Derivadas resumo PDF

Preview

Summary

Breve resumo, apresentando as principais derivadas usadas...

Description

Derivadas Este é um pequeno resumo sobre derivadas e regras de derivação, bem breve sem demonstrações, funcionando como um auxilio, se quiser entender as formulas ou algumas explicações dadas aqui consulte o livro de cálculo de sua preferência, além do mais tem algumas dicas uteis no documento.

1. Derivadas de Funções Constantes, Polinomiais, Exponenciais e Potencia Funções constantes: A derivada de uma constante é 0

𝑓(𝑥) = 𝑐 → 𝑓 ′ (𝑥) = 0

Funções potência: Funções do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 

Regra da potência:

𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 → 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑛𝑥 𝑛−1

Obs: “n” pode ser qualquer número real Dica 1: Em frações do tipo 𝑓(𝑥) =

1

𝑥𝑛

, usa-se geralmente as propriedades de

potenciação para simplificar os cálculos. Ex: 𝑓(𝑥) =

1

𝑥2

= 𝑥 −2

Dica 2: Para raízes 𝑓(𝑥) = √𝑥 , é bom utilizar a propriedade de potenciação para simplificar os cálculos e se quiser no final retorna a raiz que tinha no início do problema. 𝑛

Ex: 𝑓(𝑥) = √𝑥 4 = 𝑥 4/5 → 𝑓 ′ (𝑥) = 5



4

5

𝑥 −1/5 = 5 5 𝑥 4

√

Regra de Multiplicação por constante 𝑐𝑓(𝑥) = 𝑐𝑓′(𝑥)

Essa regra é simples se tiver uma constante multiplicando uma função, isole a constante e derive a função. Ex: 𝑓(𝑥) = 5𝑥 3 → 𝑓 ′ (𝑥) = 5(3𝑥 2 ) = 15𝑥 2

Dica 3: Sempre que tiver constantes em derivadas procure usar essa regra 

Regra da Soma e subtração

[𝑓(𝑥 ) + 𝑔(𝑥 )]′ = 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)

[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥 )]′ = 𝑓 ′ (𝑥) − 𝑔′ (𝑥)

Outra regra simples, se tivermos duas funções e ambas forem diferenciáveis, o resultado será a soma das derivadas ou a diferença delas. Funções Exponenciais: Funções do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 , a é uma constante.

As funções exponenciais possuem uma regra importante, em que se ela for diferenciável em 0, então ela é derivável em toda parte. 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑓 ′ (0)𝑎 𝑥

Para simplificar os cálculos existe uma base a, tal que f’(0) = 1 e esta base é o número “e”. 

Regra para base “e”

𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 → 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑒 𝑥

Dica 4: Esse tipo de derivação é bastante utilizado no cálculo diferencial por simplificar bastante as contas. 

Regra geral

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 → 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑎 𝑥 ln(𝑎)

Dica 5: Esse tipo de derivação é pouco utilizado, mas é bom conhecer. Equação da Reta Tangente Uma das interpretações da derivada é a inclinação da reta tangente em um ponto 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑎)( 𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎)

Dica 6: Em questões desse tipo vem um par ordenado do tipo (a,f(a)), em que o “a” equivale ao valor de x (para não confundir na eq. da reta tg pois iria ficar x-x) e o f(a) equivale ao f(x). A reta normal é a reta que é perpendicular (90º) à reta tangente em um ponto p. Sua equação é: 𝑦=

−1 (𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎) 𝑓 ′ (𝑎)

2. Regra do Produto e Quociente

Regra do produto: Se duas ou mais funções são deriváveis, então (𝑓𝑔)′ = 𝑓 ′ 𝑔 + 𝑓𝑔′

Dica 1: A regra do produto não segue a ideia de por exemplo a regra da soma em que na regra da soma, a derivada da soma é a soma das derivadas (𝑓𝑔)′ ≠ 𝑓′𝑔′

Regra do Quociente: Se duas funções são deriváveis, então 𝑓 ′ 𝑓 ′ 𝑔 − [𝑓𝑔′ ] ( ) = 𝑔 𝑔2

Dica 2: Às vezes é melhor simplificar uma fração, se tornando um produto do que usar a regra do quociente, e cuidado com o sinal de menos na fração.

3. Derivadas de Funções Trigonométricas Serão apresentadas as derivadas das funções trigonométricas e as derivadas das funções trigonométricas inversas, as derivadas das inversas são obtidas por derivação implícita que será um assunto posterior. 

Funções Trigonométricas

Função Seno:

𝑠𝑒𝑛 (𝑥)′ = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥)

Função Cosseno:

cos(𝑥)′ = −𝑠𝑒𝑛 (𝑥)

Função Tangente:

𝑡𝑔(𝑥)′ = 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥)

Dica 1: A função secante é o inverso da função cosseno: sec(𝑥) = Função Cossecante:

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥)𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)

1

cos(𝑥)

Dica 2: A função cossecante é o inverso da função seno: 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) = Função Secante:

Função Cotangente:

𝑠𝑒𝑐(𝑥) = sec(𝑥) 𝑡𝑔(𝑥) 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥)

Dica 3: A função cotangente é o inverso da função tangente: 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) = 

1

𝑠𝑒𝑛 (𝑥)

cos(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

Funções Trigonométricas Inversas

Nas funções trigonométricas inversas tem duas formas de identificação, a primeira como exemplo é: arcsen, arccos, arctg, etc. E a mais usual é: sen-1, cos-1, tg-1, etc. Função inversa do seno: (𝑠𝑒𝑛 −1𝑥)′ = Função inversa do cosseno: (𝑐𝑜𝑠 −𝟏𝑥)′ = Função inversa da tangente:

1

√1 − 𝑥 2 −1

√1 − 𝑥 2

Função inversa da cossecante:

1 (𝑡𝑔−1𝑥)′ = 1 + 𝑥 2

(𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 −1 𝑥)′ = Função inversa da secante: (𝑠𝑒𝑐 −1 𝑥)′ = Função inversa da cotangente:

−1

𝑥√𝑥 2 − 1 1

𝑥√𝑥 2 − 1

(𝑐𝑜𝑡𝑔−1 𝑥)′ =

−1 −1

𝑥2

Obs: Nas funções trigonométricas tanto as normais como as inversas, ao ter um problema do tipo por exemplo: sen2 x, isso significa que toda aquela função está elevada aquele expoente entre a função trigonométrica e o seu atributo.

4. Regra da Cadeia

𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = (𝑠𝑒𝑛 𝑥)2

Essa é uma das regras mais importantes e utilizadas na diferenciação, na verdade em outras regras intuitivamente você aplica esta regra. Na regra da cadeia se tivermos uma composição de funções do tipo f(g(x)) e ambas as funções forem deriváveis utiliza a seguinte regra: 𝐹 ′ (𝑥 ) = 𝑓 ′ (𝑔(𝑥 )) ∗ 𝑔′(𝑥)

Em outra notação (que é a minha preferida):

𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = ∗ 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥

Ou seja, você irá derivar y em relação a u, e u em relação a x, nessa formula é, mais fácil de lembrar porque se eles fossem uns quocientes de verdade poderíamos cancelar du, e só sobrava dy e dx, e na resposta final não pode ter “u”, substituindo o u pelo o seu valor inicial. Ex: 𝑓(𝑥) = 𝑒 −𝑥+2 y = eu ; u = -x+2

𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑢 ∗ (−1) = −𝑒 −𝑥+2 = ∗ 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥

Obs: a regra da cadeia é utilizada em todos os tipos de derivadas praticamente, até aquelas que nem imaginamos que exista a regra da cadeia, por exemplo para se calcular a derivada de √𝑥 , não é necessário usar a regra da cadeia literalmente

pois o “x” não está composto, mas por exemplo se aplicarmos a regra da cadeia nele: 𝑑𝑦

1 1 1 1 𝑑𝑦 𝑑𝑢 1 𝑥 −2 ∗ (1) = 𝑥 −2 = = ∗ = 2 2√ 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Ira fornecer o mesmo resultado. Isso também pode ser visto em outras derivadas como (ex , ln(x), etc.).

5. Derivação Implícita Tem funções que por exemplo não dependem de uma variável somente (x), podem depender de duas variáveis (x e y), assim para derivar essas funções basta derivar ambos os lados simultaneamente, aplicando as regras anteriores. Esse método de derivação é bastante usado no cálculo diferencial. Ex: encontre y’ (ou dy/dx) da função: x3 + y3 = 64 Resolução: (x3 +y3)’ = (64)’ Obs: como você está derivando ambas as variáveis em relação a x, preste atenção no próximo passo. 3x2 *(dx/dx) +3y2 *(dy/dx) = 0 3y2(dy/dx) = - 3x2 dy/dx = - 3x2/3y2 dy/dx = -x2/y2 A fração dx/dx é igual a 1 portanto não é necessário colocar foi só para ilustrar, já o dy/dx é essencial, pois sem ele não tem como achar a resposta final. Dica 1: Pode usar também a notação de linha (que é a minha preferência) ao invés do dy/dx por exemplo. Dica 2: Em problemas em que apareçam mais de uma variável y, significa que irá aparecer mais de um dy/dx (ou y’), então para não se perder nestes problemas, calcule as derivadas e depois deixe tudo que tem dy/dx (ou y’) em um lado e o que não tem em outro, coloque o y’ em evidencia, passe o que está multiplicando para o outro lado dividindo e então terá a resposta final.

6. Derivadas de funções logarítmicas Utilizando derivação implícita, se descobre as derivadas de funções logaritmicas. 

Regra para log

(log𝑎 𝑥)′ =

1 𝑥 ln(𝑎)

Dica 1: essa forma de derivação é muito pouco utilizada no cálculo. 

Regra para ln

(ln 𝑥)′ =

1 𝑥

Dica 2: esse tipo de derivação é muito utilizado em problemas no cálculo, já que é melhor trabalhar com a base “e” no intuito de simplificar as contas. Obs: se tiver um logaritmo composto por outra função utilize a regra da cadeia, um exemplo desse uso seria derivar: ln(𝑥 2 ).

Obs 2: Se em algum problema de logaritmo tiver uma função definida por partes (com modulo), a forma de derivação é a mesma. (ln| 𝑥 |)′ = 

Derivadas logarítmicas

1 𝑥

Em alguns casos existem derivadas que são muito difíceis de calcular, envolvendo a regra da cadeia além de produtos, potências, divisões, etc. Nestes casos aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados e depois faz a derivação implícita, além de aplicar as propriedades dos logaritmos, lembre-se sempre da propriedade da potência, multiplicação e divisão, no final é só substituir o y pela função inicial. Ex: encontre a derivada 3

𝑥 − 2 ( 𝑥 + 5) 5 𝑦= (2𝑥 + 4)4 3

3 𝑥 − 2 (𝑥 + 5)5 ) → ln 𝑦 = ln (𝑥 − 2 ) + ln(𝑥 + 5)5 − ln(2𝑥 + 4)4 ln 𝑦 = ln ( 4 (2𝑥 + 4) 3

ln 𝑦 = ln (𝑥 − 2 ) + 5 ln(𝑥 + 5) − 4ln(2𝑥 + 4)

1 −3 −5 1 1 ′ 1 𝑥 2+5 𝑦 =( 3∗ ∗1−4 ∗ 2) 2 𝑦 𝑥+5 2𝑥 + 4 𝑥 −2

𝑦 ′ = 𝑦(

−3𝑥 −1 5 8 + − ) 2 𝑥 + 5 2𝑥 + 4 3

5 8 𝑥 − 2 (𝑥 + 5)5 −3 + − 𝑦′ = ( ) )( 4 2𝑥 𝑥 + 5 2𝑥 + 4 (2𝑥 + 4)

7. Funções Hiperbólicas As funções hiperbólicas, nada mais são as combinações de certas funções exponenciais (𝑒 𝑥 , 𝑒 −𝑥 ) , que tem um nome diferente. Elas são análogas as funções trigonométricas e as identidades trigonométricas também podem ser aplicadas as funções hiperbólicas. -> Funções







Seno hiperbólico 𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 = 2 Cosseno hiperbólico 𝑒 𝑥 + 𝑒−𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 = 2 Tangente hiperbólica 𝑡𝑔ℎ 𝑥 =







-> Derivadas

𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 cosh 𝑥

Cossecante hiperbólica 1 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 Secante hiperbólica 1 sech 𝑥 = cosh 𝑥 Cotangente hiperbólica cosh 𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥



Seno hiperbólico (𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥)′ = cosh 𝑥



Cosseno hiperbólico (cosh 𝑥)′ = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥



Tangente hiperbólica (𝑡𝑔ℎ 𝑥 )′ = 𝑠𝑒𝑐ℎ2 𝑥



Cossecante hiperbólica (𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥)′ = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ 𝑥



Secante hiperbólica (sech 𝑥)′ = −sech 𝑥 𝑡𝑔ℎ 𝑥



Cotangente hiperbólica (𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ 𝑥)′ = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ2 𝑥

Dica 1: As derivadas das funções hiperbólicas são praticamente as mesmas das funções trigonométricas, mas atenção que em algumas os sinais são diferentes. 

Funções hiperbólicas inversas

Se as funções hiperbólicas são deriváveis, então as inversas, também possuem derivadas, elas estão listadas a seguir.  Seno hiperbólico inverso

(𝑠𝑒𝑛ℎ −1𝑥)′ =

1

 Cosseno hiperbólico inverso

√𝑥 2 + 1

 Tangente hiperbólica inversa

√𝑥 2 − 1

(𝑐𝑜𝑠ℎ−𝟏 𝑥)′ = (𝑡𝑔ℎ−𝟏𝑥 )′ =

 Cossecante hiperbólica inversa

1

1 1 + 𝑥2

−1 (𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ−𝟏 𝑥)′ = |𝑥|√𝑥 2 + 1

 Secante hiperbólica inversa

(𝑠𝑒𝑐ℎ−𝟏𝑥 )′ =

 Cotangente hiperbólica inversa

−1

𝑥√1 − 𝑥 2

(𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ−𝟏 𝑥)′ =

1 1 − 𝑥2

Obs: as derivadas da tangente e da cotangente inversa parecem iguais, mas os domínios dessas funções são diferentes, enquanto a tangente hiperbólica é definida para |x| < 1, a cotangente hiperbólica é definida para |x| > 1....