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ejercicios resueltos wolfram...

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Funciones de varias variables con Wolfram | Alpha Palencia González, Fº Javier, [email protected] García Llamas, Mª Carmen, [email protected] Facultad de CC. Económicas UNED

Funciones de varias variables con Wolfram | Alpha

Introducción •

Vamos a realizar operaciones con funciones de varias variables en la web WolframAlpha cuya dirección es:

www.wolframalpha.com

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Matemáticas para la Economía: Cálculo

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Introducción •

Una vez hemos entrado en la mencionada página web, seleccionamos la opción Mathematics, lo cual nos dará acceso a las distintas herramientas matemáticas existentes en la web.

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Escribir expresiones •

Se ha de tener cuidado con el uso de los paréntesis a la hora de introducir la función con la que queramos realizar operaciones. Los símbolos que pueden utilizarse son: “+”, suma “*”, multiplicación “^”, potencia “-”, resta “/”, división “sqrt”, raíz cuadrada

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El valor al que tiende la variable puede ser un número o infinito (“infinity”).

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Dominio •

Para hallar el dominio de una función de varias variables, en primer lugar se introduce la palabra reservada “domain of” seguida de la función de la que queremos obtener el dominio : domain of función

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Así por ejemplo si queremos calcular el dominio de  = escribiremos en la caja: domain of sqrt(9-x^2-y^2)

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9 −   − 

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Rango •

Para hallar el rango de una función, en primer lugar se introduce la palabra reservada “range of” seguida de la función de la que queremos obtener el rango : range of función

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Si queremos calcular el rango de la siguiente función,  = escribiremos en la caja: range of sqrt(9-x^2-y^2)

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9 −   − 

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Límites reiterados •

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Para hallar límites reiterados, se ha de introducir la palabra reservada “limit”, se abren paréntesis, la palabra limit otra vez, la función, la palabra reservada “as”, la variable primera, el símbolo “->”, el valor al que tiende la variable primera, la palabra “as”, la segunda variable, el símbolo “->”, el valor al que tiende la segunda variable y se cierra paréntesis. limit ( limit función as var1 -> valor1 as var2 -> valor2 ) Para hallar el límite reiterado de f(x,y)=xy, con x tendiendo a 2 e y tendiendo a 3: limit ( limit xy as x -> 2 as y -> 3 )

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Límites •

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Cómo se ha estudiado, que existan los límites reiterados y que sean iguales no asegura la existencia del límite. Para calcular el límite de una función de dos variables introducimos la palabra reservada “limit”, la función, la palabra reservada “as”, las variables entre paréntesis, el símbolo “->”, y los valores a que tienden las variables entre paréntesis y en el mismo orden de las variables. limit función as ( var1, var2 ) -> (valor1 ,valor2 ) Para hallar el límite de f(x,y)=xy, con x tendiendo a 2 e y tendiendo a 3: limit xy as (x,y ) -> (2,3)

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Continuidad • •

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Para que una función sea continua en un punto (x_0, y_0) se ha de cumplir, que exista la función en el punto, que exista limite en el punto y que sean iguales. Como sabemos hallar el límite en un punto, necesitamos evaluar la función en el punto. Introducimos la función seguido de la palabra "where” y de las variables igualadas a los valores en que queremos evaluar la función, y si el resultado es igual al límite entonces la función es continua en ese punto. función where var1 = valor1, var2 =valor2 Para hallar el valor de f(x,y)=xy, con x=2 e y=3: xy where x = 2, y =3

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Derivadas parciales •

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Para obtener la derivada parcial de una función respecto de una variable, lo más sencillo es introducir la variable sobre la que se quiere derivar seguida de la función a derivar parcialmente. Por ejemplo para derivar una función parcialmente sobre la variable x se introduciría: d/dx funcion Para la función  = 4    , se introduce y se obtiene lo siguiente:

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Derivadas parciales de orden superior •

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Para obtener la segunda o la tercera derivada parcial de una función respecto de una variable, hay que indicar el grado de derivación que se quiere, seguido de la función a derivar parcialmente, por ejemplo para realizar la derivada parcial segunda respecto de x: d^2/dx^2 funcion Para la función  = 4    , se introduce y se obtiene lo siguiente:

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Derivadas cruzadas – Teorema Schwarz • •

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Por el Th. de Schwarz sabemos que si existen las derivadas cruzadas, éstas han de ser iguales. Para una función cualquiera podemos comprobarlo, haciendo la derivada parcial respecto de la primera variable y luego respecto de la segunda. Y viceversa. Es decir en la caja introduciremos: d/dy (d/dx funcion)) , y luego d/dx (d/dy funcion)) Para la función  = 4    , se prueba introduciendo lo siguiente:

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Diferencial de una función •

Como hemos estudiado el diferencial de una función  = (, ), es igual a  =  ,   +  (, )

•

Para hallar el diferencial de una función hay que introducir la palabra reservada “differential”, seguida de la función de la que queremos obtener el diferencial: differential funcion Así para hallar el diferencial de la función  = 4    escribiremos en la caja: differential 4x^3e^(2y)

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Ejemplos   → →

 → → 

1.- lim lim

2.-lim lim

 ,→, 

3.- lim

4.- Dada la función  =   + 2  −   . Hallar las siguientes derivadas parciales: a) Derivada parcial de x b) Derivada parcial segunda de y c) Derivada parcial segunda de y y primera de x 5.- Probar el teorema de Schwarz para la función función  =   + 2  −   6.- Hallar el diferencial función  =   + 2  −  

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Soluciones   → →

 → → 

1.- lim lim

2.-lim lim

 ,→, 

3.- lim

1. limit (limit (x-y+2xy)/(x+y) as y -> 0 as x -> 0) 2. limit (limit (x-y+2xy)/(x+y) as x -> 0 as y -> 0) 3. limit (x-y+2xy)/(x+y) as (x,y) ->(0,0) 4.- Dada la función  =   + 2  −   . Hallar las siguientes derivadas parciales: a) Derivada parcial de x : d/dx (x^3+2xy^2-y^2) b) Derivada parcial segunda de y: d^2/dy^2 (x^3+2xy^2-y^2) c) Derivada parcial segunda de y y primera de x: d/dx (d^2/dy^2 (x^3+2xy^2-y^2)) 5.- Probar el teorema de Schwarz para la función función  =   + 2  −   d/dx (d/dy (x^3+2xy^2-y^2)) d/dy (d/dx (x^3+2xy^2-y^2)) 6.- Hallar el diferencial función  =   + 2  −   differentiate (x^3+2xy^2-y^2)

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