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Temas:Sede:ChiclayoFACULTAD DE INGENIERIAESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERA CIVILTRABAJO INDIVIDUALDerivadas ParcialesDerivada direccional y el Gradiente de una funciónMáximos y MínimosAutor: Jose Antonio Banda SamameJose Antonio Banda SamameDocente:Ing. Vásquez Quispe Apolonio NormanLambaye...

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FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERA CIVIL

TRABAJO INDIVIDUAL Temas: Derivadas Parciales Derivada direccional y el Gradiente de una función Máximos y Mínimos

Jose Antonio Banda Samame

Autor: Jose Antonio Banda Samame Docente:

Ing. Vásquez Quispe Apolonio Norman

Sede:

Chiclayo

Lambayeque- Perú 2020- I

DERIVADA PARCIAL En cálculo diferencial, una derivada parcial de una función de diversas variables, es la derivada respecto a cada una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial, geometría diferencial, funciones analíticas, física, matemática, etc. La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:

¿Qué es una derivada parcial? Vamos a suponer que estás familiarizado con la derivada ordinaria del cálculo de df

una sola variable, dx

.Me gusta mucho esta notación para la derivada, porque la

puedes interpretar como sigue: 

Interpreta, dx como "un cambio muy pequeño en x ".



Interpreta "df" como "un cambio muy pequeño en el valor de salida de f", donde se entiende que este pequeño cambio es lo que sea que resulte de ese pequeño cambio dx en el valor de entrada. df

De hecho, creo que esta idea intuitiva para el símbolo dx

es uno de los puntos

más útiles del cálculo de una variable, y cuando realmente lo empieces a sentir en tus huesos, la mayoría de los conceptos alrededor de la derivada comienzan a tener mucho sentido.

Por ejemplo, cuando aplicas este concepto a la gráfica de f, puedes interpretar esta "razón"

df dx

como el desplazamiento vertical/horizontal de la gráfica de f, que

depende del punto donde comenzaste.

INCREMENTOS DIFERENCIALES

EJERCICIOS 1. Sea

2

y =3 x −5

Calcular: a)

Δ y a un Δ x de x

b)

Δ y cuando x cambia de 2 a 2.1

solucion. 2 Δ y=3 ( x + Δ x ) −5−( 3 x −5) 2

x 2+2 x Δ x+( Δ¿ x 2 )−5 −3 x 2 +5 Δ y=3 ¿ x Δ¿ ¿ 2 Δ y=3 x +6 x Δ x+3 ¿ x Δ¿ ¿ Δy =6 xΔx +3 ¿

x=2

Δ x=0.1

Δ y=6 ( 2 )(0.1 )+3 ( 0.1 )2

Δ y=1.23

2. Sea

y= x

3

determinar

Δ y , dy para x=1 Δx=0.02

x x+ Δ ¿ ¿ Δ y=¿

x Δ¿ ¿ x Δ¿ ¿ Δ y=x3 +3 x 2 Δ x+3 x ¿

x Δ¿ ¿ x Δ¿ ¿ Δ y=3 x 2 Δx+3 x ¿ x=1 Δx=0.02 1 ¿ ¿ 0.02 ¿ ¿ 0.02 ¿ ¿ Δ y=3 ¿ Δ y =0.0612

3. Para la función f ( x , y ) =6 x 2+5 x 3 y 4−10 y 5 determinar las primeras y las segundas derivadas parciales. ∂f =fx=12 x+5 y 4∗3 x 2−0 ∂x ∂f =fy=0+5 x 3∗4 y 3−50 y 4 ∂y

( )

∂ ∂f ∂2 f = =fxx=12+15 y 4∗2 x =12+30 x y4 2 ∂x ∂x ∂x

2

fx=12 x+15 x y

4

fy=20 x 3 y 3 −50 y 4

( )

∂2 f ∂ ∂f = =fxy=0+15 x 2∗4 y 3=60 x 2 y3 ∂ y ∂ x ∂ y∂ x

( )

∂2 f ∂ ∂f = =fyx=20 y 3∗3 x 2−0=60 x 2 y 3 ∂x ∂ y ∂x ∂ y

( )

∂ ∂f ∂2 f 3 2 3 3 2 3 = 2 =fyy=20 x ∗3 y −200 y =60 x y −200 y ∂y ∂ y ∂ y

4.

2 3 f ( x , y ) =3 x +5 y

∂f =¿ ∂x

5.

∂f =15 y 2 ∂y

x

fx =6 x

f ( x , y ) =5 x2 y 3−3 x 3 y 5

∂f 5 2 3 2 5 =5 y 3 (2 x ) −3 y ( 3 x ) =10 x y −9 x y ∂x ∂f 2 3 4 2 2 3 4 2 =5 x (3 y )−3 x ( 5 y ) =15 x y −15 x y ∂y

6.

5 3 2 4 f ( x , y) =x +3 x y +3 x y

∂f =fx ∂x

∂f =fy ∂y

∂f =5 x 4 +9 x 2 y 2 +3 y 4 ∂x ∂f =6 x 3 y+12 x y 3 ∂y

7.

2 2 f (r , s ) =r ln ( r +s )

2

2r ∂f r∗1 =ln (r 2 +s2 ) + 2 2 ∗2 r=ln ( r 2+ s 2 ) + 2 2 ∂r r +s r +s

2 ∂ f r∗1 = 2 2 ∗2r = 22 r 2 ∂s r +s r +s

8.

ω=√ r +s + t 2

2

2

−1 2

2

r

2

r + s +t ¿ 2 ∗2r =

√r

2

√r

2

2

2

2

2

2

2

+s +t

1 ωr = ¿ 2

−1 2

2

s

2

r + s +t ¿ 2 ∗2 s=

+s + t

1 ωs = ¿ 2

−1

r 2 + s 2 +t2 ¿ 2 ∗2t=

t

√r

2

+ s +t

1 ωt = ¿ 2

9.

z=4 x2 z 2−x y 4+ xz hallar

∂z ∂z =? , =? ∂x ∂y

∂z ∂z ∂z 4 =2 xy z 2 +2 x 2 yz − y +z + x ∂x ∂x ∂x ∂z x∂ z ∂z −2 x2 yz − =2 xy z2 − y 4 + z ∂x ∂x ∂x

∂z ( 1−2 x 2 yz− x )=2 xy z 2 − y 4 + z ∂x

∂ z 2 xy z 2− y 4 + z = ∂ x ( 1−2 x 2 yz − x ) ∂z ∂z ∂z −4 xy 3+ x =x 2 z 2 +2 x 2 yz ∂y ∂y ∂y ∂z x∂ z ∂z − −2 x 2 yz =x 2 z 2−4 x y 3 ∂y ∂y ∂x

( 1−2 x 2 yz− x ) ∂ z =x2 z 2−4 x y 3 ∂y

x2 z 2−4 x y 3 ∂z = ∂ y (1−2 x 2 yz − x)

10.

6 4 2 f ( x , y , z ) =x sen ( 3 y z )

fx=

∂f =5∗sen ( 3 y 4 z2)∗6 x 5 ∂x

¿ 30 x5∗sen( 3 y 4 z 2 ) fy=

∂f 4 2 2 3 =5 x 6∗cos (3 y z )∗3 z 4 y ∂y ¿ 60 x6 y 3 z2 cos ( 3 y 4 z 2)

fz=

∂f 4 2 4 6 =5 x ∗cos ( 3 y z )∗3 y 2 z ∂z ¿ 30 x y z cos( 3 y z ) 6

4

4

2

Definición del gradiente de una función de 2 variables Sea Z = f (x, y) una función de x, y tal que existen fx y fy . El gradiente de f , denotado por ∇f (x, y) es el vector ∇f ( x , y ) =(f x ( x , y ) , f y ( x , y ) )

Otra notación usual para el gradiente es grade (x, y). Para cada punto (x, y), el gradiente ∇f (x, y) es un vector en el plano, (no en el espacio). El gradiente ∇F es normal a las superficies de nivel Si F es diferenciable en (x0, y0, z0) y ∇F(x0, y0, z0) =  0, entonces ∇F(x0, y0, z0) es normal a la superficie de nivel que pasa por (x0, y0, z0). Es necesario darse cuenta de que ∇f (x, y) es un vector en el plano y ∇F(x, y, z) es un vector en el espacio. El vector gradiente marcara la dirección de máxima variación de la función en cualquier punto.

DERIVADAS DIRECCIONALES La derivada direccional es el producto escalar del gradiente por el vector unitario que determina la dirección. Definición formal de derivada direccional Si f es una función diferenciables de x e y, su derivada direccional en la dirección del vector unitario u es Duf (x, y) = ∇f (x, y) · u

EJERCICIOS

1. Sea f ( x , y ) =√ x 2 + y 2 a) encontrar el vector gradiente de f en el punto P (4,-3). b) calcular la derivada direccional de f en la dirección del vector del punto P (4,-3) al punto Q (1,0). x 1

(¿ ¿ 2+ y 2 ) 2 x 2 + y 2=¿¿ f ( x , y ) =√ ¿

x 1 2 2

(¿ ¿ 2+ y ) ∗( 2 x )= fx=

fx ( P )=

√4

√ x + y2

∂f 1 = ¿ ∂x 2 4

2

x 2

2

+(−3)

=

4 4 = √ 25 5

x −1 2 2

(¿ ¿ 2+ y ) ∗( 2 y ) = fy= fx ( P )=

√4

√x

+ y2

∂f 1 = ¿ ∂y 2

−3 2

y 2

2

+(−3)

=

−3 −3 = √ 25 5

VECTOR GRADIENTE ∇f ( P ) =⟨ fx ( P ) , fy ( P ) ⟩

=

⟨

⟩

4 3 4 , −3 = i^ − ^j 5 5 5 5

P Q=Q (1,0 )−P(4 ,−3) Q = ⟨−3,3 ⟩ P 3 ∥ PQ ∥=√ (−3 )2 +32= √ 18=√ 2

 ⟨ −3,3⟩ PQ  U= = 3  ∥PQ ∥ √ 2

⟨ ⟩ ⟨√ √ ⟩

−3 3  U= 3 , 3 √2 √ 2 −1 1  U= 3 , 3 2 2

DERIVADA DIRECCIONAL DE LA FUNCION D U f =∇f (P )∗ U ¿

⟨

⟩⟨

4 −3 −1 1 , ∗ 3 ,3 5 5 √2 √ 2

⟩

−3 1 +( )( ) ( 45 )( −1 ) 5 √2 √2

¿

−7 ∗√2 5 3 −4 2 √ = − DU f = 5 √2 5 √2 √2

DU f =

−7 √ 2 10

2. Sea

3 3 f ( x , y) =x y P (−1,2 ) a=4 i−3 j

3 −¿ ¿ ¿2 42 +¿ |a|= √¿

|a|=5 u=

4 i−3 j 4 i − 3 j = 5 5 √2

4i 3 j ^ U= − 5 5

fx ( x , y )=3 x 2 y 2 3 fx ( x , y )=2 x y

( )

−3 2 2 4 D U f ( x, y )=3 x y +2 x3 y 2 5 5 D U f ( −1,2)=3(−1)2 (2)2 D U f ( −1,2)=

( )

−3 4 +2 (−1)3 (2)2 5 5

48 12 60 + = =12 5 5 5

3. La temperatura en un punto (x,y) de una región del plano xy

z=0

100 xy T (x , y)= 2 2 x +y

está dada por la temperatura que depende

a) Calcula la razón de cambio de la temperatura en el punto (2,1) en la direccion del vector que forma un angulo de 60° con la parte positiva del eje x b) En que direccion a partir del punto (2,1) la razón del cambio de temperatura es máxima. T (x , y )=

100 xy 2 2 x +y

∂ f 100 y 3 −100 x 2 y ∂ f 100 x3 −100 x y 2 = = 2 2 ∂y ∂x ( x 2+ y 2) ( x2 + y 2)

(

∇f ( x , y ) =

∇f ( 2,1) =

(

100 y 3−100 x 2 y 3 2 ∗100 x −100 x y 2 2 2 (x + y ) 2

( x 2+ y 2 ) 3

2

)

100 ( 1 ) −100 ( 2) ( 1 ) ∗100 ( 2) 3 −100 ( 2 ) ( 1)2 2 2 2 ( ( 2 ) + (1 ) )

∇f ( 2,1) =(−12,24 )

VECTOR UNITARIO

(( 2) 2 + (1 )2)

2

)

x=cos 60 °

D U f ( Po ) =vf ( Po) ∗^u

1 ∗√3 2 u= 2

1 ∗√ 3 2 D U f ( Po ) =(−12,24 )∗ 2

( )

y=sen 60 °

( )

( 12 )+(24) ( √23 )

D U f ( Po )= ( −12) D U f ( Po ) =14.7846

4. Calcular la derivada direccional de la función f ( x , y) =e y senx en el Q =( 2,1 ) . punto P(0,0) en la dirección del vector  D f P =∇f ( P ) ∗ UQ Q

e0 cos 0, e 0 sen 0=( 1,0 ) ∂f ∂f y y , = ( e cosx , e senx ) ( P ) =¿ ∇f = ∂x ∂ y

(

)

 Q 2 2   Q= 2 , 1 U Q= ;| Q|=√ 2 + 1 = √ 5U Q| √ 5 √5 |

(

(

)

)

2 1 2 = U Q=( 1,0 )∗ D f P =∇f ( P ) ∗ , √ 5 √ 5 √5 Q

5. Sea

f ( x , y , z ) =3 x 2 y + 4 x z 3

calcular

( ∂∂ fx ,∂∂yf , ∂∂ fz )

∇f =

∇f =3 ¿ 2 x 2 y +4∗1 z 3 , 3 x 2 1+ 0,0 +4 x∗3 z 2 ∇f =6 xy+4 z 3 , 3 x 2 ,12 x z 2

∇f

6. Calcular el vector gradiente de las siguientes funciones en un punto genérico y, si es posible, en el punto que se indica: f ( x , y)=

x+ y P( 1,1) xy 2

− y −1 D1 f ( x , y ) = 2 2 = 2 x x y

()

−1 2 x ∇f ( x , y ) = =∇f ( 1,1) =(−1 ,−1 ) −1 2 y 2

−x −1 D 2 f ( x, y ) = 2 2 = 2 y x y

7. Derivada direccional

∇f ( x , y ) =

3 6 f ( x , y ) =5 x y ; (−1,1 );θ=

∂f ∂f j i+ ∂x ∂y

∇f ( x , y ) =15 x 3 y 6 i+30 x 3 y 5 j 3

6

3

5

∇f (−1,1 )=15 (−1) ( 1 ) i+30 (−1 ) ( 1) j ∇f (−1,1 )=15 i−30 j u=cosθi+ senθj 3 1 u= √ i+ j 2 2

π 6

D U f ( −1,1)=∇f (−1,1 ) u

( √23 i+ 12 j)

Duf (−1,1 )= (15 i−30 j ) Duf (−1,1 )=

8. Calcule

15 √ 3 −15 2

∇f ( x , y )

para

3 2 f ( x , y ) =5 y−x y

∂ ∂ 3 2 (5 y−x 3 y 2 ) j ∇f ( x , y ) = ( 5 y−x y ) i+ ∂ ∂y 3 2 3 ∇f ( x , y ) =−3 x y i +( 5−2 x y) j

MAXIMOS Y MINIMOS JEMPLOS 1. f ' ' ( x 1 )=6 x 1=6 ( 1 )= 6>0

f ' ' ( x 2 ) =6 x 2=6 ( −1) =−6>¿

3 f ( x ) =x −3 x +2 f ' ( x )=3 x 2−3 f ' ' ( x ) =6 x

f (1 )= (1 3) −3 ( 1 )+2=0

f ' ( x )=0 3 x 2 −3=0

3 f (−1) =(−1 ) −3( −1 )+2=4

x 1=0 x 2=−1

2.

f ( x ) =3 x−x 3

f ( x ) =3 x−x 3 f ' ( x )=3−3 x

2

f ' ' ( x ) =−6 x

Ahora encontremos los puntos críticos x ¿ a través de la solución (o soluciones) de la ecuación f ' ( x)=0 , es decir 3−3 x 2=0 . Las soluciones de x 1=−1 x 2=1 . esta ecuación son ¿ Finalmente se evalúa f ' ' ( x ) en los puntos críticos x si f ' ' x ¿ 0 o f ' ' ( x )...