + 4 (𝑥 2

7

+ 3𝑥 + 4)√𝑥 2 + 3𝑥 + 4

7 𝑦′ = 2 (𝑥 + 3𝑥 + 4)√𝑥 2 + 3𝑥 + 4

3

3

3

14.- Hallar la derivada de 𝑦 = √1 + √1 + √𝑥

Solución: 𝑦′ = 𝑦 = ′

𝑦′ = 𝑦′ = 𝑦′ =

3 (1 + √1 + √𝑥) 3

′

2

3 3 √(1 + √1 + √𝑥) 3

3

1

2

′

(1 +3√𝑥)

∙

3 3 √(1 + √1 + √𝑥) (3 √(1 + √𝑥) ) 3

3

3

2

3

1

1 ∙( 3 ) 2 2 3 3 2 3 √𝑥 3 3 3 3 √(1 + √1 + √𝑥) 3 √(1 + √𝑥) 1

∙

1

3 27 √(1 + √1 + 3√𝑥) 3

2

∙

1

1

√(1 + 3√𝑥) 3

2

∙

1

√𝑥 2

3

2

3 3 3 3 27√𝑥 2 √(1 + √𝑥) √(1 + √1 + √𝑥 )

2 3

3

𝑑𝑦 𝑦′ = = 𝑑𝑥

1

3

2 3

3

15.- Hallar la derivada de 𝑦 = 𝑥 3 cos(𝑥 −3 ) Solución:

𝑦 ′ = (𝑥 3 )′ cos(𝑥 −3) + 𝑥 3 (cos(𝑥 −3))′

𝑦 ′ = 2𝑥 2 cos(𝑥 −3) + 𝑥 3 (−𝑠𝑒𝑛( 𝑥 −3 )(−3𝑥 −4)) 𝑦 ′ = 2𝑥 2 cos(𝑥 −3) −

𝑦′

=

2𝑥 2

cos(𝑥 −3) −

2

3 3 3 27 √𝑥 2 √(1 + √𝑥) √(1 + √1 + √𝑥)

3𝑥 3 𝑠𝑒𝑛( 𝑥 −3) 𝑥4

3𝑠𝑒𝑛( 𝑥 −3) 𝑥

𝑑𝑦 3𝑠𝑒𝑛( 𝑥 −3) 𝑦 ′ = = 2𝑥 2 cos(𝑥 −3) − 𝑥 𝑑𝑥

16.- Hallar la derivada de 𝑦 =

𝑒

ln(𝑥)+1 12 𝑥2 arctan(𝑥) +

√𝑥

Solución:

𝑦′ = 𝑦′ = 𝑦′ = 𝑦′ =

√𝑥 𝑒

1 𝑥2 arctan(𝑥) + 2 ln(𝑥)+1

√𝑥 𝑒

1 𝑥2 arctan(𝑥) + 2 ln(𝑥)+1

√𝑥 𝑒

1 𝑥2 arctan(𝑥) + 2 ln(𝑥)+1

1 2 𝑒 𝑥 arctan(𝑥) +2 ln(𝑥)+1

𝑦′ = 𝑒 𝑥

[

2

1 arctan(𝑥) +2 ln(𝑥)+1

[

𝑦′ =

′ 1 𝑥2 arctan(𝑥) + 1ln(𝑥)+1 1 2 ∙ (𝑥 2 arctan(𝑥 ) 2+ln(𝑥 ) + 1) − 𝑒 2√𝑥 2

(√𝑥)

1 𝑥2 arctan(𝑥) +21ln(𝑥)+1 1 1 1 ∙ (𝑥 2 ∙ + 2𝑥 arctan 𝑥 + 2 ∙ 𝑥 ) − 𝑒 2 1+𝑥 2√𝑥 𝑥

1 𝑥2 1 𝑥2 arctan(𝑥) + 21 ln(𝑥)+1 + 2𝑥 arctan 𝑥 + ∙( ) − 𝑒 2 2𝑥 1+𝑥 2√𝑥 𝑥

1 𝑥2 1 √𝑥 (1 + 𝑥 2 + 2𝑥 arctan 𝑥 + 2𝑥 ) − 2√𝑥 𝑥

𝑥 2 √𝑥 1 𝑥 − + 2𝑥 √𝑥 arctan 𝑥 + √ 2 2𝑥 1+𝑥 2√𝑥 𝑥

1 2 𝑑𝑦 = 𝑒 𝑥 arctan(𝑥) +2 ln(𝑥)+1 𝑑𝑥 [

Solución:

𝑦 ′ = (𝑥 3 )′ cos(𝑥 −3) + 𝑥 3 (cos(𝑥 −3))′

𝑦 ′ = 2𝑥 2 cos(𝑥 −3) + 𝑥 3 (−𝑠𝑒𝑛( 𝑥 −3 )(−3𝑥 −4)) 𝑦 ′ = 2𝑥 2 cos(𝑥 −3) −

3𝑥 3 𝑠𝑒𝑛( 𝑥 −3) 𝑥4

3𝑠𝑒𝑛( 𝑥 −3) 𝑥

]

1 𝑥 2 √𝑥 𝑥 + 2𝑥 √𝑥 arctan 𝑥 + √ 2𝑥 − 2√𝑥 1 + 𝑥2 𝑥

17.- Hallar la derivada de 𝑦 = 𝑥 3 cos(𝑥 −3 )

𝑦 ′ = 2𝑥 2 cos(𝑥 −3) −

]

𝑑𝑦 3𝑠𝑒𝑛( 𝑥 −3) 𝑦 ′ = = 2𝑥 2 cos(𝑥 −3) − 𝑥 𝑑𝑥

]

18.- Hallar la derivada y simplificar a su mínima expresión: √4 tan 𝑥 + 1 − 2√tan 𝑥 ) 𝑦 = ln ( √4 tan 𝑥 + 1 + 2√tan 𝑥 Solución:

Utilizando propiedades de logaritmo:

√4 tan x + 1 − 2√tan x ) = ln(√4 tan 𝑥 + 1 − 2√tan 𝑥) − ln(√4 tan 𝑥 + 1 + 2√tan 𝑥) 𝑦 = ln ( √4 tan x + 1 + 2√tan x

𝑦 = ln(√4 tan x + 1 − 2√tan x) − ln(√4 tan x + 1 + 2√tan x)

Derivando:

′

′

(√4 tan 𝑥 + 1 − 2√tan 𝑥) (√4 tan 𝑥 + 1 + 2√tan 𝑥) 𝑦′ = − √4 tan 𝑥 + 1 + 2√tan 𝑥 √4 tan 𝑥 + 1 − 2√tan 𝑥 4 sec2 𝑥 2 sec2 𝑥 2 sec2 𝑥 4 sec2 𝑥 ( + − ) ) ( 2√4 tan 𝑥 + 1 2√tan 𝑥 2√4 tan 𝑥 + 1 2√tan 𝑥 𝑦′ = − √4 tan 𝑥 + 1 − 2√tan 𝑥 √4 tan 𝑥 + 1 + 2√tan 𝑥

2 1 1 2 ( ( + ) ) − tan 𝑥 tan 𝑥 + 1 tan 𝑥 tan 𝑥 + 1 √4 √ √4 √ 2 2 − sec 𝑥 𝑦′ = sec 𝑥 √4 tan 𝑥 + 1 − 2√tan 𝑥 √4 tan 𝑥 + 1 + 2√tan 𝑥

2√tan 𝑥 + √4 tan 𝑥 + 1 2√tan 𝑥 − √4 tan 𝑥 + 1 ) ) ( tan 𝑥 tan 𝑥 tan 𝑥 + 1 tan 𝑥 + 1 √4 √ √4 √ − sec2 𝑥 𝑦′ = sec2 𝑥 √4 tan 𝑥 + 1 + 2√tan 𝑥 √4 tan 𝑥 + 1 − 2√tan 𝑥 (

√ tan 𝑥 + 1 − 2√tan 𝑥 2√tan 𝑥 + √4 tan 𝑥 + 1 ) ) ( √4 tan 𝑥 + 1 √tan 𝑥 √4 tan 𝑥 + 1 √tan 𝑥 2 2 𝑦′ = sec 𝑥 − sec 𝑥 √ tan 𝑥 + 1 + 2√tan 𝑥 √4 tan 𝑥 + 1 − 2√tan 𝑥 −(

𝑦′ = sec2 𝑥 𝑦′ = 𝑦′ = 𝑦′ =

−1

√4 tan 𝑥 + 1√tan 𝑥

− sec2 𝑥

√4 tan 𝑥 + 1√tan 𝑥 − 2sec2 𝑥

−

− sec2 𝑥

sec2 𝑥

1

√4 tan 𝑥 + 1 √tan 𝑥

√4 tan 𝑥 + 1 √tan 𝑥

√4 tan ...