Operaciones con números complejos PDF

Preview

Summary

Operaciones con números complejos...

Description

Operaciones con números complejos

Operaciones con números complejos Andrés Martínez Fernández ¿Qué vamos a ver durante este módulo? 1. Sumas y restas de números complejos 2. Productos y divisiones con complejos 3. Las potencias y las raíces de números complejos.

Tabla de contenidos Introducción .................................................................................................................................... 2 Suma de números complejos. ....................................................................................................... 2 Definición .......................................................................................................................................................................2 Ejemplo 1 ........................................................................................................................................................................2 Ejemplo I1 .......................................................................................................................................................................2 Ejemplo I1I......................................................................................................................................................................3 Resta de números complejos......................................................................................................... 4 Definición .......................................................................................................................................................................4 Ejemplo 1V .....................................................................................................................................................................4 Ejemplo V .......................................................................................................................................................................4 Ejemplo V1 .....................................................................................................................................................................5 Multiplicaciones con números complejos. ................................................................................... 6 Definición .......................................................................................................................................................................6 Ejemplo VII .....................................................................................................................................................................6 Ejemplo VIII ....................................................................................................................................................................7 División de números complejos. ................................................................................................... 8 Definición .......................................................................................................................................................................8 Ejemplo IX ......................................................................................................................................................................8 Ejemplo X .......................................................................................................................................................................8 Potencias con complejos. ............................................................................................................... 9 Definición .......................................................................................................................................................................9 Ejemplo XI ......................................................................................................................................................................9 Raíces de números complejos. .................................................................................................... 10 Definición .................................................................................................................................................................... 10 Ejemplo XII.................................................................................................................................................................. 10

Introducción En la lección anterior se explicó el origen de los números complejos y se trabajó expresamente su representación gráfica. Es muy importante en dicha representación identificar tanto la parte real y la parte imaginaria de un número complejo, que nos lleva a su expresión en forma rectangular o binómica, como el módulo y la fase del mismo, que nos permite expresarlo en forma polar. Saber pasar de una representación a otra, de binómica a polar y viceversa es fundamental para poder entender todo lo que vamos a estudiar en esta nueva lección. Es importante manejar con agilidad la fórmula de Euler y no dudar al representar los números complejos de módulo uno, en la circunferencia unidad. Utilizaremos también los conceptos ya vistos de conjugado de un número complejo. Y dicho esto iniciamos esta lección que trata sobre las operaciones con complejos. Antes de empezar, un consejo básico. Si vas a sumar o restar números complejos utiliza siempre su representación binómica, si vas a hacer potencias o raíces utiliza siempre la representación polar, pero si vas a hacer productos o divisiones puedes elegir, suele resultar más fácil utilizar la representación polar, pero si no hay muchas operaciones anidadas no es difícil tampoco hacerlo con la forma binómica.

Suma de números complejos. Definición •

Sean los números 𝑧1 = 𝑎1 + 𝑗𝑏1 y 𝑧2 = 𝑎2 + 𝑗𝑏2 . La suma de estos dos números complejos es otro número complejo llamado 𝑧 cuya parte real es la suma de las partes reales de aquellos que se suman, y cuya parte imaginaria es la suma de sus partes imaginarias. Es decir: 𝑧 = 𝑧1 + 𝑧2 = (𝑎1 + 𝑎2 ) + 𝑗(𝑏1 + 𝑏2 )

Ejemplo 1 Si tenemos 𝑧1 = (2 + 𝑗3) y 𝑧2 = (1 + 𝑗4), el complejo 𝑧 fruto de la suma de 𝑧1 y 𝑧2 es: 𝑧 = 𝑧1 + 𝑧2 = (2 + 1) + 𝑗(3 + 4) = 3 + 𝑗7

Podemos agregar otro ejemplo.

Ejemplo I1 Si tenemos 𝑧1 = (−1 + 𝑗2) y 𝑧2 = (1 − 𝑗4), el complejo 𝑧 fruto de la suma de 𝑧1 y 𝑧2 es: 𝑧 = 𝑧1 + 𝑧2 = (−1 + 1) + 𝑗 (2 − 4) = −2𝑗

2

Si queremos tener una visión gráfica de la suma de complejos, podemos verla como una suma de vectores. Si representamos la parte real en el eje de abscisas y la parte imaginaria en el eje de ordenadas: Imaginary Axis

z2 z sum

z1

z2 Real Axis

Figura 1.- Representación gráfica de la suma de dos números complejos.

Si alguno de los números complejos viene en forma polar, antes de sumar debemos expresarlo en forma binómica.

Ejemplo I1I 1

Si tenemos 𝑧1 = ( 2 𝑒 𝑗

𝜋⁄ 3

) y 𝑧2 = (2 + 𝑗 ), el complejo 𝑧 fruto de la suma de 𝑧1 y 𝑧2 es:

1

𝜋

1

𝜋

1

𝑧 = 𝑧1 + 𝑧2 = ( 2 𝑐𝑜𝑠 3 + 𝑗 2 𝑠𝑒𝑛 3 ) + 𝑗(2 + 𝑗 ) = ( 4 + 𝑗

√3 ) 4

9

+ (2 + 𝑗 ) = 4 + 𝑗 (1 +

√3 ) 4

3

Resta de números complejos. Definición •

Sean los números 𝑧1 = 𝑎1 + 𝑗𝑏1 y 𝑧2 = 𝑎2 + 𝑗𝑏2 . La resta de estos dos números complejos es otro número complejo llamado 𝑧 cuya parte real es la resta de las partes reales de aquellos que se restan, y cuya parte imaginaria es la resta de sus partes imaginarias. Es decir: 𝑧 = 𝑧1 − 𝑧2 = (𝑎1 − 𝑎2 ) + 𝑗(𝑏1 − 𝑏2 )

Ejemplo 1V Si tenemos 𝑧1 = (2 + 𝑗3) y 𝑧2 = (1 + 𝑗4), el complejo 𝑧 fruto de la resta de 𝑧1 y 𝑧2 es: 𝑧 = 𝑧1 − 𝑧2 = (2 − 1) + 𝑗(3 − 4) = 1 − 𝑗

Podemos agregar otro ejemplo.

Ejemplo V Si tenemos 𝑧1 = (−1 + 𝑗2) y 𝑧2 = (1 − 𝑗4), el complejo 𝑧 fruto de la resta de 𝑧1 y 𝑧2 es: 𝑧 = 𝑧1 − 𝑧2 = (−1 − 1) + 𝑗 (2 + 4) = −2 + 𝑗6

Si queremos tener una visión gráfica de la resta de complejos, podemos verla como una suma del opuesto de 𝑧2 al complejo 𝑧1 .

4

Imaginary Axis

z1

z 2 zdiff

z2 Real Axis

z 2

Figura 2.- Representación gráfica de la resta de dos números complejos.

Si alguno de los números complejos viene en forma polar, antes de restar debemos expresarlo en forma binómica.

Ejemplo V1 1

Si tenemos 𝑧1 = ( 2 𝑒 𝑗

𝜋⁄ 3 1

) y 𝑧2 = (2 + 𝑗 ), el complejo 𝑧 fruto de la resta de 𝑧1 y 𝑧2 es: 𝜋

1

𝜋

1

𝑧 = 𝑧1 + 𝑧2 = ( 2 𝑐𝑜𝑠 3 + 𝑗 2 𝑠𝑒𝑛 ) − 𝑗(2 + 𝑗 ) = ( + 𝑗 3 4

√3 ) 4

7

− (2 + 𝑗 ) = − 4 + 𝑗 (

√3 4

− 1)

5

Multiplicaciones con números complejos. Definición •

Sean los números 𝑧1 = 𝑎1 + 𝑗𝑏1 = 𝜌1· 𝑒 𝜃1 y 𝑧2 = 𝑎 2 + 𝑗𝑏2 = 𝜌2· 𝑒 𝜃2 . El producto de estos dos números complejos es otro número complejo llamado 𝑧 cuyo módulo es el producto de los módulos de aquellos que se multiplican, y cuya fase es la suma de sus fases. Es decir: 𝑧 = 𝑧1 · 𝑧2 = (𝜌1 · 𝜌2 ) · 𝑒 𝑗(𝜃1 +𝜃2 )

Ya comentamos que el producto podemos hacerlo también utilizando la representación rectangular o binómica. En ese caso se realiza como si multiplicáramos binomios, sin olvidar nunca que 𝑗 2 = −1. 𝑧 = 𝑧1 · 𝑧2 = (𝑎1 + 𝑗𝑏1 ) · (𝑎2 + 𝑗𝑏2 ) = 𝑎1 · 𝑎2 + 𝑎1 · 𝑗𝑏2 + 𝑗𝑏1 · 𝑎2 + 𝑗 2 𝑏1 · 𝑏2 = (𝑎1 · 𝑎2 − 𝑏1 · 𝑏2 ) + 𝑗(𝑎1 · 𝑏2 + 𝑏1 𝑎2 )

Ejemplo VII 1

Si tenemos 𝑧1 = ( 2 𝑒 𝑗

𝜋⁄ 3

𝜋⁄ 4

) y 𝑧2 = (3𝑒 −𝑗

3

), el complejo 𝑧 fruto del producto de 𝑧1 y 𝑧2 es: 𝜋

𝜋

𝑧 = 𝑧1 · 𝑧2 = · 𝑒 𝑗( 3 − 4 ) = · 𝑒 𝑗( 2 2 3

4𝜋−3𝜋 12

)

3

= 2 · 𝑒𝑗

𝜋⁄ 12

Si queremos tener una visión gráfica del producto de dos números complejos podemos verla en la siguiente figura.

6

Figura 3.- Representación gráfica de la multiplicación de dos números complejos

Vamos a aportar un ejemplo más, hecho utilizando la representación binómica.

Ejemplo VIII Si tenemos 𝑧1 = (2 + 𝑗3) y 𝑧2 = (1 + 𝑗4), el complejo 𝑧 fruto de la multiplicación de 𝑧1 y 𝑧2 es: 𝑧 = 𝑧1 · 𝑧2 = (2 + 𝑗3) · (1 + 𝑗4) = 2 + 𝑗8 + 𝑗3 − 12 = −10 + 𝑗11

7

División de números complejos. Definición •

Sean los números 𝑧1 = 𝑎1 + 𝑗𝑏1 = 𝜌1· 𝑒 𝜃1 y 𝑧2 = 𝑎2 + 𝑗𝑏2 = 𝜌2· 𝑒 𝜃2 . La división de estos dos números complejos es otro número complejo llamado 𝑧 cuyo módulo es el cociente de los módulos de aquellos que se dividen, y cuya fase es la resta de sus fases. Es decir: 𝑧 = 𝑧1 /𝑧2 = (𝜌1 /𝜌2 ) · 𝑒 𝑗(𝜃1 −𝜃2 )

También la división se puede hacer utilizando la representación binómica. En ese caso el truco está en multiplicar y dividir por el conjugado del denominador, lo que siempre hará que el nuevo denominador sea siempre un número real (concretamente el módulo al cuadrado del denominador). 𝑧=

𝑧1 (𝑎1 + 𝑗𝑏1 ) 𝑎1 + 𝑗𝑏1 𝑎2 − 𝑗𝑏2 (𝑎1 𝑎2 + 𝑏1 𝑏2 ) + 𝑗(𝑏1 𝑎2 − 𝑎1 𝑏2 ) = = = · (𝑎2 𝑎2 + 𝑏2 · 𝑏2 ) 𝑧2 (𝑎2 + 𝑗𝑏2 ) 𝑎2 + 𝑗𝑏2 𝑎2 − 𝑗𝑏2

Ejemplo IX 1

Si tenemos 𝑧1 = ( 2 𝑒 𝑗

𝜋⁄ 3

𝜋⁄ 4

) y 𝑧2 = (3𝑒 −𝑗

1

), el complejo 𝑧 fruto de la división de 𝑧1 y 𝑧2 es: 𝜋

𝑧 = 𝑧1 /𝑧2 = · 𝑒 𝑗( 3 6

𝜋 4

+ )

1

4𝜋+3𝜋 12

= · 𝑒 𝑗( 6

)

1

= 6 · 𝑒𝑗

7𝜋 ⁄ 12

Vamos a aportar un ejemplo más, hecho utilizando la representación binómica.

Ejemplo X Si tenemos 𝑧1 = (2 + 𝑗3) y 𝑧2 = (1 + 𝑗4), el complejo 𝑧 fruto de la división de 𝑧1 y 𝑧2 es: 𝑧=

𝑧1

𝑧2

=

(2+𝑗3) (1+𝑗4)

(2+𝑗3)

= (1+𝑗4) ·

(1−𝑗4) (1−𝑗4)

=

2−𝑗8+𝑗3+12 1+16

=

14−𝑗5 17

=

14

17

−𝑗

5

17

8

Potencias con complejos. Definición •

Sea el número complejo 𝑧1 = 𝑎1 + 𝑗𝑏1 = 𝜌1· 𝑒 𝜃1 . Elevar el complejo 𝑧1 a un exponente entero 𝑁 es otro número complejo llamado 𝑧 cuyo módulo es la potencia N-ésima del módulo de 𝑧1 y cuya fase es el producto de la fase de 𝑧1 con 𝑁. Es decir: 𝑧 = (𝑧1 )𝑁 = (𝜌1 )𝑁 · 𝑒 𝑗𝑁𝜃1

Ejemplo XI 1

Si tenemos 𝑧1 = ( 𝑒 𝑗 2

𝜋⁄ 3

), el complejo 𝑧 fruto de la operación (𝑧1 )3 es: 1 3

𝜋

1

𝑗3· 𝑧 = (𝑧1 )3 = ( 2) · 𝑒 3 = 8 · 𝑒 𝑗𝜋 = −

1 8

9

Raíces de números complejos. Definición •

Sea el número complejo 𝑧1 = 𝑎1 + 𝑗𝑏1 = 𝜌1· 𝑒 𝜃1 . Calcular la raíz N-ésima del complejo 𝑧1 da lugar a 𝑁 números complejos que tendrán todos el mismo módulo (el que proviene de hacer la raíz N-ésima del módulo de 𝑧1 ) pero que tendrán fases diferentes, provenientes de dividir la fase de 𝑧1 expresada como 𝜃1 + 2𝜋𝑛 con 𝑛 = 0, 1,2 … (𝑁 − 1) entre 𝑁. Es decir: 𝑧 = 𝑁√𝑧1 = 𝑁√𝜌1 · 𝑒 𝑗(

𝜃1 2𝜋𝑛 + 𝑁 ) 𝑁

con 𝑛 = 0,1,2 … (𝑁 − 1)

Ejemplo XII 1

Si tenemos 𝑧1 = ( 8 𝑒 𝑗

𝜋⁄ 3

3 ), los 3 complejos fruto de la operación √ 𝑧1 son:

𝜋 3 +2𝜋 ) 3

1 𝑗( 1 𝑗𝜋 𝑠1 = · 𝑒 9 ; 𝑠2 = · 𝑒 2 2

𝜋 3 +4𝜋 ) 3

7𝜋 1 1 ( = · 𝑒 𝑗 9 ; 𝑠3 = · 𝑒 2 2

=

1 𝑗13𝜋 ·𝑒 9 2

10...