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Teoremas
Estudio de funciones
Máximos y mínimos
Concavidades
Crecimiento y decrecimiento
...

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MATEMATICA I

Derivadas y aplicaciones Teoremas de valor medio Teorema de Rolle Sea f(x) una función:  Continua en [a,b]  Derivable en (a,b)  f(a) = f (b). Entonces existe por lo menos un punto c  (a,b) tal que f´( c) = 0. Interpretación gráfica Observar que en este caso hay 2 valores c1 y c2 que tienen pendiente horizontal, es decir que la derivada es 0.

Demostración: Como f (x) es continua en [a,b]; por el Teorema de Weierstrass, existen dos puntos x=c y x=d, donde la función toma su valor máximo y mínimo respectivamente. 1er. caso Si c y d son los extremos del intervalo [a, b], c=a y d=b, entonces la función es constante y f ´ (x) = 0 para todo x del intervalo. 2do. caso Si c está en (a,b) entonces f (x)  f (c) x  a, b .

f (c  x )  f (c) , el numerador es negativo o 0, por ser f (c) el x f (c  x)  f (c) máximo, si x es positivo 0 x f (c  x )  f (c ) si x es negativo 0 x f (c  x)  f (c ) f (c  x )  f (c ) lim Tomando el lim 0 y 0 x x x0  x 0  f (c  x )  f (c ) Pero como sabemos que existe f (c) = lim , la única posibilidad es que f (c) x 0 x

Estudiemos el signo del cociente

=0. Aclaración: Se supuso que en x=c había un máximo se puede suponer también que había un mínimo.

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MATEMATICA I

Ejemplo 1 :





Dada la función f (x)  x 3 12x en 0,2 3 . Verificar si se cumplen las condiciones del teorema y hallar el o los valores de c donde f´(c)= 0. Solución: f(x) es continua y derivable en R por ser un polinomio. f (0) = 0; f (2 3 ) = 24 3 - 24 3 = 0

c  2 f ( x)  3x 2  12  0  3x 2  12  x 2  4   1 c 2   2 Solo c1 está en el intervalo 0,2 3 .





Ejercicio 1: Dada la función y  3 x  2 2

en [0,4]

Verificar que no se cumple el Teorema de Rolle y explicar por qué.

Teorema de Lagrange Sea f(x) una función:  Continua en [a,b]  Derivable en (a,b) Entonces existe por lo menos un punto c  (a,b) tal que

f ´(c ) 

f (b)  f ( a) b a



f (b)  f (a)  f ´(c).( b  a)

Interpretación gráfica.

Demostración: Se define una función F (x )  f (x ) 

f (b )  f (a ) (x  a ), b a

con a  x  b

Esta función verifica las hipótesis del teorema de Rolle: F(x) es continua y derivable por ser la suma de dos funciones continuas y derivables, (observar que lo que resta a f(x) es la ecuación de una recta).

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f (b )  f (a )  (a  a )  f (a )  b a   F (a)  F (b) , entonces existe al menos un c/ F´ ( ) ( )  f b f a (b  a )  f (a )  F (b )  f (b )    b a F ( a)  f ( a) 

(c)=0 como F (x )  f (x ) 

f (b )  f (a ) f (b)  f (a) f (b )  f (a )  0  f (c)   F (c)  f (c)  b a b a b a

Observar que el teorema de Rolle es un caso particular del Teorema de Lagrange. Ejemplo:

Dada la función y  2 x  x en   1,4. Verificar si se cumplen las condiciones del teorema y hallar el o los valores de c que verifican. 2

Teorema de Cauchy Sean f(x) y g(x) dos funciones tales que:   

Continuas en [a,b] Derivables en (a,b)

g  (x )  0

x  a , b 

Entonces existe por lo menos un punto c  (a,b) tal que

f (c) f (b )  f (a )  g (c) g (b )  g (a )

Demostración: Definimos una función auxiliar h (x) h(x)= f (x) – f (a) 

f (b )  f (a ) . g( x)  g( a)  g (b)  g( a)

Esta función es continua en [a ,b] y derivable en (a,b) porque f(x) y g(x) son continuas en [a ,b] y derivables en (a,b). Además: h (a)=h (b)=0, por lo que podemos aplicar el teorema de Rolle. Entonces por el teorema de Rolle existe un c tal que h´ (c) =0 h´(x)= f ´(x) 

f (b )  f (a ) f (b)  f ( a) f (c) f (b )  f (a ) .g ( x)  h´(c)= f ´(c)  .g  (c ) = 0   g (b )  g (a ) g (b)  g (a) g (c) g (b ) g (a )

Ejercicio: Verificar que: Si g(x) = x , el teorema de Cauchy queda igual al Teorema de Lagrange.

Regla de L´Hôpital: La regla de L´Hopital se aplica para resolver límites indeterminados del tipo

0  . o 0 

Para demostrarla se usa el Teorema de Cauchy.

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Para entender este concepto vamos a demostrar el caso siguiente Teorema: Si f(x) y g(x) son dos funciones continuas tales que f (a)= g(a)=0, g (x)  0 en  ( a, r) * y ambas funciones tienen derivadas que no se anulan ni se hacen infinito simultáneamente en un entorno reducido de a.. Entonces si existe el lim

x a

f ´( x) L g´( x)

f ( x) L x a g ( x )

 lim

Demostración Por el teorema de Cauchy, aplicado al intervalo (a,x), se tiene: 

f (x )  f (a ) f ( )  g (x )  g (a ) g ( )

Con  entre a y x. Como f (a)= g(a)=0; y cuando x a, también   a, aplicando el límite

lim

x a

f ( x)  f ( a) f ( ) f ( x) f  (x )  lim  lim  lim g (x )  g (a ) x a g   x a g( x) x a g x 

En realidad la Regla de L´Hôpital se puede aplicar en forma más amplia.

Enunciado general de la Regla de L´Hôpital : Si f(x) y g(x) son dos funciones continuas y derivables en  ( a, r) y g  (x )  0 en  ( a, r) * si o

lim f ( x)  0

x a

lim f ( x)  

x a

lim g( x)  0

y

x a

y

lim g( x)  

x a

O lo mismo para x . Entonces si existe el lim

x a

f ´( x) L g´( x)

f ( x) L x a g ( x )

 lim

,

f x  , es indeterminado y cumple las condiciones se puede volver a aplicar L´Hôpital. x a g x 

- Si el lim

Ejemplo 1:

tg (x  1) , como cumple todas las condiciones aplico L´Hôpital. x 1 3 x  3 2 tg (x  1) 1 sec ( x 1) 1 1 lim =  lim  , entonces lim 2 x 1 3 x  3 x 1 x 1 3 . cos  x  1 3 3 3 lim

*(Entorno reducido de centro a y radio r :  ( a, r)  (a-r,a)  (a, a+r)

-(-)(-) a-r a a+r

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Otro caso:

  

Si lim f ( x)   x a

y

1 x2 ln x  lim x  lim   lim ( x)  0  lim 0 1 x 0 x 0 x 1 x x 0  2 x x

x ( L´H )

ln x 0 1 x

Ejemplo 2: lim

 lim g( x)   x a  

Ejemplo 3: Si después de aplicar L´Hospital vuelve a dar una indeterminación (0/0 o (/), se puede volver a aplicar considerando que se cumplan las condiciones nuevamente.

 senx senx  x senx  x L´ H  cos x 1 L´H  0  lim  lim  0  lim x 0 x 0 x 0 x 0 2x 2 x2 x2 lim

Observación 1: Todas las indeterminaciones se pueden pasar a la forma (0 / 0). Considerando que

 

1 . 0

Por ejemplo:  0 .   

  0  0 o tambien   1 1  0 0 

ln x x0 1 x

Caso: lim x. ln x  lim x0

Observación 2: Es importante verificar las condiciones. Primero, antes de aplicar L´Hospital se debe verificar una indeterminación del tipo (0 / 0) o (/). Y el resultado al que se llega tiene existir. Es decir si se cumplen las condiciones y lim

x a

acerca de lim

x a

f ( x) g (x )

f ´( x)  no se puede sacar ninguna conclusión g ´(x )

.

x  senx , en principio se cumplen las condiciones, aplicamos L´Hospital: x x 1  cos x . lim x 1 x  senx Entonces no puedo saber cuanto vale lim , se debe aplicar otro método para resolver el x x  x  senx 1 = lim 1  .senx  1 0  1 límite: lim x x x x Ejemplo: lim

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Estudio de funciones Máximos, mínimos e intervalos de crecimiento Información que se obtiene de la derivada primera Recordemos que una función es creciente en un intervalo (a,b) si dados x1 ; x2  (a,b) para x1 < x2  f (x1)  f (x2) Y la función es decreciente en un intervalo (c,d) si dados x1 ; x2  (c,d) para x1 < x2  f (x1)  f (x2) Sabiendo que la derivada de una función en un punto da como resultado la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. Podemos deducir que dada una función derivable en x0, si f´ (x0) es mayor que 0, entonces la pendiente de la recta tangente en x0 es positiva y por lo tanto la función es creciente en x0. Justificación analítica: si consideramos la definición de derivada en x0:

lim

x x0

f ( x)  f ( x 0 ) , x  x0

 si la función es creciente cuando x > xo  f (x) > f (x0) y cuando x < xo  f (x) < f (x0), entonces numerador y denominador del cociente resultan del mismo signo y el cociente es positivo.  si la función es decreciente cuando x > xo  f (x) < f (x0) y cuando x < xo  f (x) > f (x0), entonces numerador y denominador del cociente resultan de distinto signo y el cociente es negativo. Y si f´ (x) >0 para todo x  (a,b)  f (x) es creciente en el intervalo (a,b). Análogamente si f´ (x) < 0 para todo x  (a,b)  f (x) es decreciente en el intervalo (a,b). Cuando f´ (x0) = 0: la pendiente es horizontal, en x0 hay un punto estacionario donde la función no crece ni decrece. (a)

(b)

(c)

Se dice que una función tiene un máximo relativo en x0, si f (x0)  f (x)  x  a un entorno de centro x0 y radio r:  (x0,r):

Análogamente f (x) tiene un mínimo relativo en x0, si f (x0)  f (x)  x  a  (x0,r)

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En la figura se observa que cuando f´ (x0) = 0; en x0, puede haber un máximo relativo –figura (a)o un mínimo relativo –figura (b)- o ninguna de las dos cosas -figura (c)-. Sin embargo, si una función es derivable y tiene un máximo (o mínimo) relativo en x0, es una condición necesaria que f ´ (x0) = 0. Justificación analítica: Demostramos que si f (x) es derivable y tiene un máximo relativo (o mínimo) en x0  f´ (x0) = 0.

f ( x)  f ( x0 ) 0 x  x0 x x 0 si f (x) tiene un máximo relativo en x0: f (x0) > f (x)  x  f ( x)  f ( x0 ) 0 lim  x  x0 x x 0 lim 

Como f (x) es derivable los límites laterales tienen que ser iguales:

lim

x x0

f (x )  f (x 0 ) 0 x x0

De igual forma se demuestra si en x0 hay un mínimo relativo, en este caso f (x) > f (x0) a la derecha e izquierda de x0. Decimos que una función tiene un extremo relativo cuando tiene un máximo o mínimo relativo. Es decir: dada f (x) derivable en x0: si en x0 hay un extremo relativo  f´ (x0) = 0 No se cumple la recíproca , es decir que si f´ (x0) = 0  que en x0 hay un extremo relativo. La condición suficiente para que en x0, haya extremo es que además de ser f´ (x0) = 0, la derivada cambie de signo antes y después de en x0 hay máximo en x0

hay mínimo en x0. Veamos también que una función puede tener un extremo en un punto donde la derivada no existe, por ser un punto anguloso, por ejemplo y  x : Tiene un mínimo en x = 0, y f ´ (0) no existe

Síntesis para estudiar el comportamiento de una función: 1° Se determina el dominio de f (x). 2° Se calcula f´ (x). 3° Se determina para que valores la derivada se hace 0 (condición necesaria), o para que valores la derivada no existe 1. Los puntos donde la derivada se hace cero o no existe se llaman puntos críticos. 4° Se estudia el signo de la derivada primera y se determina si hubo cambio de signo antes y después de cada punto crítico.

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Los puntos donde la derivada no existe son puntos críticos siempre que sean del dominio de la función.

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Ejemplo 1: Determinar mínimos, máximos e indicar intervalos de crecimiento de f ( x)  x 4  3x 3  x 2  4 . 1° Dom f : R. 2° f ( x)  4 x 3  9 x 2  2 x

 x1  0  1 1  3° f ´ (x) = 4 x( x  ).( x 2) = 0 cuando  x 2  (puntos críticos) 4 4   x 2  3 4° signo de f (x)

Conclusiones: en x = 0, la función tiene un mínimo. en x = 1/4, la función tiene un máximo. en x = 2, la función tiene un mínimo.

Otra forma de determinar si un punto crítico es mínimo o máximo Si la función es derivable en los puntos críticos. Se obtiene la derivada segunda y se evalúa en cada punto crítico. Si Si Si

f ´´ (x0) > 0  en x0 hay un mínimo. f ´´ (x0) < 0  en x0 hay un máximo. f ´´ (x0) = 0 no se puede obtener ninguna conclusión.

Para comprender este método, desarrollamos la fórmula de Taylor hasta grado 2 de la función en el punto crítico: f(x) = f (x0) + f ´( x0).(x- x0) +

f ´´(x 0 ) (x- x0)2 + Rn 2

haciendo pasajes de términos y sabiendo que f´ (x0) = 0 (por ser x0 un punto crítico) +++++ f(x) - f (x0) =

f ´´(x 0 ) 2

(x- x0)2 + Rn

Si en x0 hay un máximo f(x) - f (x0)  0. Entonces el segundo término debe ser no positivo también.

f ´´(x 0 ) (x- x0)2 + Rn, el primer término es el que determina el signo 2, como 2 f ´´(x 0 ) (x- x0)2 > 0 (por ser una expresión elevada al cuadrado), entonces tiene que ser  0. 2 f ´´(x 0 ) Si en cambio en x0 hay un mínimo f(x) - f (x0)  0 , entonces deberá ser  0. 2

De la expresión

2

En el polinomio de Taylor cada término es menor que el anterior R n(x), es de menor valor que todos los términos.

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Si en x0 no hay extremo, la función en x0 es creciente o decreciente, entonces f(x) - f (x0), tiene distinto signo a cada lado de x0. En la fórmula de Taylor el primer término distinto de 0 no puede ser de grado par (para que (x  x 0 )n , cambie de signo cada lado de x0). De esto podemos deducir que: Cuando queremos determinar si en un punto crítico hay un máximo o un mínimo, calculamos la derivada segunda:  Si f ´´ (x0) > 0  en x0 hay un mínimo.  Si f ´´ (x0) < 0  en x0 hay un máximo. En los casos en que la derivada segunda evaluada en el punto crítico da 0, puede ocurrir cualquier caso. Por ejemplo observar las siguientes funciones potenciales: y=x3

y´ = 3 x2 = 0 en x = 0 y´´ (0) = 0

y=x4

y´ = 4 x3 = 0 en x = 0 y´´ (0) = 0

y=  x4

y´ =  4 x3 = 0 en x = 0 y´´ (0) = 0

En los tres casos la f ´´ (0) =0 . Sin embargo en el primer caso hay un punto de inflexión, en el segundo hay un mínimo y en el tercero un máximo. Si f ´´ (x0) = 0 no se puede obtener ninguna conclusión, en este caso, obtenemos la derivada tercera., si fuera 0 obtenemos la derivada cuarta y así sucesivamente. Para que haya extremo, la primera derivada distinta de 0 deberá ser de orden par. Siendo negativa si es un máximo y positiva si es un mínimo. Por el mismo razonamiento hecho a partir de la fórmula de Taylor de grado 2. f(x)f (x0) = f ´( x0).(x- x0)+

f v (x 0 ) f v (x 0 ) f ´´´(x0 ) f ´´(x 0 ) (x- x0)2 + (x- x0)3+ (x- x0)4+ (x- x0)5 +Rn 2 3! 4! 5!

Por ejemplo: Si la primera derivada distinta de 0 es de orden 5. Vemos que hay cambio de signo a cada lado del punto crítico por lo tanto no hay extremo. Volviendo al ejemplo 1: Determinar mínimos, máximos e indicar intervalos de crecimiento de f ( x)  x 4  3x 3  x 2  4 .

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1° Dom f : R. 2° f ( x)  4x 3  9x 2  2x

 x1  0  1 1  4 x ( x  x  ).( 2) = 0 cuando  x 2  3° f ´ (x) = 4 4   x3  2 4° f´´ (x)= 12x 2  18x  2 7 1 f ´´0 2 f ´´    f ´´(2)  14 4 4 Con lo que verificamos que en x = 0 hay un mínimo; en x = ¼ hay un máximo y en x = 2 hay mínimo.

Ventajas y desventajas de cada criterio Para determinar si un punto crítico es extremo, tenemos entonces dos criterios. El primero es estudiando el signo de la derivada primera, tiene la ventaja de que sirve aun cuando se trata de un punto crítico en donde no existe la derivada, y se obtienen los intervalos de crecimiento. El criterio de la derivada segunda resulta más rápido cuando sólo nos interesa obtener el valor del máximo o mínimo por ejemplo de funciones de economía. Ejemplos: 2

a) Determinar máximos mínimos e intervalos de crecimiento de la función: f ( x)  x  1

3

.

1° Dom f : R. 1 2 2 3  2° f ( x)   x  1 3 3 3. (x  1)

(f´ no se hace 0 para ningún valor pero no existe en x=1)

analizamos el signo de f ´(x) Por lo tanto la función decrece en  ,1 y crece en 1,   , en x = 1 tiene un mínimo, no existe la derivada pero si la función, es porque hay un punto anguloso con tangente vertical.

y  x  1

2 3

ver gráfico:

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UNPSJB Facultad de Ciencias Económicas Sede Trelew b) Dada la función de ingreso I ( x )  

MATEMATICA I

1 2 1 x  3 x  , determinar para que cantidad se 2 2

produce el ingreso máximo y determinar cual es valor del ingreso máximo.

I  (x )  x  3  0  x  3. Verifico que es un máximo con el criterio de la derivada segunda. I ´´(x)  1 ; como es negativa para todo x; significa que en x=3, hay un máximo. Para la cantidad 3 se produce el ingreso máximo. El valor del ingreso máximo lo obtenemos reemplazando en la función: I (3)  

1 2 1 3  3.3   5. 2 2

Entonces el ingreso máximo es de 5.

Extremos absolutos Se define máximo absoluto de una función f (x) en x0 cuando f (x0)  f (x)  x  dominio de f (x). De la misma forma se define mínimo absoluto en x0 cuando f (x0)  f (x)  x  dominio de f (x). En general estudiamos extremos absolutos en funciones que están definidas en un intervalo cerrado. Ejemplo 1: Encontrar, si existen, los máximos y mínimos absolutos de f ( x)  1  x2 Estudiamos el dominio de la función: 1 x 2  0  x 2  1  x  1   1  x  1 Dom f: x   1,1 .

f ( x) 

 0 en x  0  1 x2 no existe x   1 y en x  1 x

signo de f (x)

Se ve que en x = 1, y en x =1 hay mínimo. f (1) = f (1) = 0 En x = 0, hay un máximo, y f (0 ) = 1 es un máximo absoluto porque es el máximo valor que toma la función en todo el dominio. Como los dos mínimos tienen el mismo valor son los dos mínimos absolutos.

Ejemplo 2: Encontrar, si existen, los máximos y mínimos absolutos de f ( x)  3x 2 en x  [-2,1]. El dominio ya está dado. f ( x)  6 x  0 en x  0 (observar que el punto crítico pertenece al dominio) signo de f x  En x=0 hay un mínimo y f (0) = 0 En x= -2 hay un máximo por ser el comienzo de un intervalo decreciente, y f (-2) = 12 En x= 1 hay un máximo por ser el final de un intervalo creciente, y f (1) = 3. Entonces en x=0 hay un mínimo absoluto y en x= -2 hay un máximo absoluto.

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MATEMATICA I

Intervalos de concavidad Información que se obtiene de la derivada segunda Considerando a f ´´ (x) la derivada primera de f´ . Se deduce que si f ´´ (x) >0 , f´ es una función creciente. Ahora pensando en la función primitiva f (x), deducimos que si f´ es una func...