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FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL APLICACIONES DE LAS DERIVADAS AUTOR(ES): Acuña Mendoza Dafne Nicole (0000-0002-1708-2781) Chanduco Mendoza Anyeli Yanelyn (0000-0003-1409-0724) Huaman Leyva Edgar Elith (0000-0001-9989-6262) Huaylla Coronado Engel Fabrizio (0000-0002-0949-5711) Monsefú Zapata Carlos Manuel (0000-0002-2503-5539)

ASESOR(A)(ES): Macalopu Rimachi, Jessica (0000-0002-8948-5918)

LÍNEA DE INVESTIGACIÓN: DERIVADAS

CHEPÉN — PERÚ 2021

ÍNDICE INTRODUCIÓN ..............................................................................................1

I.

1.1.

Objetivo General ....................................................................................1

1.2.

Objetivos Específicos ...........................................................................2

II. DESARROLLO ..............................................................................................2 2.1.

Concepto de derivadas .........................................................................2

2.2.

Aplicaciones de la derivada en la Ingeniería Industrial....................2

2.3.

Situación problemática .........................................................................4

2.4.

Concepto de las integrales indefinidas..............................................6

2.5.

Propiedades de las integrales indefinidas.........................................6

2.6.

Primera situación problemática...........................................................7

2.7.

Segunda situación problemática.........................................................8

2.8.

Concepto de las integrales definidas..................................................9

2.9.

Propiedades de las integrales definidas............................................9

2.10.

Primera situación problemática.....................................................10

2.11.

Segunda situación problemática....................................................12

2.12.

Aplicaciones de las integrales indefinidas y definidas en la

Ingeniería Industrial ......................................................................................14 III. IV.

CONCLUSIONES .....................................................................................15 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS........................................................16

V. ANEXOS ......................................................................................................18

I. INTRODUCIÓN El presente informe describe el concepto, el desarrollo y la forma de aplicación llevada a cabo por los estudiantes de la Escuela de Ingeniería Industrial de la Universidad “Cesar vallejo”. Se dice que las matemáticas y la ingeniería tienen un gran vinculo. Una estrecha relación sería los problemas matemáticos con nuestra vida diaria. A fines del siglo XVII se sintetizaron en 2 conceptos los algoritmos utilizados por sus antecesores Isaac Newton y Gottfried Leibniz, en lo cual hoy llamamos “derivada” e “integral”. Las derivadas o diferenciales son la ayuda para muchos profesionales pertenecientes a este rango. Cuando vas en un carro y este acelera esta variación de la velocidad en un tiempo determinado se le reconoce como una derivada o de una forma más técnica una recta tangente de una curva de un punto dado. Así cuando encendemos el calentón de una habitación habrá un cambio de temperatura. Es muy útil para calcular las aceleraciones, velocidad y distancia de un objeto hemos venido trabajando mucho este tipo de ejercicios con esta técnica que nos ha facilitado de una manera más fácil, también estudia los líquidos, gases y comportamientos estadísticos máximos y mínimos con los cuales sabes la forma geométrica, este tema es nuevo para nosotros sin embargo al momento de estudiarlos nos pareció interesante y decidimos hacer un análisis de este tema. Por esto, no quiero dejar pasar por alto esta oportunidad única de manifestar mi gratitud a tantas personas una de ella la docente: Macalopu Rimachi, Jessica, que nos compartió estos conocimientos y sobre todo por la paciencia que nos ha tenido durante estas unidades, compañeros que fueron participes de esta indagación, se hizo posible que hoy se desarrolle un objetivo importante tanto profesionalmente como en nuestra vida diaria. 1.1.Objetivo General Aplicar los conceptos de integrales indefinidas o anti derivadas, en la ingeniería industrial; mediante el uso de los métodos de integración más comunes.

1

1.2. Objetivos Específicos 

Conocer los conceptos y las propiedades de las integrales.



Conocer los ámbitos de aplicación de las integrales.



Calcular situaciones problemáticas de la Ingeniería industrial haciendo uso de las integrales.



Adquirir destreza en las técnicas de integración,

II. DESARROLLO

2.1. Concepto de derivadas La derivada es un elemento utilizado en la matemática para calcular respuestas de una función a la que se le están cambiando sus primeros valores. Lo que permite que una función esté representada gráficamente como una línea recta superpuesta sobre cualquier curva que es la función, el valor de esta pendiente respecto al eje sobre el cual está siendo estudiada la función recibe el nombre de derivada. Es un concepto que tiene varias aplicaciones como lo mencionamos antes, en la rapidez que produce un cambio de una magnitud o una situación, es una herramienta de cálculo fundamental. Newton y LEYBNIZ grandes personajes que sintetizaron fabulosos conceptos, empezando con el primero quien realizo un cálculo estupendo para las tangentes, algoritmo para determinar funciones, continuando con el segundo formulo y desarrollo el cálculo diferencial, trato a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad.

2.2. Aplicaciones de la derivada en la Ingeniería Industrial Las derivadas representan causas de cambio en su aspecto más sencilla; de esta forma puesto que, cada vez que prendes tu teléfono celular, una vez que vez que un inmueble resiste el embate del viento, la aguja que se mueve en el velocímetro del carro… todo eso son las derivadas funcionando. La derivada es una de las operaciones de más grande trascendencia una vez que deseamos dialogar de funcionalidades reales de variable real debido a que nos da la tasa de alteración de la funcionalidad.

No obstante, la derivada de una funcionalidad hacia un costo de la variable es la tasa de alteración instantánea de esa funcionalidad para el costo concreto de la variable. Algo fundamental en hablado análisis de la derivada de una funcionalidad es que la pendiente o inclinación de la recta tangente a la curva representa lo veloz que es en un cambio instantáneo. De igual modo que, a medida que más grande sea la inclinación de la recta tangente en un punto, más grande es la velocidad de cambio del costo d la funcionalidad. La derivada nos informará con qué celeridad va cambiando el costo de la funcionalidad en un punto fundamental. El término de derivada segunda de una funcionalidad se aplica para saber si la velocidad de cambio sigue, se incrementa o reduce. Para nosotros mismos como alumnos de ingeniería industrial uno de los más importantes temas matemáticos que pudimos encontrar es la derivada que nos relaciona con conceptos primordiales que poseemos que aprender y utilizar en diferentes situaciones de la vida misma como son la tasa de cambio, mejora, velocidad de alteración, entre otras. Por consiguiente, debemos de decidir el desempeño y aplicaciones de las derivadas que nos conlleva a relacionarlo con la ingeniera industrial debido a que hace uso para los cálculos matemáticos. Las derivadas son de suma trascendencia en el funcionamiento de un ingeniero, ya que nos otorgan los cálculos y demuestran los cambios en las cambiantes, o sea necesita hallar el costo de la variable, al pasar cierto espacio de tiempo.

2.3. Situación problemática

(Optimización de ingresos y costos) Datos:

Calcular:

I(x) = 200x − x2

A) Ingresos Máximos

$50 servidores

B) Costos Mínimos

$2 Envió

C) Costo Marginal al producir 50

$0.02 Improvisos

unidades

Resolución:

50 + 2x + 0.022 I’(x) = 200 − 2x I’(x) = 200 − 2x = 0 200 = 2x 200 x= 2

I(100) = 200(100) − 1002 I(100) = 20000 − 10000 I ingresos Máximos $ 10.000 Mensuales

U(x) = I(x) − C(x) U(x) = (200x − x2) − (50 + 2x + 0.02x2) U(x) = 200x − x2 − 50 − 2x − 0.02x2 U(x) = 198x − 1.02x2 − 50 Luego:

U’(x) = 198 − 2.04x U’(x) = 198 − 2.04x = 0 198 x= 2.04

Utilidad máxima: $9.559

C(x) = 50 + 2x + 0.02x2 C’(x + 1) = 2 + 0.04(x + 1) C’(51) = 2 + 0.04(51) Costo marginal $4.04

Aplicamos la segunda derivada:

U’’(97) = −2.04 U(97) = 198(97) − 1.02(97)2 − 50 U(97) = 9559

2.4. Concepto de las integrales indefinidas Es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función. Es aquella que no tiene límites de integración, entonces cuando integramos y la resolvemos lo que obtenemos es una solución general que se da en función de una constante. La solución general de una integral definida es F(x) + C, donde C es puede definirse como la constante de integración y a F(x) se le conoce como la primitiva de la función que está dentro de la integral, f(x).

La integral indefinida se puede resolver mediante los siguientes métodos: Sustitución, por partes o por descomposición de fracciones racionales. El proceso utilizado para encontrar la primitiva de una función se llama integración indefinida y, por lo tanto, es la inverso de la derivación. Las integrales indefinidas están estrechamente relacionadas con las integrales definidas, lo que es posible gracias al teorema fundamental del cálculo.

2.5. Propiedades de las integrales indefinidas a) La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

b) La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

2.6. Primera situación problemática Un vivero de plantas verdes suele vender cierto arbusto después de 6 años de crecimiento y cuidado. La velocidad de crecimiento durante esos 6 años es aproximadamente, dh / dt = 1, 5t + 5, donde t es el tiempo en años y h es la altura en centímetros, las plantas de semillero miden 12 centímetros de altura cuando se plantan (t = 0). a) Determinar la altura después de t años. b) ¿Qué altura tienen los arbustos cuando se venden? Datos: t = 0 → h = 12 cm 𝑑ℎ 𝑑𝑑

= 1. 5 55 +5

∫ 𝑑ℎ = ∫(1. 5 5 5 + 5)𝑑𝑑 𝑑

ℎ= 1.5

ℎ= 𝑑2

+5 5+

2

2 3

+5 5+

4

𝑑 = 0 → ℎ = 12 3 12 = (0)2 + 5(0) + 𝑑 4 𝑑 = 12 ℎ(𝑑)

3 =

+5 5 + 12

𝑑2 4 𝑑 = 6 → ℎ(6) = 4

3

(6)2 + 5(6) + 126 = 9� �

2.7. Segunda situación problemática Un dueño de una fábrica de muebles descubrió que el costo marginal cuando se producen q unidades es 3q - 30q + 200 dólares por unidad. Si el costo total de producción de las dos primeras unidades es U$800, ¿Cuánto es el costo total de producción de las 5 primeras unidades? a) Definir la función: T(q)=3 3 3

2

−3 0 0 0 + 200

b) Derivar la función: ∫3 32 − 3 0 0 0 + 200 𝑑(𝑑) = 𝑑3 − 1 5 5 52 + 20 0 0 0+𝑑 c) Sustituir el Q para encontrar la función para encontrar la constante: 800 = 23 − 15 (22) + 200(2) + 𝑑 800 = 8 − 60 + 400 + 𝑑 452 = 𝑑 d) Después sustituir los valores para obtener el costo de producción de las primeras 5 unidades 𝑑(𝑑) = 53 − 15(5)2 + 200(5) + 452 𝑑(𝑑) = 125 − 375 1000 + 452 𝑑(𝑑) = 250 + 1452 �(�) =1202 Respuesta: El costo total de producción de las primeras 5 unidades es $1202.

2.8. Concepto de las integrales definidas La integral definida es uno de los conceptos fundamentales del Análisis Matemático. La integral definida es un concepto relevante para resolver una amplia gama de problemas que los estudiantes de ingeniería utilizamos en nuestro plan de estudios. Está presente en una amplia variedad de contenidos y es requerido en las actividades académicas a lo largo de nuestra educación superior. Para realizar estas actividades, debemos tener una sólida comprensión del concepto. La integral definida se utiliza para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

2.9. Propiedades de las integrales definidas a) El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

b) Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

c) Si es un punto interior del intervalo [ , 𝑑 ], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [𝑑, 𝑑] y [𝑑, 𝑑].

d) La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales.

e) La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

2.10.Primera situación problemática Un cable de forma parabólica se sostiene entre las torres de soporte de un puente, como se muestra en la figura.

Determinar

la

ecuación

parabólica y el área bajo la curva en

𝑑 2. Utilizando la integral definida. a) Calculamos la ecuación de la parábola en función a su vértice: Vértice = (0;0), Vértice = ℎ∆ Aplicamos: 𝑑=( − ℎ)2 + 𝑑



Reemplazar valor de (h k) en: 𝑑 = ( − 0)2 + 0 𝑑 = 𝑑2 … … … … … … . (1)



Calculamos el valor de a en (1): 40 = � (60)2



𝑑 =

1

90

Reemplazamos el valor de “a” en …… (1): Respuesta: Por lo tanto, la ecuación de la parábola del puente

� =

�2

1

90



Insertando la ecuación mediante la aplicación geogebra:

b) Calculamos el área bajo la curva entre las dos torres: Datos: � =

1

90

𝑑2

- intervalos: 𝑑 = 0 ∆ x=60

Utilizamos: 𝑑

1. 𝑑 = ∫� �(�)𝑑𝑑 2.

∫ 𝑑𝑑 𝑑𝑑 = 𝑑𝑛 +1 𝑑+1

𝑑

3. ∫ = 𝑑(𝑑) − ( ) �



Calculamos el área: 6 0

𝑑11 = ∫

1

𝑑2 𝑑𝑑90

0

𝑑1 =

1 90

∫

60 0

𝑑 2 𝑑𝑑

� = (� � ) ) �� � ( �� �



Parte: � = 1

1 (1 [ (60)) ( ) 90 3

𝑑1 = 0 800

3

]⌈( −

1

1 ) ( ) (0)3 90 3

⌉

2

Respuesta: �1+𝑑

𝑑�����= 16002

2

2.11. Segunda situación problemática A un ingeniero industrial se le encarga construir en un terreno que tiene forma de la siguiente región en el plano, el cual está limitado por las curvas 𝑑 = 3 − 𝑑2 𝑑 𝑑 = − + 1, medido en decámetros. ¿Cuál será techada en el primer piso si se quiere dejar un tercio del total del terreno para jardines? Y= - x + 1

con el eje y, entonces x = 0, se tiene que y = 1

Corte con eje x, entonces y = o Se tiene que x = 1 Resolución: Para unir las gráficas, hallaremos los puntos donde se interceptan de las siguientes ecuaciones: 𝑑 = 3 − 𝑑2 … .1 𝑑 = − + 1 … … 2, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 1 𝑑 2 . 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑: 𝑑 = −1 𝑑 𝑑 =2

El área que se tachará estará dada por el área sombreada a la figura:

Usaremos uno de los casos de áreas entre dos curvas: �

� ( (� ∫ )� (�) − �(𝑑)��

La región total debe tomarse 2/3 por lo tanto el área techada es: 2 𝑑� 2 ∫ [( 3 − 𝑑2) − (− �+ 1)] 𝑑𝑑 3 1 =

=

= +

2∫ 3 2

2

( 2 + � − 𝑑2 )��

−1

𝑑 2

(2�

2

−

𝑑 3

2

3)

-1

8

1

1

3

2 = [(4+2 −3

) − (−2 + 3

+ )] = 33

2 Luego transformando en metros tenemos: 𝑑 𝑑 = 3(10) = 30 0 0 0

2

2

2.12.Aplicaciones de las integrales indefinidas y definidas en la Ingeniería Industrial Es bien sabido que la aplicación de muchos métodos que se pueden utilizar en la ingeniería industrial no es un hecho cotidiano en el trabajo de algunos ingenieros. Sin embargo, se pueden identificar y desarrollar aplicaciones y relaciones entre el uso de las integrales y los problemas que los ingenieros industriales pueden encontrar en su carrera profesional. Las integrales son empleadas en la ingeniería industrial para crear modelos estocásticos; ya que estos permiten hacer proyecciones de distribución de plantas y procesos, hasta la planificación de compras y producción. Las integrales nos permiten solucionar problemas que nos rodean, y encontrar sus aplicaciones a problemas relacionados con: Movimiento rectilíneo, cálculo de áreas, volúmenes de sólidos, presión y fuerza de fluido.

III. CONCLUSIONES Después de indagar acerca de las integrales indefinidas nos hemos dado cuenta que no exige regla alguna para la integración y también es de mucha ayuda la práctica sistemática, lo cual nos permite usar el procedimiento correcto. Son importantes en la aplicación y resolución de problemas, la integral definida es una herramienta útil que a lo largo de los años ha tenido una aceptación buena, la cual dio una revolución completa en las matemáticas y otras áreas, por lo que es capaz de hacer, como comprobar y resolver problemas difíciles, ya que sin este método sería más complicado hallar una solución y la seguridad de las respuestas. Podemos decir que las derivadas e integrales son muy importantes en economía, matemáticas, química, entre otros, convirtiéndose en herramientas claves para lo que nos parece difícil, no tan solo son fórmulas que debemos aplicar en las distintas materias si no también en nuestra vida cotidiana. En cualquier ocasión nos podemos encontrar con problemas de magnitudes, velocidad media, aceleración y como ya conocedores de este tema se nos hará más fácil la resolución, así mismo queremos compartir estos conceptos y aplicaciones para todo estudiante de distintas carreras se les haga más factible.

IV. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Duvan, T. [DUVAN TELLEZ]. (2020, 16 septiembre). Aplicación de la Derivada en la Ingeniería Industrial Optimización de ingresos y costos

[Vídeo].

YouTube.

https://www.youtube.com/watch?v=jtHHWJcH50I

Vásquez, E. (2014, 10 abril). Aplicacion de La Derivada en Ing. Industrial. Library.

https://1library.co/document/ye3j2w4q-aplicacion-de-la-

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Aplicacion Derivadas Introduccion Y Conclusion. (2012, 4 mayo). BuenasTareas. https://www.buenastareas.com/ensayos/Aplicacion-DerivadasIntroduccion-y-Conclusion/4078916.html

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Derivada.

ConceptoDefinicion.

https://conceptodefinicion.de/derivada/

CÁLCULO - INTEGRAL. (s. f....