Exercícios - Derivadas Direcionais e Gradiente PDF

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Lista de exercícios sobre Derivadas Direcionais e Gradiente ...

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Exercícios –DERIVADAS DIRECIONAIS E GRADIENTE Nos exercícios de 1 a 5, encontre a derivada direcional da função dada na direção de 𝑣 no ponto 𝑃. 1 1. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 − 4𝑥𝑦 + 5𝑦 , 𝑣 = (𝑖 + √3 𝑗) , 𝑃(1,2) 2 2. 3. 4. 5.

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 − 𝑦2 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 𝑥 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 𝑔(𝑥, 𝑦) =

√𝑥2

+

√2 𝑣 = 2 (𝑖 + 𝑗) , 𝑣 =𝑖+𝑗 , 𝑣 = −𝑗

,

𝑦2

,

𝑃(4,3) , 𝑃(2,3) , 𝑃(1,1)

,

𝑣 = 3𝑖 − 4𝑗

,

𝑃(3,4)

Nos exercícios de 6 a 8, determine o gradiente da função no ponto indicado. 6. 𝑧(𝑥, 𝑦) = 4𝑥2 − 8𝑦 , 𝑃(1,3) 7. 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 2 + 𝑥𝑦)3 , 𝑃(−1, −1) 8.

1 2

−

ℎ(𝑥, 𝑦) = (𝑥2 + 𝑦 2 )

,

𝑃(3,4)

𝑦

𝜃=−

,

𝑥+𝑦

𝜋

6

Nos exercícios 11 e 14, determine 𝐷𝑢 𝑓 em 𝑃. 3 2

11. 𝑓(𝑥, 𝑦) = (1 + 𝑥𝑦) 12. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 2𝑥𝑦

2. 3. 4. 5.

,

𝑃(3,1)

,

𝑢

,

𝑃(4,0)

,

𝑢

13. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 3𝑦 2 , 𝑃(2,1) , 14. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 − 3𝑥𝑦 + 4𝑦2 , 𝑃(−2,0) ,

√2 √2 =2 𝑖+ 2 𝑗 4 3 = −5 𝑖 + 5 𝑗

𝑢 = 4𝑖 − 3𝑗 𝑢 = 𝑖 + 2𝑗

√2 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 − 𝑦2 , 𝑣 = 2 (𝑖 + 𝑗) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 , 𝑣 =𝑖+𝑗 𝑥 , 𝑣 = −𝑗 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦

𝑔(𝑥, 𝑦) =

√𝑥2

+

𝑦2

,

𝑃(4,3) 𝑃(2,3) 𝑃(1,1)

,

𝑃(3,4)

, ,

𝑣 = 3𝑖 − 4𝑗

,

Nos exercícios de 6 a 8, determine o gradiente da função no ponto indicado. 6. 𝑧(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 2 − 8𝑦 , 𝑃(1,3) 7. 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 2 + 𝑥𝑦)3 , 𝑃(−1, −1) 8.

Nos exercícios 9 e 10, encontre a derivada direcional da função dada na direção de 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 + 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑗. 𝜋 9. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦2 , 𝜃 =4 10. 𝑓(𝑥, 𝑦) =

Exercícios - DERIVADAS DIRECIONAIS E GRADIENTE Nos exercícios de 1 a 5, encontre a derivada direcional da função dada na direção de 𝑣 no ponto 𝑃. 1 1. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 − 4𝑥𝑦 + 5𝑦 ,𝑣 = (𝑖 + √3 𝑗) , 𝑃(1,2) 2

−

ℎ(𝑥, 𝑦) = (𝑥2 + 𝑦2 )

1 2

,

𝑃(3,4)

Nos exercícios 9 e 10, encontre a derivada direcional da função dada na direção de 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 + 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑗. 𝜋 9. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦2 , 𝜃 =4 10. 𝑓(𝑥, 𝑦) =

𝑦

𝜃=−

,

𝑥+𝑦

𝜋

6

Nos exercícios 11 e 14, determine 𝐷𝑢 𝑓 em 𝑃. 3

11. 𝑓(𝑥, 𝑦) = (1 + 𝑥𝑦)2 ,

12. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 2𝑥𝑦

,

√2 √2 𝑖+ 𝑗 2 2 4 3 = −5 𝑖 + 5 𝑗

𝑃(3,1)

,

𝑢=

𝑃(4,0)

,

𝑢

13. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 3𝑦 2 , 𝑃(2,1) , 14. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 − 3𝑥𝑦 + 4𝑦2 , 𝑃(−2,0) ,

𝑢 = 4𝑖 − 3𝑗 𝑢 = 𝑖 + 2𝑗

Nos exercícios 15 e 16, encontre a derivada direcional da função dada no ponto 𝑃 na direção de 𝑄. 15. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 4𝑦2 , 𝑃(3,1) , 𝑄(1, −1) 𝜋 16. 𝑓(𝑥, 𝑦) = cos(𝑥 + 𝑦) , 𝑃(0. 𝜋) , 𝑄 ( , 0)

Nos exercícios 15 e 16, encontre a função dada no ponto 𝑃 na direção 15. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 4𝑦2 , 16. 𝑓(𝑥, 𝑦) = cos(𝑥 + 𝑦) ,

Nos exercícios 17 e 18, encontre o gradiente da função dada e o valor máximo da derivada no ponto indicado. 17. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 − 3𝑥𝑦 + 𝑦2 , 𝑃(4,2) 18. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦√𝑥 , 𝑃(4,2) 𝑦 𝑥 Dada a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3 − 3 − 2, faça o que é solicitado nos exercícios de 19 à 24. 19. Esboce o gráfico no primeiro octante e localize o ponto (3,2,1). 20. Encontre 𝐷𝑢 𝑓(3,2) onde 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 + 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑗 com: 2𝜋 𝜋 b) 𝜃 = a) 𝜃 = 4

Nos exercícios 17 e 18, encontre o gradiente da função dada e o valor máximo da derivada no ponto indicado. 17. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 − 3𝑥𝑦 + 𝑦2 , 𝑃(4,2) 18. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦√𝑥 , 𝑃(4,2) 𝑥 𝑦 Dada a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3 − 3 − 2, faça o que é solicitado nos exercícios de 19 à 24. 19. Esboce o gráfico no primeiro octante e localize o ponto (3,2,1). 20. Encontre 𝐷𝑢 𝑓(3,2) onde 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 + 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑗 com: 2𝜋 𝜋 b) 𝜃 = b) 𝜃 = 4

22. Encontre ∇𝑓(𝑥, 𝑦). 23. Encontre o valor máximo da derivada direcional em (3,2). 24. Encontre um vetor unitário 𝑢 ortogonal à ∇𝑓(3,2) e calcule 𝐷𝑢 𝑓(3,2).

22. Encontre ∇𝑓(𝑥, 𝑦). 23. Encontre o valor máximo da derivada direcional em (3,2). 24. Encontre um vetor unitário 𝑢 ortogonal à ∇𝑓(3,2) e calcule 𝐷𝑢 𝑓(3,2).

Nos exercícios 25 e 26, encontre um vetor normal à curva de nível 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐 em 𝑃. 25. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦2 , com 𝑐 = 25 e 𝑃(3,4) 26. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 6 − 2𝑥 − 3𝑦 , com 𝑐 = 6 e 𝑃(0,0)

Nos exercícios 25 e 26, encontre um vetor normal à curva de nível 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐 em 𝑃. 25. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦2 , com 𝑐 = 25 e 𝑃(3,4) 26. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 6 − 2𝑥 − 3𝑦 , com 𝑐 = 6 e 𝑃(0,0)

27. A temperatura no ponto (𝑥, 𝑦) de uma placa 𝑥 metálica é dada por 𝑇 = 2 2 . Encontre a 𝑥 +𝑦

27. A temperatura no ponto (𝑥, 𝑦) de uma placa 𝑥 metálica é dada por 𝑇 = 2 2 . Encontre a

2

4𝜋

3

𝜋

d) 𝜃 = − c) 𝜃= 3 6 21. Encontre 𝐷𝑢 𝑓(3,2) para os vetores dados: a) 𝑢 = 𝑖 + 𝑗 b) 𝑢 = −3𝑖 − 4𝑗 c) 𝑢 é o vetor de (1,2) a (−2,6) d) 𝑢 é o vetor de (3,2) a (4,5)

direção de crescimento máximo da temperatura no ponto (3,4).

derivada direcional da de 𝑄. 𝑃(3,1) , 𝑄(1, −1) 𝜋 𝑃(0. 𝜋) , 𝑄 ( , 0) 2

3

4𝜋

𝜋

d) 𝜃 = − c) 𝜃= 3 6 21. Encontre 𝐷𝑢 𝑓(3,2) para os vetores dados: e) 𝑢 = 𝑖 + 𝑗 f) 𝑢 = −3𝑖 − 4𝑗 g) 𝑢 é o vetor de (1,2) a (−2,6) h) 𝑢 é o vetor de (3,2) a (4,5)

𝑥 +𝑦

direção de crescimento temperatura no ponto (3,4)

máximo

da...