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Cálculo Vectorial Ing. Rodrigo Compañ Sarmiento

Unidad 4 Funciones reales de varias variables. Competencia especifica: Aplica los principios del cálculo de funciones de varias variables para resolver y optimizar problemas de ingeniería del entorno, así como para mejorar su capacidad de análisis e interpretación de leyes físicas. 4.1 Definición de una función de varias variables.

Una función de una variable es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento x en el subconjunto de los números reales, denominado el dominio de f, uno y sólo un número real y en otro conjunto de números reales Y. El conjunto {y|y=f (x), x en X} se llama rango de f. Definición formal de una función de dos variable

El conjunto de pares ordenados se llama dominio de la función y el conjunto de valores correspondientes de z recibe el nombre de rango. Una función de dos variables suele escribirse z= f(x,y) y se lee “f de x, y”. Las variables x y y se denominan variables independientes de la función, z es la variable dependiente. Algunas funciones de dos variables:

Funciones polinomiales y racionales Una función polinomial de dos variables consiste en la suma de potencias xmyn donde x y n son enteros no negativos. El cociente de dos funciones polinomiales se denomina función racional. Por ejemplo:

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El dominio de una función polinomial es el plano xy completo. El dominio de una función racional es el plano xy, excepto aquellos pares ordenados (xy) para los cuales el denominador es cero.

4.2 Gráfica de una función de varias variables. Curvas y superficies de nivel. Curvas de nivel Si una función de dos variables esta dada por z=f(x,y), entonces las curvas definidas por f(x,y)=c, para una C apropiada. Reciben el nombre de curvas de nivel de f. La palabra nivel proviene del hecho de que podemos interpretar f(x,y)=c como la proyección sobre el plano xy de la curva de intersección o traza de z=f(x,y) y del plano (horizontal o de nivel) z=c. Ejemplo: f(x,y)= x2+y2. El dominio serán todos los números reales, ya que no existe restricción o condición que deba cumplirse en la función. Se deben calcular las intersecciones. Z=0 0=x2+y2 los unicos valores que cumplen eso es x=0 y=0 z

z z=0 0=x2+y2 x

y=0

x=0

y

z=y2

z=x2

Al graficar en 3 dimensiones se obtiene un paraboloide. Y si se varían los valores de Z en ese paraboloide, imaginando como se vería una capa (plano) de ese paraboloide, se observa como si una circunferencia estuviera aumentando de radio cada que z es mayor.

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Cálculo Vectorial Ing. Rodrigo Compañ Sarmiento En caso de tener una superficie diferente, se va generando de igual forma curvas que van aumentando de tamaño, y que pueden cambiar de forma según la función.

Las curvas de nivel de una función f también reciben el nombre de líneas de contorno. A nivel práctico, los mapas de contorno son usados más a menudo para desplegar curvas de igual elevación.

Superficies de nivel Para una función de tres variables, w=f(x,y,z) las superficies definidas por f(x,y,z)donde c es una constante, se llaman superficies de nivel de la función f.

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Cálculo Vectorial Ing. Rodrigo Compañ Sarmiento Campo escalar

4.3 Límite y continuidad de una función de varias variables.

Propiedades de limites:

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Ejemplos:

 5 xy  x 2  y 3  3   5(0)(0)  (0) 2  (0) 3  3  3      lim  ( x , y ) ( 0 , 0 ) 3 4 2 3 ( 0 ) 4 ( 0 )( 0 ) 2 y xy         2  9 x 2  2 x 2 y 4   9(1) 2  2(1) 2 (1) 4  7     lim  3  ( x, y ) (1,1)  12 xy  2 y 3  12 ( 1 )( 1 ) 2 ( 1 )      10

 x 2  y 2   ( x  y )( x  y )       x  y 1 1  2 lim  (x ,y ) (1,1) x  y   x y     Método de trayectorias: Se debe aplicar la propiedad numero 2 de los limites, es decir sustituir el valor correspondiente de x, y por separado y comparar los resultados:

 xy   lim  2 (x ,y ) ( 0 , 0 ) x  y 2    x 0

 (0 ) y  2 2 0 y

 0   2  0  y

y0

 x (0 )  2 2  x 0

 0  2 0  x

En este caso se obtiene el mismo resultado, para los dos. Se sustituye x=y, y=mx 2 1  xx  x x y  2  2 2 2  x  x  2x  x( mx)  mx 2 m  y  mx  2   2  2  x  ( mx)  x (1  m) (1  m )

Ya que en este caso los resultados son diferentes, el limite no existe, ya que deben cumplirse las dos condiciones.

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Ejercicios:

 x 3  8 y 3  (x  2 y )(x 2  2xy  4 y 2 )  lim   (x , y ) ( 2 , 1) x  2 y  2 x y    2 2 2 x  2xy  4 y  2  2(2)(1)  4(1)2  12  ex  e y   e0  e0   1 1  2       lim   2 ( x , y ) (0 , 0 ) cos x  seny   sen cos 0 0     1 0  1

 x2  3 y2    no existe lim  (x ,y ) ( 0 , 0 ) x 2  2 y 2   

x 0  

3 2

y  0 1

4.4 Derivadas parciales. Interpretación geométrica

La derivada de una función de una variable y=f(x) está dada por el límite de un cociente de diferencia.

Exactamente de la misma manera, podemos definir la derivada de primer orden de una función de dos variables z=f(x,y) con respecto a cada variable.

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Ejercicio 1:

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Derivando con respecto a x

z   x5 y12 sen( xy 2 )  5 x 4 y10 cos( xy 2 ) x Ejercicio 3:

Ejercicio 4:

Ejercicio 5: 2

f ( x, y)  e x  4 y y 2 2 f  2 xe x  4 y  y x

2

2 2 f  4  2 y e x  4 y  y y

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Cálculo Vectorial Ing. Rodrigo Compañ Sarmiento Ejercicio 6: Derivada con 3 variables

f ( x, y, z)  5 x 6sen(3 y 4 z 2) f f  30 x 5sen(3 y 4z 2 )  60x 6y 3z 2 cos(3y 4z 2 ) x y

f  30 x 6 y 4 z cos(3 y 4 z 2 ) z

Ejercicio 7: z

f (x , y , z )  y x z x

z 1 x

f zy ln y  z   y ln y  2    x x2  x  z x

f zy  y x

z x

f y ln y  z x

4.5 Incrementos y diferenciales. Para representar la derivada de una función de una variable se utiliza la siguiente notación:

dy  f ´(x ) dx Donde el símbolo dy / dx , no se debe considerar como una fracción ordinaria, sino como un símbolo que representa el límite del cociente  y / x , cuando x  0 . Sin embargo, hay muchos problemas en los que es importante dar interpretaciones separadas a dx y dy. Esto se presenta especialmente en las aplicaciones del Cálculo Integral. Si f’(x) es la derivada de f(x), para un valor particular de x y Δx es un incremento de x, arbitrariamente elegido, la diferencial de f(x) que se representa por el símbolo df(x), se define por la siguiente igualdad:

df ( x)  f ´( x) x 

dy x dx

“La diferencial de una función es igual al producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente”

dx La definición de diferenciabilidad de una función de cualquier número de variables independientes no depende de la noción de un cociente de diferencia como en , sino más bien de la noción de un incremento de la variable dependiente.

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Cálculo Vectorial Ing. Rodrigo Compañ Sarmiento Interpretacion geometrica del incremento y la diferencial en dos variables.

Diferencial

Se concluye que cuando las derivadas parciales de (x,y) son continuas y cuando Δx y Δy son cercanas a 0, entonces dz es una aproximacion de Δz, es decir:

dz≈Δz 68

Cálculo Vectorial Ing. Rodrigo Compañ Sarmiento Determinar dz, de la funcion z=x2-xy. Cuando hay un cambio en la funcion de (1,1) a (1.2, 0.7)

dx  x  1.2  1  0.2

dy  y  0.7  1  0.3

z z z z dx  dy  2 x y  x x y x y dz   2(1)  1 0.2   1 0.3  0.5 dz 

Ejercicios: 1.-

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3.-

4.-

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4.6 Regla de la cadena y derivada implícita.

Regla de la cadena para derivadas parciales Para una función compuesta de dos variables z=f(x, y) donde x=g(u,v) y y=h(u,v), se esperarían naturalmente dos fórmulas análogas, ya que z=f(g(u,v), h(u,v)) y por ello pueden calcularse tanto:

z u

como

z v

La regla de la cadena para funciones de dos variables se resume en el siguiente teorema.

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Cálculo Vectorial Ing. Rodrigo Compañ Sarmiento Ejemplo:

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

derivada implícita:

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Ejemplo:

Ejercicios propuestos:

1.-

2.-

3.-

4.7 Derivadas parciales de orden superior.

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1.

2.

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Cálculo Vectorial Ing. Rodrigo Compañ Sarmiento 3.-

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4.8 Derivada direccional y gradiente. Un mapa del clima es un mapa que muestra curvas de nivel de la función de la temperatura T(x,y), para un estado o una cierta región del planeta, en una fecha y horario específico. En el mapa se muestran curvas de nivel o isotermas que son regiones de diversos colores que indican localidades con la misma temperatura. Lo interesante de estos mapas se da cuando se quiere saber cómo es la razón de cambio de la temperatura, es decir, cómo cambia la temperatura cuando se está moviendo de un punto a otro. Esta información se obtiene a partir de las derivadas direccionales y su vector gradiente.

El símbolo  es una delta griega mayúscula invertida, que se denomina del o nabla. El símbolo  suele leerse “grad f ”. Ejemplo 1: Calcule el gradiente de:

Ejemplo 2: Gradiente de una función de tres variables

El gradiente nos indica el sentido de crecimiento más rápido de una función en un punto dado. La derivada direccional nos ayuda a encontrar el valor máximo en el sentido del gradiente.

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Cálculo Vectorial Ing. Rodrigo Compañ Sarmiento Derivada direccional La derivada direccional de una función multivariable sobre un vector dado, representa la tasa de cambio de la función en la dirección de dicho vector. Este concepto generaliza a las derivadas parciales, ya que estas son derivadas direccionales en los vectores paralelos a los ejes. La noción geométrica de la derivada direccional se puede entender a partir de la idea de la pendiente de la recta tangente a las curvas de intersección de una superficie con el plano vertical que contiene a la dirección dada.

Ejemplo:

Nota: el vector u en el teorema es un vector unitario. Si un vector v no unitario especifica una dirección, entonces se debe normalizar v y utilizar u= v / |v|.

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Ejemplo 2:

Del ejemplo anterior tenemos que:

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Ejemplo 3:

4.9 Valores extremos de funciones de varias variables. Una función f de dos variables puede tener máximos relativos y mínimos relativos.

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