Limes y Derivadas con Matlab PDF

Preview

Summary

Practica de laboratorio, acerca del desarrollo y solución de problemas de límites y derivadas utilizando Matlab....

Description

   

Tema: Bucles básicos en programación, límites, derivación e integración Bucles Básicos en Programación. Ejercicios Propuestos 1. La sucesión de Fibonacci se define por recurrencia de la siguiente forma: los primeros dos términos son iguales a 1, y a partir del tercero, cada término es la suma de los dos anteriores.

a) Preparar un programa que calcule y almacene en una variable los 50 primeros términos de la sucesión. (Empezar creando una matriz fila de 50 ceros, que se irá rellenando con los sucesivos valores de la sucesión, mediante un bucle for adecuado.) b) Si dividimos cada término de la sucesión por el anterior, obtenemos otra sucesión que resulta ser convergente. Modificar el programa para ir calculando y almacenando estos cocientes a medida que se calculan los términos de la sucesión de partida. Aproximar el valor del límite. (El límite de estos cocientes es la razón áurea, Φ = (1 + √5)/2.)

2. Crear una function que, introducida por el usuario una matriz arbitraria, devuelva una matriz del mismo tamaño en la que se ha sumado 1 a los elementos de la primera fila de la matriz original, 2 a los elementos de la segunda, 3 a los de la tercera, y así sucesivamente. La function tendrá un único argumento de entrada (la matriz inicial) y un único argumento de salida (la matriz resultado). Size(A,1) da el número de filas, y size(A,2) el de columnas, de la matriz A. 3. Crear un script en el que, mediante el uso de bucles y de condicionales, se genere una matriz 5 X 8 con los siguientes elementos:



Si el elemento está en una columna par o bien en una fila par, la raíz cuadrada de la suma de los dos índices (de fila y de columna).

 En otro caso, la suma de los dos índices elevados al cuadrado. Nota: El resto de la división de x entre y se puede calcular en MATLAB mediante rem(x,y). El "o" lógico se escribe con una barra vertical, |.De esta forma, la condición "i es par o j es par" se podría escribir así: (rem(i,2)==0)|(rem(j,2)==0)

   

Limites El paquete Symbolic Toolbox de Matlab permite realizar las operaciones de límites, derivación e integración simbólicas.

Cálculo de límites Para el cálculo de límites, Matlab dispone de la función limit. Ejemplo. Calcular:

>>syms x h f=(sin(x+h)-sin(x))/h; a=limit(f,h,0) ans cos(x)

Ejemplo. Calcular >>syms x f=sin(sqrt(x))/sqrt(x); limit(f,x,0,'right')

Ejemplo. Calcular >>syms x f=x/exp(x^2); limit(f,x,inf)

   

Derivadas El comando diff() de Matlab permite calcular derivadas, totales y parciales, de una expresión algebraica, función de una o varias variables y parámetros, respecto de una de ellas (o de ellos). Ejemplos: Calcular la derivada tercera de f(x) = x 3 sen(x/a). Se procede como sigue: >>syms x a f=x^3*sin(x/a); d3f=diff(f,3) En pantalla aparece la derivada tercera de f escrita a la manera de Matlab. Si se quiere que aparezca expresada de la forma usual, se puede usar la instrucción pretty: >>syms x a f=x^3*sin(x/a); d3f=diff(f,3) pretty(d3f) Para calcular la derivada primera de f basta escribir diff(f). Supongamos que nos dan una expresión f(x), por ejemplo el polinomio:

Deseamos hallar sus derivadas respecto de x. Podemos hallar df(x)/dx de dos formas: >> syms a0 a1 a2 a3 x >> f=a3*x^3+a2*x^2+a1*x+a0 f= a3*x^3+a2*x^2+a1*x+a0 >> fx=diff(f) fx = 3*a3*x^2+2*a2*x+a ,

   

Matlab asume por defecto que la variable independiente es x, o bien especificando la variable respecto a la que queremos derivar, >> fx=diff(f,x) fx = 3*a3*x^2+2*a2*x+a1. La derivada segunda, d2 f(x)/dx 2 , la obtenemos colocando: >> f2x=diff(f,x,2) f2x = 6*a3*x+2*a2 y, del mismo modo, las derivadas sucesivas: >> f3x=diff(f,x,3) f3x = 6*a3 >> f4x=diff(f,x,4) f4x = 0 Ahora bien, si lo que queremos es derivar respecto a un parámetro, supongamos que a2, escribiremos >> fa3=diff(f,a3) fa3 = x^3 La operación de derivación, como otras, se puede extender a vectores y matrices. Si pedimos la derivada de una matriz A respecto de una variable x, Matlab calcula otra matriz cuyos elementos son las derivadas de los de la matriz A respecto de x. >> syms x y >> A=[1, x*y; x^2+y^2,x/y] A= [ 1, x*y] [ x^2+y^2, x/y] >> diff(A,y) ans = [ 0, x] [2*y, -x/y^2] .

   

Lo mismo puede hacerse con vectores.

Integrales El comando int() de Matlab permite resolver integrales, tanto indefinidas como definidas. Ejemplos: Calcular:

>>syms x f=x*sin(x); F=int(f) Sea la función f(x) = x/ln(x) . Para hallar la integral con escribir:

indefinida, basta

>> syms a b x >> f=log(x)/x f= log(x)/x >> int(f) ans = 1/2*log(x)^2 . y para obtener la expresión de una integral definida, tal como >> int(f,a,b) ans = 1/2*log(b)^2-1/2*log(a)^2 Observar que, en lugar de a y b, también habríamos podido poner dos números. Si la variable de integración no es x, debemos especiarla: >> syms u v >> int(sin(u*v)*cos(u*v),v) ans = 1/2*sin(u*v)^2/u

   

Calcular >>syms x f=x*exp(x); I=int(f,x,0,2) ans exp(2)+1 Si se desea obtener el resultado en forma decimal y con un número preciso de decimales, se usa la instrucción vpa(I,n), donde n es el número total de dígitos para representar el valor de I. Si ponemos >>vpa(I,5) ans 8.3891 En realidad, no es necesario indicar la variable independiente x y basta colocar I = int(f,0,2). Igual que la derivación, la integración se puede extender a vectores y matrices.

EJERCICIOS PROPUESTOS

Calcular los siguientes límites y esbozar la gráfica de las funciones en algún intervalo apropiado que contenga el punto donde se está calculando el límite:

Calcular la derivada tercera de la función: y = 4x sen x. Hallar el valor de la derivada tercera de la función y en x = π/2 Calcular las derivadas primeras y segundas de las siguientes funciones en el punto x = 2:

   

Calcular la integral indefinida

Calcular la integral definida:

b) Calcular las integrales que se calcularon en el ejercicio anterior, pero haciéndolas todas ellas definidas en el intervalo [10; 12], ofreciendo el resultado en forma algebraica y en forma numérica, con 6 decimales....