TEMA 6. Limites y Continuidad de Funciones de Varias Variables PDF

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TEMA 6. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 1.- Definición de función de dos variables. Es una aplicación entre un subconjunto A de R2 y R: f:A

R2 --------

(x, y) ----------

R z = f(x, y)

De manera análoga se definiría para una función de tres variables f:A

R3 --------

(x, y, z) ----------

R u = f(x, y, z)

2.- Dominio de una función de dos variables. Al igual que para las de una, el dominio es el conjunto de pares de valores (x, y) para los que la función dada tiene imagen. A tener en cuenta denominadores, radicandos, funciones logarítmicas. 3.- Curvas de nivel Es el conjunto de puntos (x, y) que se obtienen al cortar la función z = f(x, y) por un plano paralelo al que determinan los ejes x e y Si la función es z = f(x, y) y la cortamos por el plano z = k, obtenemos una curva de nivel que viene definida como: Cz = k = (x, y ) Df / f (x, y ) k . Se demuestra que las curvas de nivel no se cortan, son decrecientes, se alejan del origen al aumentar el nivel y son convexas respecto al origen. 4.- Límite de una función de dos variables La definición es semejante a la de una variable.

lim

( x ,y )

( x0 ,y 0 )

f (x, y )

L

0

0 / (x, y )

E (x 0 , y 0 ),

f ( x, y ) L

5.- Límites reiterados

Consiste en calcular el límite haciendo que cada variable tienda de manera individual a cada componente. Si los límites son distintos, el límite no existe. lim  lim f (x, y )  = L1 y y 0 x0  

x

;

lim  lim f (x, y )  = L2  x x0 y y0  

1

Ejemplo 1: Estudiar la existencia del siguiente límite

x

lim

( x ,y )

y 2xy por límites reiterados x y

( 0, 0 )

Sol : Calculamos:

 x y 2 xy lim lim  x 0 y 0 x y  

x

 x y 2 xy lim lim  y 0 x 0 x y  

;

lim1 1 0

lim( 1) y

1

0

En este caso, como son diferentes, la función no tiene límite en (0, 0) Ejemplo 2 2x 2 y por límites reiterados x4 y 2

Estudiar la existencia del límite de la función f ( x, y ) Sol: Calculamos

 2x 2 y  lim lim 4 x 0 y 0 x y 2  

lim 0

x

0

 2x 2 y  lim lim 4 y 0 x 0x y 2  

;

0

lim 0 y

0

0

En este caso, aunque sean iguales tampoco podemos asegurar la existencia del límite. Lo que sí podemos decir es que si existe, su valor es 0 6.- Límites radiales

Es el valor al que tiende la función f(x, y) cuando el punto (x, y) tiende a (xo, yo) acercándose por una recta que pase por él. En el caso del punto (0, 0), las rectas tienen por ecuación y = mx. Si el resultado depende de la pendiente “m” la función no tiene límite. f ( x, y )

Ejemplo 1: Dada la función

2x 2 y , calcular el x4 y 2

lim

( x ,y )

( 0 ,0 )

trayectoria seguida por las rectas y = mx Sol:

lim

( , )

(0 , 0 )

2 4

2 2

lim 0

2 4

2 2

= lim 2 0

2 4

3 2

2

= lim 0

2 2

2

En este caso lo que asegurar es que si existiese el límite, su valor sería 0

2

0.

f ( x, y )

según la

Ejemplo 2: Dada la función f ( x, y )

2xy , calcular el x y2

lim

2

( x ,y )

( 0 ,0 )

f ( x, y )

según la

trayectoria seguida por las rectas y = mx Sol: Calculamos los límites según la dirección de las rectas que pasan por el origen y son de la 2mx 2 2 xmx lim Simplificando por x2 forma y = mx. Sustituyendo quedaría: lim 2 x 0 x ( mx) 2 x 0 x 2 m 2 x 2 2m 2m que depende del valor de “m”. Luego no existe el límite. nos queda: lim 2 x 01 m 1 m2 7.- Límites según otras curvas A veces se puede calcular el límite siguiendo la dirección de otras curvas. Por ejemplo, si es en el origen, se puede seguir la dirección de las parábolas que pasan por él cuyas ecuaciones son: y = kx2. Si el límite depende de “k”, la función no tiene límite en ese punto.

Ejemplo 1: Dada la función f ( x, y )

x 2y , calcular el 3x4 y 2

lim

( x ,y )

( 0 ,0 )

f ( x, y ) según la

trayectoria seguida por las parábolas y = kx 2

x 2y 4 ( 0,0 ) 3x y2

lim

Solución:

( x ,y )

x 2·k·x 2 4 0 3x k 2x

lim x

4

lim x

0

kx4 x4 (3 k2 )

lim x

Como el límite depende del valor de “k”, no existe.

8.- Continuidad Una función f(x, y) es continua en un punto (xo , yo) si se verifica: a) b) c)

f(xo , y o)

lim

( , )

(

lim

( , )

(

0

,

0, 0)

0

)

( , ) ( , )

(finito) f(xo , yo)

3

0

k 3 k

k 2

3 k2

.

PROBLEMAS DE EXÁMENES 1.- El valor del a)

0

y

lim

( x ,y )

b)

( 0 ,0 )

x

3

es:

y4

1

c)

2

d) Ninguna de las anteriores

Sol: Calculamos los límites reiterados

 lim lim 0  0

3

4

  = lim0 0 

0

;

 lim lim 0  0

3

4

  

1

lim

3

0

Por lo tanto la función no tiene límite que es la d)

x21 x12

2.- El límite funcional en el origen de la función f ( x1 , x 2 ) a)

1

b)

0

c) No existe

x 22 es: x 22

d) Ninguna de las anteriores

Sol: Calculamos los límites reiterados

 lim lim 0 2 0 1 

2 1 2 1

2 2 2 2

  = lim0 1 1 1 

;

 lim lim 0 1 0 2 

2 1 2 1

 ( 1)  = lim 0 2 

2 2 2 2

1

Como son distintos el límite en el origen no existe que es la c)

3.- El dominio de la función f ( x, y )

1 ln( y x 2 )

es:

a)

(x, y )

R2 / y

x2

1

b)

c)

( x, y )

R2 / y

x2

1

d) Ninguna de las anteriores

(x, y )

R2 / y

x2

1

Sol: Como el denominador tiene una raíz cuadrada el radicando ha de ser estrictamente positivo. Como éste es una función neperiano, sabemos que para que esto ocurra, la expresión 2

ha de ser mayor que 1. La respuesta es la a)

4.- Estudiar el límite funcional en el origen de la función z a) Es 0

b) Es

m 1 m2

c)

No existe

xy x y2 2

d) Ninguna de las anteriores

Sol: Si calculamos el límite según la dirección de las rectas y = mx obtenemos

4

lim

( , )

=

2

( 0,0 )

2

0

2

lim

2

2

0

2 2

lim

2

2

0

2

(1

)

lim 0

2

1

lo que nos indica que el límite depende de m que es la pendiente de la recta y esto

2

1

2

2

·

lim

significa que el límite no existe que es la c)

x3

5.- Hallar los límites reiterados de la función z 3,

a) (

3)

b) (3, 3)

c) ( 1, 1)

y3

3 en el punto (0, 0)

d) Ninguna de las anteriores

Sol: Calculamos lim lim( 0  0

3

3)  = lim( 0 

3

3

3)

3

;

lim lim( 0

3

3

0

3) = lim(

3

0

3)

3

Y la respuesta es la a)

3xy x 2y 2

6.- Calcular el límite doble en el origen de la función z a) Es 0

b) Es

3 2

c)

No existe

2

d) Ninguna de las anteriores

Sol: Si calculamos el límite según la dirección de las rectas y = mx obtenemos

3

lim

( , )

=

2

( 0,0 )

3 1 2

2

2

2

lim 0

3 · 2 2

2

2

lim

0

2

3 2

2

2

2

lim 0

3 2 2 (1 2

2

)

3 0 1 2

lim

2

lo que nos indica que el límite depende de m que es la pendiente de la recta y esto

significa que el límite no existe que es la c) 7.- Las curvas de nivel de una función normal son: a) Tangentes

b) Crecientes

c) Cóncavas respecto al origen

d) Ninguna de las anteriores

Sol: Por teoría sabemos que las curvas de nivel no se cortan, son decrecientes, se alejan del

origen al aumentar el nivel y son convexas respecto al origen. La respuesta es la d)

5

EXÁMENES A PARTIR DEL 2013 1.- Analizar la continuidad de la siguiente función en el origen: f ( x, y )

x2 y2 x2 y2

a) Presenta una discontinuidad evitable en el origen b) Presenta una discontinuidad esencial en el origen c) Es continua d) Ninguna de las anteriores Solución

(Septiembre 2013)

En el origen no está definida. Por otra parte si calculamos los límites iterados obtenemos:  x2 lim lim 2 x 0 y 0 x 

y2  1 1  = lim x 0 y 2 

 x2 y2 lim lim ( 1)  = lim y 0 x 0 x 2 y 2  y 0 

;

1

Como son diferentes, la función presenta una discontinuidad esencial en el origen. Es la b)

x 7y en el origen 2x 14y

2.- Calcular los límites reiterados de la función f ( x, y )

a)

1 2

y

1 2

b) 0

c) No existen

Solución

 x 7y  1 lim lim lim  x 0 y 0 2x 14 y  x 0 2 

d) Ninguna de las anteriores

(Septiembre 2013)

1 2

y

 x 7y  lim lim y 0 x 0 2x 14 y 

 lim y 0 

1  2

1 . Es la d) 2

3.- Mediante el cálculo de límites reiterados y radiales, investiga si existe el límite doble de la 3xy (Enero 2014) siguiente función en el origen f(x, y) = 2 x 2y 2 a) Presenta discontinuidad evitable en el origen c) Sol:

No existe

b) (0, 0) d) Ninguna de las anteriores

Calculamos los límites reiterados

 3 xy  0 lim lim 2 lim 2 2  x 0 y 0 x x 0 2y  x 

0

y

 3 xy  lim lim 2  x 0 y 0 x 2y2  

6

lim y

0

0 2y2

0

Si calculamos el límite según la dirección de las rectas y = mx obtenemos 3

lim

( , )

=

2

( 0,0 )

3 1 2

2

2

2

lim 0

3 · 2 2

2

2

2

3

lim

2

0

2

2

3 2 2 (1 2

lim

2

0

2

)

lim 0

3 1 2

2

lo que nos indica que el límite depende de m que es la pendiente de la recta y esto

significa que el límite no existe que es la c)

4.- Investiga la existencia del límite doble en el origen de la siguiente función: x2 y (Febrero 2014) f ( x, y ) 3x 4 y 2 1 a) b) 0 c) No existe d) Ninguna de las anteriores 4 Solución: Calculamos los límites reiterados

 x 2y  = lim 0 lim lim 4 0 x 0 y 0 3x y 2  

0

 x 2y  lim lim 4 y 0 x 0 3x y 2  

;

lim 0 y

0

0

Calculamos ahora el límite según las rectas que pasan por el origen. Su ecuación es y = mx. Sustituimos: x 2y lim ( x ,y ) ( 0,0 ) 3x 4 y2

x 2 · mx 4 0 3x m 2x 2

lim x

mx 3 0 3 x4 m 2x 2

lim x

mx 3 0 x 2 ( 3x 2 m 2)

lim

lim x

x

0

mx 3x m2 2

0

Ahora calculamos el límite según la dirección de las parábolas que pasan por el origen y cuya ecuación es y = k·x2. Sustituimos:

x 2y ( 0,0 ) 3x 4 y2

lim

( x ,y )

x 2· k·x 2 4 0 3x k 2x 4

lim x

lim x

0

kx 4 x 4 (3 k 2 )

lim x

0

k 3 k

k 2

3 k2

. Como el límite

depende del valor de “k”, no existe. La respuesta es la c)

5.- Mediante el cálculo de límites reiterados y radiales, investiga si existe el límite doble de la siguiente función en el origen f(x, y) = a) c)

3xy x 2y 2 2

(1, 1)

(Septiembre 2014) b) (0, 0)

Presenta discontinuidad evitable en el origen

7

d) Ninguna de las anteriores

Sol: Calculamos los límites reiterados

 3 xy  0 lim lim 2 lim 2  2 x 0 y 0 x 2y  x 0 x 

 3 xy  lim lim 2  x 0 y 0 x 2y2  

y

0

0 0 2y2

lim y

0

Si calculamos el límite según la dirección de las rectas y = mx obtenemos 3

lim

( , )

=

2

( 0,0 )

3 1 2

2

2

2

lim 0

3 · 2 2

2

2

2

0

3 2 2 (1 2

2

3

lim

2

2

lim

2

0

2

)

lim 0

3 1 2

2

lo que nos indica que el límite depende de m que es la pendiente de la recta y esto

significa que el límite no existe. Es la d)

6.- Investiga la existencia del límite doble en el origen de la siguiente función:

f ( x, y )

x2 y 3x 4 y 2

1 4

a)

b) 0

c)

1 2

d) Ninguna de las anteriores (Septiembre 2014)

Solución: Calculamos los límites reiterados

 x 2y  = lim 0 lim lim 4 0 x 0 y 0 3x y 2  

0

 x 2y  lim lim 4 y 0 x 0 3x y 2  

;

lim 0 y

0

0

Calculamos ahora el límite según las rectas que pasan por el origen. Su ecuación es y = mx. Sustituimos:

x 2y ( 0,0 ) 3x 4 y2

lim ( x ,y )

x 2 · mx 0 3x 4 m 2x 2

lim x

mx 3 0 3 x4 m 2x 2

lim x

mx 3 0 x 2 ( 3x 2 m 2)

lim x

mx 0 3x m2

lim x

2

0

Ahora calculamos el límite según la dirección de las parábolas que pasan por el origen y cuya ecuación es y = k·x2. Sustituimos:

x 2y 4 ( 0,0 ) 3x y2

lim

( x ,y )

x 2· k·x 2 4 0 3x k 2x 4

lim x

lim x

0

kx 4 x (3 k 2 ) 4

lim x

depende del valor de “k”, no existe. La respuesta es la d)

8

0

k 3 k

k 2

3 k2

. Como el límite...