Derivadas direccionales, gradiente y operaciones con el operador nabla. PDF

Preview

Summary

Ejercicios derivadas...

Description

Facultad de Ciencias del Mar. Ampliación de Matemáticas

Derivadas direccionales, gradiente y operaciones con el operador nabla.





1. Probar que la función vectorial F  x, y , z   2xz 2 ,1, y 3zx verifica la siguiente igualdad:

grad  divF    2 F  rot  rotF  Vamos a desarrollar cada operación: Como divF    F 

1

x



F2 F3 , en este caso resulta que divF  2z 2  y3 x  y z f  f f  3 2 , resulta grad divF   y ;3y x ;4z ; ;   x y z 



De la misma forma, como gradf  



Por otra parte,

i  rotF  x 2 xz2

j  y 1

k   3 y 2 zx i  y 3 z  4 xz j  0 k z 3 y zx



 

i j   rot rotF  x y 2 3 3 y zx  y z  4xz





k   y3  4 x ;3 y2 x ;4 z  6 yzx z 0







Además,

 2  2 2 2  2 2         2  2  2  así que  2  2  2  2 xz2 ,1, y3 zx   4 x;0;6 yzx  y z   x y z   x



2



Se comprueba la igualdad ya que:











grad divF    2 F  y 3 ;3 y 2 x ;4 z   4x ;0;6 yzx   y 3  4 x;3 y 2 x ;4 z  6 yzx  rot rotF 2. Para la función f  x , y , z   xe

2 yz

, (a) Calcula el gradiente de f en el punto P=(3,0,2); (b)

Determina la razón de cambio de f en P en la dirección del vector u=(2/3, -2/3, 1/3).



;

gradf  3,0, 2   1;12;0

(a)

gradf  x, y, z   e

(b)

La razón de cambio en una dirección determinada la calculamos con la derivada



direccional. Como D u

2yz

0

;2xze

2yz

;2xye

2yz

, y 0 , z 0   gradf x 0 , y 0 , z 0  u y u es un vector unitario,

tenemos lo siguiente:

Du





0,2   1;12;0   2 / 3; 2 / 3;1/ 3 

2 22  8  3 3

Facultad de Ciencias del Mar. Ampliación de Matemáticas

3. Calcular la derivada direccional de la función f  x, y  1  2 x y en el punto P= (3,4) en la dirección del vector v=(4,-3).



Como en el ejercicio anterior, D v

  

En este caso, gradf  x, y    2 y ;

siguiente, D v



0

, y 0   gradf x 0 , y 0  v , siendo v unitario.

x y

  3  así que gradf  3,4    4;  y resulta lo   2 

 3   4, 3 23 4   gradf  3, 4  v   4;     2  16  9 10

4. Calcular la derivada direccional de la función f  x, y 

xy en el punto P=(2,8) en la

dirección del punto Q=(5,4). Aplicamos la igualdad del ejercicio anterior teniendo en cuenta que:

 y x gradf  x, y    ;  2 xy 2 xy 

PQ  (5, 4)  (2,8)  (3, 4);

 1     2

PQ



PQ

y 1 ; x 2

x y

  1  ; gradf  2,8  1;   4 

(3, 4) 5

Y resulta lo siguiente:

 x0 , y0    1;

D PQ



1  (3,  4) 3 1 2     4  5 5 5 5

5. Encuentra la razón máxima de cambio de la función f  x, y , z   tg  x  2 y  3z  en el punto (-5,1,1). Sabemos que la derivada direccional nos permite calcular la variación de una función en una dirección, por lo tanto, tenemos que averiguar dicha derivada. Para calcular la máxima variación recordemos la relación entre la derivada direccional y el gradiente:

Dv



0

, y 0 , z 0   gradf x 0 , y 0 ,z 0  v

siendo v un vector unitario. Si desarrollamos ese producto escalar tendremos lo siguiente:

Dv



0

, y0 , z0   gradf  x0 , y0 , z0  v  gradf  x0 , y0 , z0  v cos   gradf  x0 , y0 , z0  cos 

donde  es el ángulo que forman el gradiente y el vector unitario v.

Facultad de Ciencias del Mar. Ampliación de Matemáticas

Sabemos que 1  cos  1 y que gradf  x0 , y0 , z0  es una cantidad constante y positiva, así que la derivada direccional tomará su valor máximo cuando cos   1, es decir, cuando   0 , es decir, cuando los dos vectores tengan la misma dirección. Por lo tanto, la dirección de máximo crecimiento de la función viene dada por la dirección del gradiente y la máxima razón de cambio será el módulo del gradiente. En este caso:

  1 2 3 gradf  x, y, z    ; ; 2 2 2  cos  x  2 y  3z  cos  x  2 y  3z  cos  x  2 y 3z     En el punto dado: gradf  5,1,1  1, 2,3 Y la razón máxima de cambio de esta función en el punto dado será:

gradf  5,1,1  1  4  9  14 6. Cerca de una boya, la profundidad de una zona relativamente cercana a la costa viene dada por z  200  0.02 x2  0.001y3 donde x, y y z vienen dadas en metros. Un pescador en una embarcación pequeña parte del punto (80,60) y se desplaza hacia la boya, que está ubicada en el punto (0,0). ¿La profundidad aumenta o disminuye cuando se mueve en esa dirección? (b) ¿En qué dirección debe moverse el pescador para que la profundidad disminuya lo más rápidamente posible? (c) ¿En qué dirección debe moverse para que la profundidad permanezca constante? (a) Para saber si la profundidad aumenta o disminuye a partir de ese punto, tenemos que calcular la derivada direccional en dirección a la boya, es decir, en la dirección del vector (0,0)(80,60)=(-80, -60). Como D v



0

, y 0   gradf x 0 ,y 0  v y v es un vector unitario resulta lo siguiente:

Dv

,60)   3.2; 10.8 

( 80; 60) 392   3.92 100 100

Por lo tanto, en dirección a la boya, la profundidad aumenta. (b) La función disminuye lo más rápidamente posible en la dirección contraria a la del gradiente, pues en esa dirección el coseno toma su valor más bajo, es decir, en la dirección de

 gradf  80,60   3.2;10.8 . (c) Si la función permanece constante, la derivada direccional es nula. Esto ocurre en las direcciones perpendiculares a la del gradiente, es decir, las de los vectores (-10.8, -3.2) y (10.8, 3.2). El pescador debe moverse en una de esas direcciones para no cambiar de profundidad....