Funsiones de variables Reales PDF

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UNIVERSIDAD AUTONOMA DE SANTO DOMINGO####### UASDRECINTO SAN FRANCISCO DE MACORIS FACULTAD DE CIENCIA ESCUELA DE MATEMATICAProf.: Gilbert Núñez B.Matemática Básica-Bienvenido/as a la unidad 4Iniciamos la unidad 4 con mucho entusiasmo esperando que se animenaprovechar al máximo las diversas ventajas ...

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UNIVERSIDAD AUTONOMA DE SANTO DOMINGO UASD RECINTO SAN FRANCISCO DE MACORIS FACULTAD DE CIENCIA ESCUELA DE MATEMATICA

Prof.: Gilbert Núñez B. Matemática Básica-014

Bienvenido/as a la unidad 4 Iniciamos la unidad 4 con mucho entusiasmo esperando que se animen aprovechar al máximo las diversas ventajas de tiempo y espacio que nos proveen estas plataformas y de esta manera lograr los objetivos planteado para este periodo.

 Estructura de unidad de aprendizaje: Consigna de la unidad: Bienvenidos queridos estudiantes de matemática básica 014 sección (NO) para mí, es más que un placer compartir con cada uno de ustedes de manera virtual. El objetivo general: de esta asignatura es que a través de este tiempo se pueda adquirir los conocimientos necesarios de la unidad no. 4 reconocida como Funciones de variables Reales.

I Investiga los siguientes conceptos: ¿Qué es un sistema de coordenadas y como se presenta? ¿Como se utiliza un sistema de coordenadas? ¿Cuáles son los tipos de sistemas de coordenadas? ¿Cuántos ejes tiene un sistema de coordenadas cartesiano? ¿Como se le llama a la coordenada X? ¿Cuál es el nombre que tiene la coordenada Y? ¿A que llamamos distancia entre dos puntos? ¿Cuál es la fórmula de la distancia entre dos puntos? ¿Qué es un punto medio de un segmento de recta y cuál es su fórmula? ¿Qué es una circunferencia? ¿Qué es una pendiente de recta entre dos puntos? ¿Cuál es la fórmula de la pendiente de la recta que pasa por el punto A y B? 13. ¿A que llamamos punto pendiente de la recta?

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

II Grafica cada punto en el plano y diga en que cuadrante o eje se encuentra:

1.1 P (2, -5) Q ( -2, 3) R (5, 0)

1.2 M (1, 4) N ( -3, 0) P (- 5, - 3)

1.3 T ( -5, 1) S (2, 5) R (0,3)

III Calcula la distancia entre los puntos:

1. A (1,2)

B (-3, 4)

√ ( x − x ) +( y − y ) 2

d ( A , B)=¿

2

1

2

2

1

√ (−3−1 ) +( 4−2 )

d ( A , B)=¿

2

2

d ( A , B )= √ ( 4 ) +( 2 ) d ( A , B )= √ 16 + 4 d ( A , B )= √ 20 d ( A , B )=¿ 4.47 2

2

2. A (-1, 3) B (5,0)

√

2

2

d ( A , B)= ( x 2−x 1 ) +( y 2− y1) 2 2 d ( A , B)=¿ (5−(−1 ) ) +( 0−3)

√

√

2

2 d ( A , B)= ( 5−(−1)) +( −3 )

√ (5+1)2+ 9

d ( A , B)=¿

d ( A , B )= √ 6 +9 d ( A , B)=¿ √36 + 9 d ( A , B)=¿ √46 d ( A , B)=¿ 3 √5 2

3. A (2,4)

B ( -4,4)

√( x − x ) +( y − y ) 2

d ( A , B)=¿

2

1

2

2

1

√( −4−2 ) +( 4−4 ) d ( A , B)=¿ √( −6 ) +0 d ( A , B )=¿ √ ( −6) +0 d ( A , B)=¿ √( −6 ) d ( A , B)=¿

2

2

2

2

2

d ( A , B)=¿

6

2

IV Determine punto medio del segmento de la recta:

1. P1 (-1,3) P2 (3,-5)

2. P1(-1,-4) P2 (2,5)

3. P1 (-2,3) P2 (-1,5)

V Encuentra la ecuación de la circunferencia que satisfaga la condición indicada:

1.1 Centro (-1,2) R= 3 -1,2R=3 R= -2,5 1.2 Centro (1,-3) R=5 -2R=5 5

R= - 2 1.3 Centro (-9,-4) R= 3/2 3 2 3 -13R= - 2 3 R= - 26

(-9,-4) R=

1.4 Centro (5,2) R= √5 5,2R ÷ √ 5 ÷ 5,2 R=

√

R=

5 √5 26

5×

5 26

VI Halle la pendiente de la recta que pasa por el punto dado:

1. A (3,-7) B (1, 0) Δy

M= Δ x M=

y 2− y

1

x 2− x 1 0−(−7) M= 1−3 7 M= 2

M=3.5 2. A ( -4,-1) B (1,-1) Δy

M= Δ x M=

y 2− y

1

x 2− x 1 −1−(−1) M= 3−(−1) −1+1 M= 3+ 1 0 M= =0 4

3. A ( -1,2) B (3,-2) Δy

M= Δ x M=

y 2− y

1

x 2− x 1 −1−(−1) M= 3−(−1) −1+1 M= 3+1

M=

0 =0 4

1. A (2,1) M= M= M= M= M=

B (-3,1)

Δy Δx y 2− y x 2− x 1 1−1 ¿ ¿ −3 −2 0 −5 0 1

VII Halla la ecuación punto pendiente que pasa por (1,2) con la pendiente indicada: 1. 2/3 2. 1

1.

3) 3/5 4) 1/3 y − y 1=m(x −x1 ) 2 y−2= ( x−1 ) 3 2 2 y−2= x− 3 3 2 2 y= x− +2 3 3 4 2 y= x + 3 3

2. y − y 1=m(x −x1 ) y−2 =1 ( x−1) y −2= x −1

y = x −1+2 y=x +1

3.

y − y 1=m(x −x1 )

4. y − y 1=m(x −x1 )

3 y−2= ( x−1 ) 5

1 y−2= ( x−1) 3

3 3 y−2= x− 5 5

1 1 y−2= x− 3 3

3 3 y= x− +2 5 5

1 1 y−2= x− +2 3 3

7 3 y= x + 5 5

5 1 y−2= x− 3 3

1. ¿Qué es un sistema de coordenadas y como se presenta? Coordenadas cartesianas es el nombre que se da al sistema para localizar un punto en el espacio. El “apellido” de las coordenadas cartesianas es un homenaje al filósofo y matemático René Descartes. Un sistema de coordenadas cartesianas está formado por dos rectas perpendiculares graduadas a las que llamamos ejes de coordenadas. Se suele nombrar como X el eje horizontal e Y al eje vertical. Estos dos ejes se cortan en un punto al que se le denomina origen de coordenadas, O.

Otro nombre que reciben los ejes de coordenadas es el de abscisas para el eje X (horizontal), y ordenadas para el eje Y (vertical). Cuando queremos saber cuáles son las coordenadas de un determinado punto (al que nombramos generalmente con letras mayúsculas P, Q, R… o A, B, C… debemos tener en cuenta que se colocan así: (abscisa, ordenada) Así que si decimos que el punto P tiene coordenadas (3,5) estamos diciendo que se encuentra sobre el 3 del eje horizontal a altura 5.

Representación Gr Grafica afica

2. ¿Como se utiliza un sistema de coordenadas? Las coordenadas cartesianas se usan por ejemplo para definir un sistema cartesiano o sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas se denominan abscisa y ordenada. La abscisa es la coordenada horizontal y se representa habitualmente por la letra x, mientras que la ordenada es la coordenada vertical y se representa por la y. 3. ¿Cuáles son los tipos de sistemas de coordenadas? Sistema coordenado lineal Es el conjunto de números reales representado gráficamente por una recta en el que se pueden ubicar todos los números naturales, enteros, fraccionarios, decimales, etc. Cada punto de la recta representa un número real. el punto que representa al cero (0) es el punto de referencia principal del sistema de coordenadas, llamado punto de origen. Tomando en cuenta que cada uno de los puntos de la recta representa gráficamente un número real, a la derecha del punto origen O se hallan todos los positivos y a la izquierda todos los números reales negativos.

Para representar un número de la recta real se emplean las letras mayúsculas y sus coordenadas correspondientes, por ejemplo, los puntos A(5), B(3), C(-3), D(-5),etc. Sistema de coordenadas cartesianas En un espacio euclídeo un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si es un sistema bidimensional o tridimensional. El valor de cada una de las coordenadas de un punto (A) es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto

sobre un eje determinado. Sistema de coordenadas polares El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia. Sistema de coordenadas log-polares Es un sistema de coordenadas donde un punto se identifica con dos números, uno para el logaritmo de la distancia a un cierto punto y otro para un ángulo. Las coordenadas logarítmicas están estrechamente conectadas con las coordenadas polares, que generalmente se usan para describir dominios en el plano con algún tipo de simetría rotacional.

Sistema de coordenadas cilíndricas El sistema de coordenadas cilíndricas se usa para representar los puntos de un espacio euclídeo tridimensional. Resulta especialmente útil en problemas con simetría axial. Este sistema de coordenadas es una generalización del sistema de coordenadas polares del plano euclídeo, al que se añade un tercer eje de referencia ortogonal a los otros dos. La primera coordenada es la distancia existente entre el eje Z y el punto, la segunda es el ángulo que forman el eje X y la recta que pasa por ambos puntos, mientras que la tercera es la coordenada z que determina la altura del cilindro. Sistema de coordenadas esféricas

Al igual que las coordenadas cilíndricas, el sistema de coordenadas esféricas se usa en espacios euclidianos tridimensionales. Este sistema de coordenadas esféricas está formado por tres ejes mutuamente ortogonales que se cortan en el origen. La primera coordenada es la distancia entre el origen y el punto, siendo las otras dos los ángulos que es necesario girar para alcanzar la posición del punto. Coordenadas geográficas Este tipo de coordenadas cartográficas, subtipo de las coordenadas esféricas, se usa para definir puntos sobre una superficie esférica. Hay varios tipos de coordenadas geográficas. El sistema más clásico y conocido es el que emplea la latitud y la longitud, que pueden mostrase en los siguientes formatos:

  

DD — Decimal Degree (Grados Polares): ej. 49.500-123.500 DM — Degree:Minute (Grados:Minutos): ej. 49:30.0-123:30.0 DMS — Degree:Minute:Second (Grados:Minutos:Segundos): ej. 49:30:00-123:30:00

También se puede definir las coordenadas de un punto. de la superficie de la Tierra, utilizando una proyección cartográfica. El sistema de coordenadas cartográficas proyectadas más habitual es el sistema de coordenadas UTM. Coordenadas curvilíneas generales Un sistema de coordenadas curvilíneos es la forma más general de parametrizar o etiquetar los puntos de un espacio localmente euclídeo o variedad diferenciable (globalmente el espacio puede ser euclídeo pero no necesariamente). Si tenemos un espacio localmente euclídeo M de dimensión m, podemos construir un sistema de coordenadas curvilíneo local en torno a un punto p siempre a partir de cualquier difeomorfismo que cumpla:

Para cualquier punto q cercano a p se definen sus coordenadas curvilíneas:

Si el espacio localmente euclídeo tiene la estructura de variedad de Riemann se pueden clasificar a ciertos sistemas de coordenadas curvilíneas en sistema de coordenadas ortogonales y cuando es sistema de coordenadas ortonormales. Las coordenadas cilíndricas y las coordenadas esféricas son casos particulares de sistemas de coordenadas ortogonales sobre el espacio euclídeo.

4. ¿Cuántos ejes tiene un sistema de coordenadas cartesiano? en el origen. El eje horizontal se llama eje X o eje de abscisas. El eje vertical se llama eje Y o eje de ordenadas.

5. ¿Como se le llama a la coordenada X? El eje horizontal en el plano de coordenadas se llama eje-x o abscisas. 6. ¿Cuál es el nombre que tiene la coordenada Y? El eje vertical se llama eje-y o de ordenadas. 7. ¿A que llamamos distancia entre dos puntos? la distancia entre dos puntos equivale a la longitud del segmento de recta que los une, expresado numéricamente. Distancia entre dos puntos. Dados dos puntos cualesquiera A(x1,y1), B(x2,y2), definimos la distancia entre ellos, d(A,B), como la longitud del segmento que los separa . 8. ¿Cuál es la fórmula de la distancia entre dos puntos? D=

√ ( x 2−x 1) + ( y 2− y 1 ) 2

2

Distancia horizontal entre dos puntos

Imaginemos que tenemos dos pares ordenados P1(x1, y1) y P2(x2, y2), tales puntos están localizados de tal forma que éstas formen una recta horizontal, es decir, paralela al eje de las abscisas o eje “x”. Para poder calcular la distancia entre tales puntos es: P1 P 2=x 1− x 2 Recordemos que, si la recta va del punto 1 hasta el punto 2, entonces tomamos la parte final menos la parte inicial. De otra forma: P2 P 1=x 1− x 2 En este caso vamos del punto 2 hasta el punto 1, por lo que nuestro punto inicial es x1 y el final x2. En cualquier caso, que deseemos tomar como punto inicial o final, la distancia siempre será la misma, a ese procedimiento de cantidad absoluta, se le conoce como distancia no dirigida. Nuestra Fórmula para la distancia horizontal entre dos puntos, es la siguiente:

|P 1 P 2|=|x 2−x 1|=|x 1−x 2|

Distancia Vertical Entre Dos puntos

Al igual que la distancia entre dos puntos horizontal, en la distancia vertical podemos tomar dos puntos cualesquiera que pertenezcan a una misma recta de forma vertical, es decir que sea paralela al eje de las ordenadas, o eje “y”. Para poder calcular la distancia realizamos el siguiente argumento: Sea la distancia dirigida del punto 1 al punto 2.

Ahora, si deseamos encontrar la distancia del punto 2 al punto 1.

Y si lo que realmente deseamos es calcular la distancia desde cualquier punto, como una distancia no dirigida, entonces aplicamos lo que sería nuestra fórmula.

Distancia Entre Dos Puntos General

En este tercer caso la situación se vuelve más interesante, porque veremos aplicar una técnica que debimos aprender en Geometría y Trigonometría. Pues bien, al observar la imagen de la distancia entre dos puntos, nos damos cuenta que los puntos ya no se encuentran de forma horizontal, ni de forma vertical. Si no que ahora están en forma de diagonal, pero para buen observador también nos percatamos que hay un punto M (x1, y2), donde su par ordenado tiene la abscisa del punto 1, y tiene la ordenada del punto 2. Esto finalmente forma un triángulo rectángulo. Dónde:

Cateto Adyacente Cateto Opuesto Como podemos ver, para poder calcular la distancia entre el punto 1 y el punto 2, es necesario recurrir al Teorema de Pitágoras Aplicando el Teorema de Pitágoras, tenemos: 2 2 2 ( P1 P 2 ) =( M 1 P 2) +( P 1 M 1 )

Para quitar el cuadrado del primer miembro, obtenemos la raíz cuadrada de ambos miembros, quedando así.

√( P 1 P2 )

2

=

√ ( M 1 P 2 ) +( P 1 M 1 ) 2

2

P1 P 2=√ ( M 1 P2) +( P 1 M 1) 2

2

Sustituyendo por los pares ordenados, esto queda así: P1 P 2=√ ( x 2−x 1) + ( y 2− y 1 ) 2

2

Qué finalmente la podemos escribir de esta forma. D=

√ ( x 2−x 1) + ( y 2− y 1 ) 2

2

La forma general de calcular la distancia entre dos puntos, estén donde estén. La fórmula aplica siempre.

9. ¿Qué es un punto medio de un segmento de recta y cuál es su fór fórmula? mula? Punto medio en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento. Más generalmente punto equidistante en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de dos elementos geométricos, ya sean puntos, segmentos, rectas, etc. Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento. Fórmulas para hallar las coordenadas del punto medio de un segmento con extremos A(xa, ya) y B(xb, yb) en plano:

xa + x

y c = ya + y

b

b

2

2

xc =

Fórmulas para hallar las coordenadas del punto medio de un segmento con extremos A(xa, ya, za) y B(xb, yb, zb) en espacio:

xa + x

ya + y

za + z

b

b

b

xc = 2

yc =

zc =

2

2

10. ¿Qué es una circunferencia? De manera formal, una circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro, llamado centro de la circunferencia. No debemos nunca confundir el concepto de círculo con el concepto de circunferencia, que en realidad una circunferencia es la curva que encierra a un círculo (la circunferencia es una curva, el círculo una superficie). A continuación, vemos una imagen de una circunferencia.

En realidad, y de manera más sencilla, una circunferencia es el conjunto de puntos situados en el plano todos a la misma distancia de un mismo punto central, al que llamaremos centro. Elementos básicos

En la imagen expuesta arriba se pueden ver todos los elementos que vamos a nombrar a continuación:

 

Centro: punto central que está a la misma distancia de todos los puntos pertenecientes a la circunferencia. Radio: pedazo de recta que une el centro con cualquier punto perteneciente a la circunferencia.

   

Cuerda: pedazo de recta que une dos puntos cualquiera de una circunferencia. Diámetro: mayor cuerda que une dos puntos de una circunferencia. Hay infinitos diámetros y todos pasan por el centro de la circunferencia. Recta secante: recta que corta dos puntos cualesquiera de una circunferencia. Recta tangente: recta que toca a la circunferencia en un solo punto y es perpendicular a un radio. 11. ¿Qué es una pendiente de recta entre dos puntos? La pendiente de la recta "aumenta conforme va". Ése es el cambio vertical entre dos puntos (la diferencia entre las coordenadas en y) dividida entre el cambio horizontal sobre el mismo segmento (la diferencia entre las corneadas en x). Esto puede escribirse como:

Esta ecuación es la fórmula de la pendiente. 12.

¿Cuál es la fórmula de la pendiente de la recta que pasa por el punto A y B?

13.

¿A que llamamos punto pendiente de la recta?

Un tipo de ecuación lineal es la forma punto-pendiente, la cual nos proporciona la pendiente de una recta y las coordenadas de un punto en ella. La forma punto-pendiente de una ecuación lineal se escribe como . En ésta ecuación, m es la pendiente y (x1, y1) son las coordenadas del punto. Veamos de dónde es que viene esta fórmula de punto-pendiente. Aquí está la gráfica de una recta genérica con dos puntos trazados en ella....