TEMA 8. Optimizacion DE Funciones DE Varias Variables PDF

Preview

Summary

...

Description

TEMA 8. OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 1.- Definición de extremos relativos o locales para funciones de dos variables Una función z = f(x, y) presenta un máximo relativo o local en un punto (xo , yo) de su dominio si se verifica que f(x, y)

f (xo , yo) para todo punto (x, y) perteneciente a un entorno de

(xo , yo ) Una función z = f(x, y) presenta un mínimo relativo o local en un punto (xo , yo) de su dominio si se verifica que f(x, y)

f (xo , yo) para todo punto (x, y) perteneciente a un entorno de

(xo , yo ) 2.- Condiciones necesarias. Partimos de una función z = f ( x, y ) Las derivadas parciales se igualan a 0 y se obtienen los posibles extremos es decir:  0   De este sistema saldrán los posibles máximos o mínimos 0  Condiciones suficientes '' Se calcula el hessiano : H =

''

2

'' ''

2

.

Entonces se sustituyen en las derivadas los puntos obtenidos. Si se cumple que: a) H > 0 y

''

b) H > 0 y

'' 2

2

0 en el punto hay un máximo relativo. 0 en el punto hay un mínimo relativo.

c) H < 0 en el punto en cuestión no hay extremo, hay un punto de silla o ensilladura d) H = 0 el punto es dudoso, no se puede afirmar nada

1

3.- Generalización a más de dos variables Sea z = f ( x1, x2,........x n ) Condiciones necesarias z x1

0

z x2

0

.......... ...

z xn

0 . De este sistema se sacan los posibles extremos.

Condiciones suficientes f '' x 2

f ' ' x 1x 2

......

f ' ' x2 x1

f '' x 2

...... f ' 'x 2x n

......

......

......

......

......

f ''x 2

1

En este caso el hessiano es

H=

2

f ' ' x n x1 f ' ' x n x 2

f ' ' x 1x n

n

Sean h1 , h2 ........h n = H los menores principales del hessiano H. Entonces si: a) h1 < 0 h2 > 0 h3 < 0 .......... H < 0 ó H > 0 según corresponda es decir los menores salen de signo alterno, en el punto hay un máximo relativo o local b) h1 > 0 h2 > 0 ......... H > 0 es decir todos positivos. En este punto hay un mínimo local c) Si son diferentes de cero todos los menores pero no siguen ningún orden de los apartados a) o b) hay un punto de silla.(ensilladura)

4.- Extremos condicionados para funciones de varias variables Método de los multiplicadores de Lagrange Se trataría de buscar los extremos de la función z = f (x, y ) donde las variables x e y han de cumplir la condición g ( x , y) = c. Se construye la función de Lagrange de la siguiente forma : F (x , y, ) = f (x , y) +

[c – g (x, y) ] donde

es el “ multiplicador de Lagrange”

2

Condiciones necesarias F x F y F

0 0 c g ( x, y )

       0 

De aquí resolviendo el sistema, se sacan los valores de x , y ,

que constituyen los posibles

extremos. Condiciones suficientes

Se construye el hessiano orlado H

0 g'x g 'y

g 'x F' ' x2 F' 'yx

g 'y F' ' xy F' ' y 2

y se sustituyen los puntos obtenidos

en el apartado anterior Entonces si : a) H

0

en el punto hay un máximo condicionado

b) H 0

en el punto hay un mínimo condicionado

c)

H = 0 en el punto hay un caso dudoso

5.- Interpretación del multiplicador de Lagrange El valor del multiplicador

constituye una medida del efecto de una variación del parámetro

“c” de la restricción sobre el valor óptimo de la función objetivo 6.- Una función de tres variables con una restricción Sea una función z = f (x , y , u ) con la restricción g ( x , y, u ) = c Se construye como antes la función F ( x, y , u,

)=f(x,y,u)+

[c–g(x,y,u) ]

3

Condiciones necesarias

F x F y F u F

0 0 0 c g ( x, y , u )

      De aquí se sacan los posibles extremos    0 

Condiciones suficientes

Sea

3

0 g'x g 'y g 'u

el menor principal de 3x3 y sea H

g' x F' 'x 2 F' 'yx F' 'ux

g' y F' ' xy F' ' y 2 F' 'uy

g' u F' ' xu F' ' yu F' ' u 2

Entonces si : a) H

0

y H3

0

en el punto hay un máximo

b) H

0

y H3

0

en el punto hay un mínimo

7.- Una función de n variables con m restricciones Sea z = f ( x1 , x2 , ......... x n ) una función de n variables sujeta a m restricciones g1 (x1,x2,..........x n) = c1 ; g2( x1, x2,..........x n ) = c2 ..............g m( x1, x2, ........x n ) = cm . Se construye la función de Lagrange: F ( x1, x 2, .....x n) = f (x1,x2,....x n) +

1

c 1 g 1( x 1 ,.... x n )

.....

m

cm

g m (x1 ,.... xn )

Condiciones necesarias

F 0 xi g j( x 1, x 2 ........ x n )

   cj

1 ......

1 ...... . Con este sistema se sacan los posibles

extremos.

4

Condiciones suficientes 2

Sea

F' ' ij

0 0 .... H 0 g' 11 g ' 12 .... g ' 1n

F xi x j

0 0 .... 0 g ' 21 g' 22 .... g' 2n

..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....

y

g 'ij

gi xj

0 g' 11 g' 12 0 g' 21 g' 22 .... ..... ..... 0 g ' m1 g' m 2 g ' m1 F' ' 11 F' ' 12 g ' m2 F' ' 21 F' ' 22 .... ..... ..... g ' mn F' ' n1 F' ' n 2

. Se construye el hessiano orlado siguiente

.... .... ..... ..... ..... ..... ..... .....

g ' 1n g '2 n ..... g ' mn F' ' 1n F' '2 n ..... F' ' nn

Siendo n = número de variables y m = número de restricciones Sea el menor principal que contiene a principal. Calculamos n – m. Entonces:

F ''

como último elemento de su diagonal

m a) Si los últimos n – m menores principales tienen el mismo signo que ( – 1 ) , en dicho punto hay un mínimo

b) Si los últimos n – m menores principales tienen el signo alterno empezando por 1 ) m+1 en el punto hay un máximo

5

(–

PROBLEMAS EXÁMENES PREGUNTAS TEÓRICAS 1.- La condición necesaria para la existencia de extremos relativos es que: a) Las primeras derivadas parciales se anulen b) H(x0 , y0 )

0 y fxx'' (x 0 , y 0 )

0

c) fx' (x 0 , y 0 )

0 y fy' (x 0 , y 0 )

0

d) Ninguna de las anteriores Sol: Es una pregunta teórica. Es la a) 2.- La condición suficiente para la existencia de mínimo relativo es: a) H (x 0 , y 0 )

'' 0 y f xx (x 0 , y 0 )

c) H(x 0 , y 0 )

0

0

b)

H(x0 , y0 )

0 y fxx'' (x0 , y0 )

0

d) Ninguna de las anteriores

Sol: Es una pregunta teórica. Es la b) 3.- La condición suficiente para la existencia de máximo relativo es: a) H (x 0 , y 0 )

'' 0 y f xx (x 0 , y 0 )

c) H(x 0 , y 0 )

0

0

b)

H(x0 , y0 )

0 y fxx'' (x0 , y0 )

0

d) Ninguna de las anteriores

Sol: Es una pregunta teórica. Es la a) 4.- ¿Qué interpretación económica tienen los multiplicadores de Lagrange? Sol: El valor del multiplicador

constituye una medida del efecto de una variación del

parámetro “c” de la restricción sobre el valor óptimo de la función objetivo

6

OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIONES 1.- Sea la función f (x, y )

x2

y3

y 2 . ¿Cuál de los siguientes puntos es un punto de

silla de f(x, y)? a) (0, 0)

 b)  

2 , 9

2  3

2  3

 c)  0,  2

d) (1, 1)    0 

0

Sol: Condiciones necesarias: 3

2

2

2 3

De la primera x = 0 y de la segunda y = 0 ó y =  Los puntos críticos son: (0, 0) y  0, 

2  3 2

Veamos las condiciones suficientes

El hessiano será H =

 En el punto 0, 

2 0

0 6

2

2

2

2

0 ;

que en el punto (0, 0) es

2 0 2  valdrá 3 0 2

2.- En la función f (x, y , z )

2

2 ;

2 0

0 2

2

2

4 y es un punto de silla

4 que corresponde a un mínimo. La respuesta es la a)

3 x2

2) 2

(y

z 2 , el punto (0, 2, 0) es:

a) Un punto de silla

b) Un mínimo absoluto

c) No es un punto crítico

d) Un máximo absoluto

Sol: Condiciones necesarias:

6

2

0

2(

2)

2

0

    0  El punto (0, 2, 0) anula estas derivadas    

Condiciones suficientes:

7

2

2 2

2 ;

2

2

2 ;

2

2

2

2 ;

2

2

2

0 ;

0 ;

2

0;

2 0 0 Como 2 ; 2 4 0 y 0 2 0 8 0 , es decir los 3 2 2 0 0 2 signos de los menores principales salen alternos empezando por negativo, el punto es un 2

2 0

0

máximo que es la d) 4.- En la función f (x, y ) a) Máximo absoluto

(x y ) 4

( y 1) 4 , el punto (1, 1) es:

b) Punto de silla

)3

4(

c) Mínimo absoluto d) Ninguna

0

Sol: Condiciones necesarias: 4(

)3

4(

1) 3

   0 

El punto (1, 1) anula las derivadas Condiciones suficientes: 2

2 2

12(

)

2

. El hessiano es H =

2

2

12(

;

12( 12(

)2 ) 12(

) ;

12(

) 2 12(

1) 2

2

12( ) 2 ) 12( 1) 2

0 0

0. Es un caso dudoso. 0 0 Ahora bien, mirando la función objetivo, observamos que los exponentes son pares, por lo que

y en el punto (1, 1) es H =

la función sólo toma valores positivos o nulos. En el punto (1, 1) la función toma el valor 0. En cualquier otro tomará un valor mayor o igual que él. Luego tendrá un mínimo absoluto.

8

5.- En la función f (x, y ) a) Máximo relativo

x2

y2

xy 2x 10y

b) Punto de silla 2

Sol: Condiciones necesarias: 2 2

El hessiano es H =

c) Mínimo relativo d) Ninguna  0    El punto ( 2 , 6) anula estas derivadas 10 0 

2

Condiciones suficientes:

5 , el punto ( 2 , 6) es:

2

2

2

2 ;

2

1 ;

2

2.

2

2 1

3

1 2

0 y como

0 en el punto hay un mínimo relativo que

2

2

es la c) 6.- En la función f (x, y )

a) Máximo relativo

xy

1 x

1 , el punto (0, 0) es: y

b) Punto de silla

d) Ninguna

 0   0 

1 2

Sol: Condiciones necesarias:

c) Mínimo relativo

1 2

El punto (0, 0) no anula estas derivadas, luego no es un punto crítico. Es la d)

7.- En la función f (x, y ) a) (4, 3)

b) (0, 0)

x2

( y 1) 2

1 (x 2

2y ) , tiene un máximo en el punto:

c) (0, 1,33) d) Ninguna

Sol: Si efectuamos las operaciones la función queda: 4

3

2

2

2

2

( , )

8

0

Condiciones necesarias: 4

2

8

derivadas es el (0, 0)

9

6

2

   0 

4

2

2

4

2

4

2

2

3

El único punto que anula estas

Condiciones suficientes: 2

2 2

2

12

2

2

El hessiano es H =

8 0 0 0 8

9.- En la función f (x, y ) a) Máximo local

2

2

;

4

8

;

2

2

2

8 12 .

0 . Es un caso dudoso. Es la d) 2x3

3y 3

x2

b) Punto de silla

Sol: Condiciones necesarias:

3y 2

3z 2 , el punto (0, 0, 0) es un:

c) Mínimo local d) Ninguna

6

2

2

9

2

6

6

0

 0   0  El punto (0, 0, 0) anula estas derivadas    

Condiciones suficientes: 2

2 2

2

12

2 ; 2

2 2

2

0 ;

18

6 ;

2 2

6 ;

2

0 ;

2

0 ;

2 0 0 El Hessiano en (0, 0, 0) es 0 6 0 72 0 . Como los menores principales tienen los 0 0 6 signos: positivo; positivo; negativo que no se corresponde con ninguno, el punto es un punto de silla que es la b)

10

x4 4

11.- En la función f (x, y ) a) Máximo relativo

y3 3

x3

5x 2

b) Mínimo relativo

3

3

2

4

10 3

 0   El punto (0,1) anula estas derivadas 0  

2

Condiciones suficientes:

2

3

2

2

0 ;

2

2

4.

2

0

0

2

2

10 ;

6

10

El hessiano en este punto es: H =

3y , el punto (0, 1) es:

c) Punto de silla d) Ninguna

Sol: Condiciones necesarias: 2

2y 2

2

20

0 y como

2

10

0 en el punto

hay un máximo relativo que es la a)

12.- En la función f (x, y )

e

x2 2xy y

, el punto (0,5 ,

a) Punto de silla b) Mínimo relativo

c) Máximo relativo

2

2

( 2

2 )

2

2

( 2

1)

Sol: Condiciones necesarias:

Como la función exponencial

2

2

0,7 ) es:

d) Ninguna

 0   0  

0 , han de ser o los paréntesis, pero el punto dado no

anula el primero. La respuesta es la d)

11

13.- Dada la función f (x, y , z )

x2

y2

bxy az , determine los valores de “a” y de

“b” para que el punto (1, 1, 1) sea un máximo relativo de f: a) a = 0 ; b = 3

2

b) a = 0 ; b =

c) a =

d) Ninguna

 0   0    

2 Sol: Condiciones necesarias:

2 ; b=2

2 0

Como el punto (1, 1, 1) ha de anular las derivadas, sustituyendo b = 2 y como de la tercera a = 0 , la respuesta es la b) 14.- Dada la función

ax3

f ( x, y )

bxy2

15a2 x 12y , determine los valores de “a”

y de “b” para que el punto (2, 1) sea un máximo relativo de f: a) a = 1 ; b = 0

b) a = 0 ; b = 3

c) a = 1 ; b = 1

2

3

2

2

15

Sol: Condiciones necesarias:

2

12

0

d) Ninguna

 0    

Como el punto (2, 1) ha de anular las derivadas, sustituyendo quedaría en la segunda ecuación b 1 = 3 y al sustituir en la primera obtenemos a = 1 ó a = .La respuesta es la d) 5 15.- En la función f ( x, y ) a) Máximo absoluto

(3

3) , el punto (3, 3) es:

x)( 3 y )( x y

b) Punto de silla

Sol: La función se puede escribir:

c) Mínimo absoluto

( , ) 18

18 6

9

3

2

2

2

Condiciones necesarias: 9

2

18 6

2

El punto (3, 3) anula estas derivadas

12

9

 0    0 

2

18

d) Ninguna

3

2

2

27

2

Condiciones suficientes:

El hessiano es H =

2

6 2

2

0 3 3 0

9

16.- En la función f (x, y ) a) Máximo relativo

9 2

2

2

6 2 .

4x , el punto (1, 0) es: y2 1

2

b) Punto de silla 4 (

Sol: Condiciones necesarias:

2

c) 2

4

2

Mínimo relativo

1)

(

2

2

2

1) 2

8 (

2

2

8 (

2

2

2 2 2

(

2

2

1) 4 (4 2 2 ( 2 1) 3

2

8 (

2

( El hessiano en este punto es: H =

4

2

2

1) 32 2 1) 3

2

2

4)     .    

2

1) 32 2 1) 3

2

d) Ninguna

 0   El punto (1, 0) anula estas derivadas 0 

4

2

8

Condiciones suficientes:

2

;

y es un punto de silla que es la b)

0

x

2

;

2

2 0 0 2

4

0

y como

2

2

0 en el punto

hay un mínimo relativo que es la c) 17.- En la función f (x, y )

e

x2 y 2

, el punto (0 , 0) es:

a) Máximo absoluto b) Punto de silla 2

2

2

2

c) Mínimo absoluto ( 2 )

Sol: Condiciones necesarias:

Como la función exponencial

2

2

( 2 )

d) Ninguna

 0   0 

0 , han de ser 0 los paréntesis, que se anulan para el

punto (0, 0)

13

2
...