Funciones de varias variables y derivadas parciales PDF

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Actividad número cuatro que aborda temas teóricos y prácticos sobre el tema de funciones de varias variables y derivadas parciales...

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CÁLCULO DIFERENCIAL MULTIVARIADO Y ÁLGEBRA LINEAL ASESOR: JORGE MENDOZA ÁLVAREZ ALUMNA: GALVEZ CORTÉS ABIGAIL ALEXANDRA

Sección A Derivadas parciales 1. Da la interpretación económica de la derivada parcial de primer orden Cuando se están produciendo x unidades de A y y unidades del producto B, esto se convierte en un costo final de C. La función de costos con respecto a la variable y, esto se interpreta como la razón de cambio C con respecto a y solo cuando x se mantiene fija. 2. ¿Qué información nos proporcionan las derivadas parciales de segundo orden? Nos ayudan a saber si la productividad o costos marginales son crecientes, constantes o decrecientes, en el caso de la productividad si la derivada de segundo orden es positiva quiere decir que cada unidad adicional que añadamos al proceso productivo del factor evaluado incrementa la producción, si el resultado es igual a cero quiere decir que cada unidad adicional añadida al proceso mantiene constante la producción y si la derivada parcial de segundo orden es menor que cero entonces decimos que cada unidad adicional añadida al proceso de producción produce menos que la anterior. 3. Determina las derivadas de primer y segundo orden ejercicios: a) ((,8 8) = 82 − 6 6 1 63 6 6= 16� ��� = 16 8 8= −48� 2 6 6= −96� b) (,( 8 8) = 1 82 7 + 7 76 6 6 7+ 62 67 67 67 6 = 3 7+ 7� ��� = 36 72 7= 2 + 12�

de los siguientes

��� = 12 4. Determina únicamente las derivadas de primer orden de los siguientes ejercicios: a) (, 5) = 52 + 0 + 203 0= 1 + � 0 =0+ 60� 2 b) (, ) =

5 5 32 − 2 22

5= 15�

5 5 32 − 2 2 2 �2

4= −4�

5 5 32 − 2 22 �

c) (, 2) = 22 5 − 5 5 3�2 45 4= 5 − 15� 2�2 0= −10� 3� d) (,(, , ) = 3�2 + 3�2 + 3�2 3= 3� 2�2 2 + 2 23 2= 2� 33+ 3� 2�2 2= 2� 33+ 3� 2�2 Sección B Realiza los siguientes ejercicios: 1. Sea (, 2) = −22 222 − − 22 + 623 6 + 4 2 − 158 Calcula (0,1) (2,3) 42 4= −2 − 2� + 36 ��(0,1) = 34 ��(2,3) = 22 24 2= −4 − 4� + 42 ��(0,1) = 38 ��(2,3) = 26 2. La función definida por (,2 (,) = −22 222 − − 22 62 + 3 6 + 4 2 − 158 para todo (x,y) tiene un máximo. Encuéntrala. (Pista: para encontrar el máximo deberá derivar la función parcialmente con respecto a x y con respecto a y, y en ambos casos igualar a ceroy despejar cada variable.)

3. Los beneficios anuales (en millones de pesos) de una empresa están dados por: 2 (− , )= − −2+ 28 28 282 2+ 1 8− 102 Donde es la cantidad invertida en investigación (en millones de pesos) es el gasto en publicidad (también en millones de pesos). a) Encuentra los beneficios cuando x=10, y=8 y cuando x=12, y=10 b) Encuentra los valores de x e y que maximizan los beneficios, junto con el beneficio correspondiente xy.

Regla de la cadena I.

En los siguientes ejercicios aplica la regla de la cadena para encontrar a) = � 2 2 −2 = 2−

b) = � 2 + 31

c) 3= 3�

II.

3

−2− 52

=3−2

=5−2

Aplicaciones de las derivadas parciales Resuelve los siguientes problemas mediante el uso del cálculo de varias variables. 1. Con x trabajadores calificados y y trabajadores no calificados, un fabricante puede producir Q(x,y)=3x2y unidades por día. En la actualidad laboran 20 trabajadores calificados y 30 no calificados. a) ¿Cuántas unidades se producen cada día?

b) ¿En cuánto cambiará el nivel de producción diario si se adiciona un trabajador no calificado a la fuerza laboral actual?

c) ¿En cuánto cambiará el nivel de producción diario si se adiciona un trabajador calificado a la fuerza laboral actual?

d) ¿En cuánto cambiará el nivel de producción diario si se adiciona un trabajador calificado y uno no calificado a la fuerza laboral actual?

2. En economía se dice que dos artículos son sustitutivos si la demanda Q1 del primero crece cuando el precio P2 del segundo crece, y Q2 del segundo crece cuando el precio P1 del primero crece. a) Da un ejemplo de un par de artículos sustitutivos Carne de res  Carne de res Carne de res  Pollo b) Si dos ariculos son susiuivos, ¿Qué debe suceder con las derivadas parciales ? Los valores de estas derivadas parciales son mayores que cero, lo que indica que son productos sustituivos. 3. Una tienda de pintura vende dos marcas de pintura plástica. Los cálculos de venta indican que si la primera marca se vende a x pesos por galón y la segunda marca se vende a y pesos por galón, la demanda de la primera marca será D1 (x,y)=200-10x+20y galones por mes, y la demanda de la segunda marca será D2 (x,y)=100+5x10y galones por mes. a) Expresa el ingreso total mensual de la tienda de pinturas en la venta de las pinturas como función de los precios x y y. El ingreso es el precio por la demanda, por lo cual la función de ingreso total es: b) Calcula el ingreso del inciso anterior si la primera marca se vende a 10 pesos por galón y la segunda a 15 pesos por galón 11

4. En una cierta fábrica, la producción diaria es de unidades, donde K representa el capital invertido medido en miles de pesos y L el tamaño de la fuerza de trabajo medida en horastrabajador. Determina las funciones de producto marginal del trabajo y del capital....