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Universidad Peruana Un Unión ión INGENIERÍA CIVIL -JULIACA

1.3.7. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES EJEMPLO INTRODUCTORIO Determine su punto máximo ó mínimo de la función: f ( x ) = 1 − x2 ; x   −1,1 SOLUCIÓN i)

Hallemos el/los puntos críticos de la función: f ( x) = 1− x

2



f ' ( x ) = −2 x = 0 x = 0 ; f (0 ) = y = 1

El punto P0 = ( 0,1) , es un punto crítico. ii) Utilizando el criterio de la primera derivada: Si x1 = −0.25 ( −0.25  0) entonces f '( x1 ) = f '( −0.25) = 0.5  0 ( + ) Si x2 = 0.25 ( 0.25  0) entonces f '( x2 ) = f '( 0.25) = −0.5  0 ( −) Luego, afirmamos que el punto P0 = ( 0,1) es un máximo. iii) Utilizando el criterio de la segunda derivada: f ( x ) = 1 − x2 

f ' ( x ) = −2 x



f '' ( x ) = − 2  0 (− )

Luego, afirmamos que el punto P0 = ( 0,1) es un máximo. Gráfico:

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Mg. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA

Universidad Peruana Un Unión ión INGENIERÍA CIVIL -JULIACA MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES Sea f : U 

una función definida en el conjunto abierto U de

.

Definición (1) Se dice que f tiene un máximo (mínimo) local o relativo en el punto x0  U si f ( x 0 )  f ( x ) ( f (x 0 )  f (x ) respectivamente ) para todo x en la bola Bx0 ( ) de centro x0 y radio  .

Definición (2) Un punto x  U en el que todas las derivadas parciales de la función f :U 

, se anulan se llama punto crítico (o punto estacionario) de la función.

OBSERVACIÓN El vector gradiente tiene por componentes a las derivadas parciales de la función, es decir; podemos determinar los puntos críticos de una función, hallando el gradiente de la función e igualando a cero: y = f ( x1 , x2 ,

 x es un punto crítico   f = 0

Definición (3) Sea x  U y Bx  una bola abierta en

()

tales que f ( x ) − f x es positivo y puntos y  Bx 

que contiene un puntos x  Bx 

()

tales que f ( y ) − f x es negativo,

se dice que x es un punto de ensilladura (o punto silla) de la función. Definición (4) Sea x  U y supongamos que las derivadas parciales de segundo orden

( )

 2 f x 2  f existen en x . A la matriz cuadrada de orden n , A = aij  =   xi x j x i x j 

 

se llama

()

matriz Hessiana (o simplemente Hessiano) de la función f en x y se denota por H x .  2 f    x1 x1  2 f H x =   x1x 2    2 f    x1 xn

()

2 f  x2 x1 2 f x2x 2 2 f x2 xn

2 f   xnx1  2 f    xnx 2   2 f   xn  xn 

NOTA Para el estudio y ejemplos utilizaremos las funciones reales de variable bidimensional, es decir: f : U  87

, cuyas definiciones las adaptaremos. Mg. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA

Universidad Peruana Un Unión ión INGENIERÍA CIVIL -JULIACA 1.3.8. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES DE DOS VARIABLES Sea f : U 

una función definida en la bola (disco) abierto U de

.

Definición (1) Se dice que f tiene un máximo (mínimo) local o relativo en el punto

( x0 , y0 ) U si f ( x0 , y0 )  f ( x , y ) ( f ( x 0 , y 0 )  f ( x , y ) respectivamente ) para todo ( x, y)

en

la bola B(x0 , y0 ) ( ) de centro ( x0 , y0 ) y radio  . EJEMPLO (1) Dada la función f ( x, y ) = 1 − x 2 − y 2 , determine su punto máximo ó mínimo. SOLUCIÓN Cuando ( x0 , y0 ) = ( 0, 0 ) entonces se obtiene un punto máximo. f (0, 0 ) =1 −0 2 − 0 2 =1 2

2

1 1  1  1 1 f  ,  =1 −   −   = 2 2  2  2 2

f (0, 0 )  f ( x, y ) ;  ( x, y )  B(0,0 ) (  )

Definición (2) Un punto f :U 

( x0 , y0 ) U en el que todas las derivadas parciales de la función

, se anulan se llama punto crítico (o punto estacionario) de la función.

OBSERVACIÓN El vector gradiente tiene por componentes a las derivadas parciales de la función, es decir; podemos determinar los puntos críticos de una función, hallando el gradiente de la función e igualando a cero:

z = f ( x , y )  P0 = ( x0 , y 0 ) es un punto crítico   f = ( f x , f y ) = ( 0, 0 ) EJEMPLO (2) Dada la función f ( x, y ) = 1 − x 2 − y 2 , halle sus puntos críticos. SOLUCIÓN Hallemos el vector gradiente de la función e igualemos a cero.  f x = −2 x  f ( x, y ) = 1− x 2 − y 2      f = (− 2 x,− 2 y ) = ( 0, 0 )  f y = −2 y  x=0  y= 0

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Mg. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA

Universidad Peruana Un Unión ión INGENIERÍA CIVIL -JULIACA Las coordenadas del punto crítico son: P0 = ( 0,0,1) (*) El valor de la tercera coordenada se halla reemplazando las coordenadas ( x, y ) = ( 0,0 ) en la función: f ( x, y ) = 1, − x2 − y2



f ( 0,0 ) = 1 − 02 − 02  z = 1

EJEMPLO (3) Dada la función g (x, y )= x 2 + 2 x + y 2 − 4 y , halle sus puntos críticos. SOLUCIÓN Hallemos el vector gradiente de la función e igualemos a cero.  gx = 2 x + 2  g ( x, y ) = x 2 + 2 x + y 2 − 4 y     f = (2x + 2, 2 y − 4 ) = (0, 0 )  gy = 2 y − 4  x = −1  y = 2

Las coordenadas del punto crítico son: P0 = ( −1, 2, −5)

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Mg. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA

Universidad Peruana Un Unión ión INGENIERÍA CIVIL -JULIACA EJEMPLO (3) Dada la función h ( x, y ) = 4 − x 2 − y 2 , halle sus puntos críticos. SOLUCIÓN Hallemos el vector gradiente de la función e igualemos a cero.

h ( x, y ) =

 −2 x 4 − x2 − y 2 x  hx = =− 2 2 2 (4 − x − y )  4 − x2 − y 2 4 − x2 − y 2   y −2 y 4 − x 2 − y 2  h = =−  y 2 2 2 (4 − x − y ) 4− x2 − y 2 

Luego:  x y f =  − ,− 2 2  4−x − y 4 − x2 − y 2  −

x 4 −x − y 2

2

=0

x=0



−

  = ( 0,0)   y 4 −x2 − y 2

=0

 y=0

Las coordenadas del punto crítico son: P0 = ( 0,0, 2)

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Mg. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA

Universidad Peruana Un Unión ión INGENIERÍA CIVIL -JULIACA EJEMPLO (4) Dada la función F ( x, y ) = 2 − 4 − x 2 − 4 y 2 , halle sus puntos críticos. SOLUCIÓN Hallemos el vector gradiente de la función e igualemos a cero.  4 − x2 − 4 y 2  x  = − 4 − x2 − 4 y 2 ) = F (  x 2 2 2 (4 − x − 4 y ) x 4 − x2 −4 y 2  F ( x , y ) = 2 − 4 − x 2 − 4y 2    2 2 4y  F = − 4 − x − 4y  ( 4 − x 2 − 4 y 2 ) = x 2 2  2 (4 − x − 4 y ) y 4 − x2 −4 y 2  Luego:  x 4y f =  ,  4 − x 2 − 4 y 2 4 − x 2 − 4y 2  x 4 − x − 4y 2

2

=0 x=0

  = ( 0,0)   4y



4 − x2 − 4y 2

=0

 y=0

Las coordenadas del punto crítico son: P0 = ( 0,0,0 ) (*) El valor de la tercera coordenada del punto crítico, se halla reemplazando las coordenadas ( x, y ) = ( 0,0 ) en la función: F (x , y ) = 2 − 4 − x 2 − 4y 2 

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z = F (0, 0 )= 2− 4− 0 2 − 4 (0 )  2

z= 0

Mg. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA

Universidad Peruana Un Unión ión INGENIERÍA CIVIL -JULIACA Definición (3) Sea ( x0 , y0 )  U y B(x0 , y0 ) ( ) una bola abierta en

( x, y)  B(x , y ) ( ) 0

0

que contiene un punto

tales que f ( x, y )− f (x 0 , y 0 ) es positivo y puntos ( x1, y1 )  B(x 0 ,y 0 ) (  )

tales que f ( x1 , y1 ) − f (x0 , y 0 ) es negativo, se dice que ( x0 , y0 ) es un punto de ensilladura (o punto silla) de la función. EJEMPLO (1) Dada la función h ( x, y ) = x2 − y 2 , halle sus puntos críticos. SOLUCIÓN

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Mg. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA

Universidad Peruana Un Unión ión INGENIERÍA CIVIL -JULIACA Definición (4) Sea ( x0 , y0 )  U y supongamos que las derivadas parciales de segundo orden 2 f existen en ( x0 , y0 ) . A la matriz cuadrada de orden 2  2 x y  2 f  x x H ( x0 , y0 ) =  2  f   x y

2 2  f   f   2 y x   x = 2 f    2 f   y y   xy

2  f   y x   f xx = 2 f   f xy 2  y 

f yx   f yy 

se llama matriz Hessiana (o simplemente Hessiano) de la función f en ( x0 , y0 ) y se denota

()

por H x . NOTA Para determinar que una función f : U 

, tiene puntos máximos ó mínimos

es necesario evaluar el valor de las determinantes de la submatrices del Hessiano.

 2 f  x2  A = 2  f   xy

2 f   y x  2 f   y 2 



 2 f  A1 = x2   2 f  2  A = x  2 2 f  x y 

2 f  y x 2 f y 2

i) Si todas las submatrices de la matriz Hessiana H ( x0 , y0 ) tienen determinados valores positivos (su determinante) entonces la función tiene un mínimo local en el punto crítico. ii) Si todas las submatrices de la matriz Hessiana H ( x0 , y0 ) tienen determinados valores alternados (su determinante) iniciando con negativo entonces la función tiene un máximo en el punto crítico.

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Mg. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA

Universidad Peruana Un Unión ión INGENIERÍA CIVIL -JULIACA EJEMPLO (1) Dada la función f ( x, y ) = 1 − x2 − y 2 , halle sus puntos máximos ó mínimos. SOLUCIÓN El punto crítico de la función es: P0 = ( 0,0,1) (Del Ejemplo (2)) Utilizando el Hessiano, determinemos si el punto crítico es máximo ó mínimo:

 f xx H (0,0 ) =   f  xy

f yx   − 2  = f yy   0

0  − 2 

  A1 = − 2 = − 2  0 ( − )        −2 0  A2 = = 4  0( + )    0 −2  

Donde:

 f ( x, y ) = 1 − x 2 − y 2   

  f x = − 2x      f y = −2 y    

f xx = −2 f yx = 0 f yy = −2 f xy = 0

Luego P0 = ( 0,0,1) es un punto máximo en la función f ( x, y ) = 1 − x2 − y 2 .

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Universidad Peruana Un Unión ión INGENIERÍA CIVIL -JULIACA EJEMPLO (2) Dada la función g (x, y )= x 2 + 2 x + y 2 − 4 y , halle sus puntos máximos ó mínimos. SOLUCIÓN El punto crítico de la función es: P0 = ( −1, 2, −5) (Del Ejemplo (3)) Utilizando el Hessiano, determinemos si el punto crítico es máximo ó mínimo:

2 H ( x, y ) =  0 

0  2 



 A1 = 2 = 2  0 (+ )        2 0  A2 = = 4  ( +)    0 2  

Donde:   gx = 2 x + 2       2 2 g ( x, y ) = x + 2 x + y − 4 y     g y = 2 y − 4    

f xx = 2 f yx = 0 f yy = 2 f xy = 0

Luego P0 = ( −1, 2, −5) es un punto mínimo en la función g (x, y )= x 2 + 2 x + y 2 − 4 y .

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