Funciones de varias variables PDF

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Ejercicios resueltos y explicados...

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Problema de funciones de varias variables Sea f ( x, y) 2 x 2  4 xy  5 y 2 1. Hallar el gradiente  4 x  4 y x

 10 y  4 x y

f ( x, y ) (4 x  4 y;10 y  4 x)

2. Hallar el gradiente en el punto P(2. -1) f ( x, y ) (4 x  4 y;10 y  4 x) f (2, 1) (4.2  4.(  1);10.(  1)  4.2 ) (12, 18)

3. Hallar el diferencial total en el punto P(2.-1) 12 dx -18 dy 4. Hallar la derivada de f en el punto P(2,-1) según la dirección v(3,-4) Norma de v =

v

=

3 2  (  4) 2  9 16  25 5

Normalizamos v dividiendo por su norma y nos queda

v 3  4  ,  v 5 5 

La derivada direccional es el producto escalar del gradiente en el punto por el vector normalizado:  3  4 108  36  72   =  (12.  18).( ,  = 5 ) 5 5 5    

5. ¿Cómo es la función en el punto P(2,-1) según la dirección v(3,-4)? Como la derivada direccional en ese punto según esa dirección es positiva, la función es creciente

6. ¿En qué dirección es máxima la derivada direccional? En la del propio gradiente, es decir en la dirección (12, -18)...