Informe de las Aplicaciones de las Derivadas Parciales PDF

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Aplicaiones a las derivadas Parciales...

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UNIVERSIDAD NACIONAL SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO FACULTAD DE INGENIERIA DE PROCESOS ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA QUIMICA

TITULO APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES

CALCULO II

AUTORES

JONATHAN JAIR MORA PURE - 200984 AMBARTH BORDA PEREZ - 100995

ING. IGNACIO VELAZQUEZ HACHA

15 DE AGOSTO DE 2021

INDICE PRESENTACION ................................................................................................ 1 INTRODUCCION ................................................................................................ 2 MARCO TEORICO ............................................................................................. 3 Derivadas Parciales ........................................................................................... 3 Interpretación geométrica de las derivadas parciales ....................................... 3 Derivadas parciales de orden superior .............................................................. 4 Regla de la Cadena ........................................................................................... 4 CAPITULO I ........................................................................................................ 3 Aplicaciones de la derivada parcial a la física .................................................. 3 ECUACIÓN DEL CALOR .......................................................................... 3 ECUACIÓN DE ONDAS............................................................................. 4 CAPITULO II ....................................................................................................... 6 Aplicaciones de las derivadas parciales a la termodinámica ............................ 6 LEYES DE LOS GASES ............................................................................. 6 PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA .......................................... 10 SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA ........................................ 12 POTENCIALES TERMODINÁMICOS .................................................... 13 RELACIONES DE MAXWELL ................................................................ 19 CAPITULO III.................................................................................................... 21 Aplicaciones de la derivada parcial e la Industria .......................................... 21 PRODUCTIVIDAD MARGINAL ............................................................. 21 PRODUCTIVIDAD MARGINAL DEL CAPITAL .................................. 22 COSTO MARGINAL ................................................................................. 23 CAPITULO IV ................................................................................................... 24 Aplicaciones de la derivada parcial a la Economía ........................................ 24 FUNCIONES DE OFERTA Y DEMANDA .............................................. 24

CAPITULO V ..................................................................................................... 28 Aplicaciones de la derivada parcial en la Industria Química – Procesamiento del Tratamiento de Castaña ........................................................................................ 28 Modelo ........................................................................................................ 28 Resistencia Externa Nula a la Transferencia de Calor................................ 29 Resistencia Externa Finita a la Transferencia de Calor .............................. 30 Resultados y Discusión ............................................................................... 32 CONCLUSIONES .............................................................................................. 46 BIBLIOGRAFIA ................................................................................................ 47

1 PRESENTACION

El presente informe tiene como tema principal: Aplicaciones de las Derivadas Parciales en el cual daremos a conocer aplicaciones de estas relacionadas al campo de la Ingeniería dando algunos ejemplos sobre este mismo. El presente informe tiene como finalidad el conocer sobre las derivadas parciales y las aplicaciones que esta puede tener con relación a muchas carreras universitarias, mostrando en este caso aplicaciones en la Ingeniería. El presente trabajo es resultado de una exhaustiva recolección de diversas fuentes de información estructuradas de manera concisa en el presente. Para ello esencialmente, se centra en el estudio de una aplicación en nuestra escuela profesional de Ing. Química, del tema de “Derivadas parciales”. El cual a lo largo del desarrollo de nuestra carrera será de mucha importancia en muchos aspectos, de los cuales escogimos uno para desarrollarlo. Esperando que el presente trabajo sea acorde las expectativas del docente y nos ayude a ampliar nuestros horizontes con respecto a lo investigado.

2 INTRODUCCION En el ámbito de la investigación en didáctica de las matemáticas es bastante conocido que la enseñanza habitual del cálculo se basa en la transmisión de conocimientos con un énfasis muy marcado en el desarrollo de habilidades algebraicas y se desatiende el discernimiento intelectual para la comprensión de ideas, nociones y conceptos. Tal situación ha sido abordada en diversos trabajos en los que se muestran desde argumentaciones teóricas hasta propuestas para mejorar la calidad del aprendizaje, las cuales incluyen tanto los conocimientos previos que necesitaría tener un estudiante para tener éxito en el estudio de cálculo, como la elaboración de materiales didácticos (Farfán, 1991 & 1994; Artigue, 1995; Dolores, 1999; Salinas et al., 2002). Por ejemplo, Moreno (2005) indica que: "La enseñanza de los principios del cálculo resulta bastante problemática, y aunque seamos capaces de enseñar a los estudiantes a resolver de forma más o menos mecánica algunos problemas estándar, o bien a realizar algunas derivadas o integrales, tales acciones están muy lejos de lo que supondría una verdadera comprensión de los conceptos y métodos de pensamiento de esta parte de las matemáticas". Un problema importante ligado a esta situación es que el conocimiento generalmente se trata fuera de contextos apropiados. Así, cuando se pretende mostrar a los estudiantes la utilidad de los contenidos que se estudian, a lo más que se llega en un curso común de cálculo es a resolver los llamados problemas de aplicación que se proponen en los textos, que casi nunca corresponden a la realidad. La derivada parcial de una función de dos o más variables, se encarga de mantener las demás variables respecto a las cuales no se realiza el proceso de derivación como una constante, ¡es decir la derivada de una función de dos o más variables mide la rapidez de cambio de una de ellas llamada variable dependiente en relación con la denominada variable independiente. Ahora bien, porque son importantes en el mundo que conocemos Porque básicamente el comportamiento de un sistema que no sea susceptible de medición directa puede describirse mediante las expresiones obtenidas por la derivación parcial, muchos de los fenómenos que ocurren a diario a simple vista nuestra, no son susceptibles de medición directa.

3 MARCO TEORICO Derivadas Parciales En cálculo una derivada parcial de una función de diversas variables es su derivada respecto a una de esas variables con las otras manteniéndolas constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial. La derivada parcial en un punto de una función de dos variables es la derivada de la función de una variable, obtenida haciendo constante la otra variable. En consecuencia, se pueden aplicar, con esta interpretación las reglas de derivación de una variable. Para determinar la velocidad o el ritmo de cambio de una función de varias variables respecto a una de sus variables independientes se utiliza el proceso de derivación parcial. Si z = f (x, y) las primeras derivadas parciales de f con respecto a las variables x e y son las funciones definidas como:

Interpretación geométrica de las derivadas parciales Si y = y0 entonces z = f (x, y0) representa la curva intersección de la superficie z= f (x, y) con el plano y = y0. Por tanto, fx (x0, y0) = pendiente de la curva intersección en (x0, y0, f (x0, y0)). Análogamente, f (x0, y) es la curva intersección de z = f (x, y) (superficie) X = Xo (plano) Y entonces fy (x0, y0) = pendiente de la curva intersección en (x0, y0, f (x0, y0)). Diremos que los valores ∂f/∂x (x0, y0), ∂f/∂y (x0, y0) denotan las pendientes de la superficie en las direcciones de x e y, respectivamente.

4 Derivadas parciales de orden superior Como sucede con las derivadas ordinarias es posible hallar las segundas, terceras... derivadas parciales de una función de varias variables, siempre que tales derivadas existan. Por ejemplo, la función z = f (x, y) tiene las siguientes derivadas parciales de segundo orden:

Regla de la Cadena En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. En términos intuitivos, si una variable, y, depende de una segunda variable, u, que a la vez depende de una tercera variable, x; entonces, la ratio de cambio de y con respecto a x puede ser computado como el producto del ratio de cambio de y con respecto a u multiplicado por el ratio de cambio de u con respecto a x.

3 CAPITULO I Aplicaciones de la derivada parcial a la física ECUACIÓN DEL CALOR La ecuación del calor es una importante ecuación diferencial en derivadas parciales

que describe la distribución del calor (o variaciones de la temperatura) en una

región a lo largo del transcurso del tiempo. Para el caso de una función de tres variables en el espacio (x, y, z) y la variable temporal t, la ecuación del calor es

donde α es la difusividad térmica, que es una propiedad el material.

La ecuación del calor es de una importancia fundamental en numerosos y diversos campos de la ciencia. En las matemáticas, es las ecuaciones parabólicas en derivadas parciales por antonomasia. En la estadística, la ecuación del calor está vinculada con el estudio del movimiento browniano a través de la ecuación de Fokker –Planck. La ecuación de difusión, es una versión más general de la ecuación del calor, y se relaciona principalmente con el estudio de procesos de difusión química.

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ECUACIÓN DE ONDAS La ecuación de onda es una importante ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden que describe la propagación de una variedad de ondas, como las ondas sonoras, las ondas de luz y las ondas en el agua. Es importante en varios campos como la acústica, el electromagnetismo y la dinámica de fluidos. Históricamente, el problema de una cuerda vibrante como las que están en los instrumentos musicales fue estudiado por Jean le Rond d’Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli y Joseph-Louis Lagrange. La ecuación de onda es el ejemplo prototipo de una ecuación diferencial parcial hiperbólica. En su forma más elemental, la ecuación de onda hace referencia a un escalar u que satisface:

Donde es el laplaciano y donde c es una constante equivalente a la velocidad de propagación de la onda. Para una onda sonora en el aire a 20 °C, esta constante es de cerca de 343 m/s (véase velocidad del sonido). Para una cuerda vibrante, la velocidad puede variar mucho dependiendo de la densidad lineal de la cuerda y su tensión. Para un resorte de espiral (un slinky) puede ser tan lento como un metro por segundo. Un modelo más realista de la ecuación diferencial para ondas permite que la velocidad de propagación de la onda varíe con la frecuencia de la onda, a este fenómeno se le conoce como dispersión. En este caso, c deberá ser remplazado por la velocidad de fase:

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Otra corrección común en sistemas realistas es que la velocidad puede depender también de la amplitud de la onda, lo que nos lleva a una ecuación de onda no lineal:

También hay que considerar que una onda puede ser transmitida en un portador móvil (Por ejemplo, la propagación del sonido en el flujo de un gas). En tal caso el escalar u contendrá un Número Mach (el cual es positivo para la onda que se mueva a lo largo del Por lo que esa ecuación describe fenómenos tales como ondas sísmicas en la Tierra y las ondas de ultrasonido usadas para determinar defectos en los materiales. Aunque sea lineal, esta ecuación tiene una forma más compleja que las ecuaciones dadas arriba, porque debe tomar en cuenta los movimientos longitudinales y transversales:

Donde: •

λ y μ son los supuestos parámetros de Lamé que describen las propiedades elásticas del medio.

•

ρ es la densidad,

•

f es la función de entrada (fuerza motriz), y u es el desplazamiento.

Note que, en esta ecuación, la fuerza y el desplazamiento son cantidades vectoriales. Esta ecuación es conocida a veces coma la ecuación de onda vectorial. Hay variaciones de la ecuación de onda que también pueden ser encontradas en mecánica cuántica y relatividad general.

6 CAPITULO II Aplicaciones de las derivadas parciales a la termodinámica LEYES DE LOS GASES En la ecuación de estado PV=nRT supongamos que necesitamos conocer la forma en que varía la presión con respecto a la temperatura T suponiendo que el volumen Vy el número de moles n en nuestro sistema gaseoso permanece constante. Esta interrogante que nos interesa la podemos escribir con una derivada parcial:

(Levine,

I. 2004:23). Es posible construir diversas derivadas parciales que relacionen las diferentes variables de estado de un gas ideal, algunas de las cuales son más útiles o fáciles de entender que otras, no obstante, la derivada de R es cero ya que R es una constante (Bonilla, 2006:65). En la ecuación de estado PV=nRT, analicemos

V,n,R a partir

de P=nRT/V luego derivar ambos miembros con respecto a T, mientras el resto de las variables se mantienen constantes:

Si tomamos una muestra de un gas ideal y medimos su presión P a diferentes temperaturas T a volumen constante y trazamos la gráfica, obtenemos una recta cuya pendiente es (nR/ V) es decir la derivada. (Acevedo, R. & Costas, 2007:174). Luego el cambio de presión respecto a la temperatura T es {dpi dT) V, n, R = V/nR. Si A es función de dos variables B y C representada A (B, C) y ambas variables B y C son funciones de las variables D y E representado B (D, E) y C (D, E), entonces la regla de la cadena para las derivadas parciales es:

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En los casos de PVT podemos aplicar este concepto; dada una cantidad de gas, la P depende de Vy T:P (V, T) y el volumen depende dePy T: V(P,T) y la temperatura depende de P y V: T(P,V). En el caso de cualquier variable de estado general de un gas F la derivada total de esta con respecto a la temperatura T a P constante, es:

El

termino la derivada de una variable respecto a si misma

es 1, en otro caso 0. Si F es

la

presión P entonces

puesto

que P se mantiene constante. La expresión anterior se convierte en:

Podemos reordenar esta expresión

Observe que cada término incluye PVT; si se conoce cualquiera de las dos derivadas, se puede determinar la tercera.

8 El coeficiente de expansión de un gas ideal a se define como el cambio en el volumen conforme la temperatura cambia a presión constante, la expresión incluye el factor 1/v:

La compresibilidad isotérmica de un gas representado con la letra K es el cambio del volumen conforme varía la presión a temperatura constante con factor 1/V:

Siguiendo el procedimiento anterior, para un gas ideal se demuestra que K=nRT/VP2

9 Ya que las dos definiciones utilizan PVT se tiene (dp / dr)V = a / T, en efecto:

Estas expresiones son de interés cuando es imposible mantener el volumen de un sistema constante. La derivada del volumen constante puede expresarse en términos de derivadas a temperatura y presión constantes, dos condiciones fáciles de controlar en laboratorio. (Bonilla, 2006:67-68) Consideremos un proceso físico o químico que ocurre en un sistema, este tiene unas condiciones iniciales y después del proceso tendrá otras condiciones, finales; pero hay muchas formas en que el sistema pueda pasar de su estado inicial a su estado final. Una función de estado es cualquier propiedad termodinámica del sistema cuyo cambio durante el proceso es independiente de la trayectoria, esto es, que depende solo del estado del sistema (PVTn) y no de la historia del sistema o de como este llegó a dicho estado. Las funciones de estado se representan con letras mayúsculas. Como la energía interna U, entalpia H, entropía S, energía libre de Helmholtz A, energía libre de Gibbs G. Una propiedad termodinámica cuyo cambio durante el proceso depende de la trayectoria no es una función de estado. Las funciones que no son de estado se representan con letras minúsculas, tales como el trabajo w y el calor q. (Atkins, 2008:57) Existe otra diferencia en lo que se refiere a las funciones de estado. Cuando se presenta una variación infinitesimal en un sistema, las variaciones infinitesimales en el trabajo w y el calor q y la energía interna se representan así: dw, dq, dU respectivamente. En un proceso completo estos cambios infinitesimales se integran desde las condiciones iniciales hasta las finales. Hay una diferencia en la notación: cuando se integran dw, dq el resultado es la cantidad absoluta de trabajo wyde calor q asociados al proceso. Pero cuando se integra dU en resultado no es U absoluto sino el cambio en

.

10 La misma relación existe para las otras funciones de estado. Las diferenciales son diferenciales inexactas, significa que sus valores integrados w y q dependen de la trayectoria. En cambio, dU es una diferencial exacta, quiere decir que su valor integrado AU es independiente de la trayectoria. Todos los cambios en las funciones de estado son diferenciales exactas. (Atkins, 2008:58)

PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA La energía interna U es la energía total de un sistema, representa el total de la energía cuando se suma la energía cinética y la energía potencial del sistema. La energía cinética debida al movimiento molecular y atómico y la energía potencial debida a la posición entre moléculas y entre átomos. La energía interna, más concretamente la variación de la energía interna dU de un sistema puede variar cuando se agrega calor al sistema o cuando el sistema emite calor dq y cuando el trabajo es realizado por el sistema o si se realiza trabajo sobre el sistema. Si tenemos un sistema gaseoso que contiene un volumen de partículas determinado, estas se encuentran en movimiento se desplazan, entonces tienen velocidad por tanto tienen energía cinética E.C; las partículas se encuentran en una determinada posición entonces pueden interactuar entre ellas esto representa una energía potencial E.P; toda esta energía se necesita para poder existir como sistema, es la energía para mover a

11 las partículas y estar entrelazados a través de las fuerzas internas que poseen (E.C y E.P ) y la suma de estas nos da la energía interna U, que no incluye la energía para formarlo. Lo que plantea la primera ley de la termodinámica es que si se toma un sistema con un volumen determinado y que tiene energía interna U y procedemos a calentar al sistema por ej., agregándole calor, vamos a poder incrementar la energía interna, pero adicionalmente si comprimimos al sistema aplicando una fuerza F sobre una superficie del sistema, éste varía su volumen, por tanto estamos realizando trabajo estamos agregando trabajo, una forma de energía y también logramos incrementar la energía interna del sistema. (Atkins, 2008:58-63) La energía interna U puede variar cuando le agregamos calor o efectuamos trabajo w sobre el sistema. En forma de ecuación:

De manera literal: la variación de la energía interna dU (dieferencial exacta) es igual al calor dq (diferencial inexacto) agregado al...