Funciones Varias Variables IIWolfram PDF

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ejercicios resueltos wolfram...

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Determinantes funcionales y extremos con Wolfram Alpha Palencia González, Fº Javier, [email protected] García Llamas, Mª Carmen, [email protected] Facultad de CC. Económicas UNED

Determinantes funcionales y extremos con Wolfram | Alpha

Introducción •

Vamos a realizar operaciones con funciones de varias variables en la web WolframAlpha cuya dirección es:

www.wolframalpha.com

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Introducción •

Una vez hemos entrado en la mencionada página web, seleccionamos la opción Mathematics, lo cual nos dará acceso a las distintas herramientas matemáticas existentes en la web.

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Escribir expresiones •

Se ha de tener cuidado con el uso de los paréntesis a la hora de introducir la función con la que queramos realizar operaciones. Los símbolos que pueden utilizarse son: “+”, suma “*”, multiplicación “^”, potencia “-”, resta “/”, división “sqrt”, raíz cuadrada

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Si queremos referirnos al infinito lo haremos como “infinity”.

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Determinantes •

Para calcular el valor de un determinante se introduce la palabra reservada “det” seguida de una llave de apertura y a continuación las filas del determinante entre llaves y separadas por comas, los elementos de la fila también están separados por comas. det { { ,  ,  } , { ,  ,  } , {  ,  ,  } }

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Así por ejemplo calculamos el siguiente determinante:

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Operador D •

El operador D, permite obtener las diferentes derivadas parciales de una o varias funciones. Se pone la letra “D”, luego paréntesis, ahora entre llaves las funciones a derivar separadas por comas, y finalmente entre llaves las variables sobre las que queremos derivar ordenadas, y finalmente el grado de derivación D ( {función1, función2, función3, …} , {  ,  , … ,  ,  )

•

Por ejemplo si tenemos tres funciones   =   ,  () =   ,  () =   y queremos hallar la segunda derivada parcial respecto de la variable x, escribiríamos lo siguiente: D({x^3,x^2,x^5},{x,2})

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Jacobiano •

Para calcular el valor del determinante Jacobiano, introducimos el determinante como hemos visto anteriormente y los valores de los elementos son las expresiones de las funciones a derivar. det {

•

   , , … ,    

,

   , , … ,     







, … , { ,  , … ,  } } 





Así por ejemplo calculamos el Jacobiano de  (, ) =     ,  (, ) =     :

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Wronskiano •

Para calcular el valor del determinante Wronskiano, introducimos el determinante como hemos visto anteriormente y los valores de las filas son, primero las funciones, luego la primera derivada parcial obtenida con el operador D, la segunda derivada parcial con el operador D, etc…. det {  ,  , … ,  ,D (  ,  , … ,  , {, 1} ),D (  ,  , … ,  , {, 2} ), …}

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Así calcular el Wronskiano de   = 2  + 3,  () = 2  ,  () = 2

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Hessiano •

Para calcular el valor del determinante Hessiano, introducimos el determinante como hemos visto anteriormente y los valores de las filas vienen dados por las derivadas parciales segundas de la función. Esto lo podemos conseguir con el operador D, especificando las distintas variables entre llaves: det { D ( función, {  ,  , … ,  , 2} ) }

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Así por ejemplo calculamos el Hessiano de  ,  =     −  − 5 :

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Extremos •

Para hallar el máximo o el mínimo de una función de varias variables podemos hacerlo mediante la función “maximize” para obtener los máximos, “minimize” para obtener los mínimos y mediante la función “extrema” para calcular ambos. maximize función minimize función extrema función

•

Así para hallar los extremos de  ,  = 5 + 3 − 4 −   +  −   :

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Puntos críticos •

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Para hallar los puntos críticos de una función de varias variables, que pueden dar lugar a máximos, mínimos o puntos de ensilladura utilizamos la función “stationary points”: stationary points función Así para hallar los puntos críticos de  ,  = (3 + 1)  +   :

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Extremos condicionados •

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Para hallar los extremos de una función de varias variables condicionada a otra función podemos hacerlo mediante “extrema” seguida de la función y de la condición separadas por una coma extrema función , condición Para hallar los extremos de  ,  =   +   , condicionados a  +  = 2:

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Extremos con varias condiciones •

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Para hallar los extremos de una función de varias variables condicionada a dos o más funciones podemos hacerlo mediante “extrema” seguida de la función y de las condiciones separadas por comas extrema función , condición1, condición2 Para hallar los extremos de  , ,  =   +   +   , con las siguientes condiciones:  + 2 + 3 = 6 y  −  −  = −1

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Ejemplos 1.- Halla el Jacobiano de  (, ) =     ,  (, ) =     2.- Halla el Wronskiano de   = 3  ,  () = 3  ,  () = 3 3.- Halla el Hessiano de  ,  =    −   4.- Halla los extremos de la función  , ,  =   +   − 9 + 27 5.- Hallar los puntos críticos de la función  =   −   6.- Hallar los extremos de la función  , ,  =   +   +   , condicionada por las funciones:  +  +  = 1 y  +  −  = 0

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Soluciones 1.- Halla el Jacobiano de  (, ) =     ,  (, ) =     det( { {d/dx(e^(2y)x^2), d/dy(e^(2y)x^2)}, {d/dx(e^(2x)y^2), d/dy(e^(2x)y^2)} } ) 2.- Halla el Wronskiano de   = 3  ,  () = 3  ,  () = 3 det( { {3x^3, 3x^2, 3x}, D({3x^3, 3x^2, 3x},{x,1}),D({3x^3, 3x^2, 3x},{x,2}) } ) 3.- Halla el Hessiano de  ,  =    −   det{D(x^2 y - xy^2, {{x,y},2})} 4.- Halla los extremos de la función  , ,  =   +   − 9 + 27 extrema x^3+y^3-9xy+27 5.- Hallar los puntos críticos de la función  =   −   stationary points xe^y-e^x 6.- Hallar los extremos de la función  , ,  =   +   +   , condicionada por las funciones:  +  +  = 1 y  +  −  = 0 extrema x^3+y^3+z^3, x+y+z=1, x+y-z=0 Fco. Javier Palencia y Mª Carmen García Llamas

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