Numeros Complejos PDF

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Tarea de matemáticas sobre números complejos Ana Sofía González Cibercolegio...

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NÚMEROS COMPLEJOS Los números complejos se introducen para dar sentido a la raíz cuadrada de los números negativos. Así se abre la puerta a un curioso al sorprendente mundo en el que todas las operaciones (salvo dividir entre 0) son posibles. Los números complejos permiten representar situaciones de la realidad cuya descripción y tratamiento es posible gracias a las propiedades de estos números. La importancia de los números complejos está marcada por sus múltiples aplicaciones en diversas Áreas (Matemáticas, Física, Ingeniería, Tecnología, etc.). Aplicaciones de los números complejos Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables. En una expresión del tipo z = r eiφ podemos pensar en r como la amplitud y en φ como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia sinusoidal como la parte real de una función de variable compleja de la forma: f(t) = z eiωt donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas. Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente. En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria. Estas teorías son publicadas por primera vez por Albert Einstein en 1905 y describe la física del movimiento en ausencia de campos gravitacionales. En ecuaciones diferenciales, cuando se estudian las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, es habitual encontrar primero las raíces (en general complejas) del polinomio característico, lo que permite expresar la solución general del sistema en términos de funciones de base de la forma:

En el diseño de un ala de avión es vital tener una sección cuya forma permita que el aire fluya sin turbulencias. Esto solamente se logra si se utilizan las formas aerodinámicas de Jouwkoski. Para el estudio de fractales que a su vez tienen numerosas aplicaciones en otros campos. Los fractales son diseños artísticos de infinita complejidad. En su versión original, se los define a través de cálculos con números complejos en el plano.

El concepto de señal juega un papel importante en áreas diversas de la ciencia y de la tecnología como las comunicaciones, la aeronáutica y astronáutica, el diseño de circuitos, la acústica, la sismología, la ingeniería biomédica, los sistemas de generación y distribución de energía, el control de procesos químicos y el procesamiento de voz. En el lenguaje para describir las señales y en las herramientas para analizarlas intervienen los números complejos. Como ejemplos de algunas señales sinusoidales podemos citar: Las magnitudes eléctricas que caracterizan a cada elemento de un circuito de corriente alterna (intensidad, diferencia de potencial, etc.) se expresan utilizando la notación exponencial de los números complejos. De este modo, pueden definirse sus amplitudes y sus desfases relativos; facilitando mucho el cálculo de las propiedades del circuito; que consiste en realizar las operaciones algebraicas básicas con los vectores que representan dichas magnitudes. En el movimiento ondulatorio, la amplitud de una onda armónica en función del tiempo, en algunos casos tiene mucho interés representarla en notación compleja. Por ejemplo, cuando se estudia la interferencia de ondas producidas por dos fuentes sincrónicas. La onda que resulta es la composición de dos movimientos armónicos simples, de la misma dirección y frecuencia. La amplitud de dicha onda se obtiene sumando los vectores que representan las respectivas ondas que interfieren. El análisis de Fourier nos permite representar cualquier función periódica, con la exactitud que deseemos, mediante una suma de funciones sinusoidales, denominadas armónicos. Sustituyendo estas funciones seno y coseno por las expresiones exponenciales equivalentes, utilizando la fórmula de Euler, se obtiene la forma compleja de la serie de Fourier de f(t), así: f(t)= ∑ n=−∞ +∞ C n ⋅ e i n  ω 0 t. La forma concisa de esta serie compleja es la razón fundamental por la cual se usa. El primer armónico de la serie corresponde al valor n = 1 y posee la frecuencia más baja, ω 0 = 2 π T , siendo T el período de la función f(t). Los restantes armónicos poseen frecuencias múltiplos de la frecuencia fundamental, ω n =n⋅ ω 0 , y su amplitud es el módulo del coeficiente complejo Cn, es decir |   C n  | . En la investigación con instrumentos musicales es muy frecuente construir una onda periódica arbitraria a partir de un número finito de sus armónicos componentes, operación que se denomina síntesis. Si P(t) es la variación de la presión del aire producida por un diapasón, un clarinete y una corneta tocando la misma nota musical, todas las ondas tienen el mismo período porque corresponden a la misma nota musical, pero las intensidades relativas de los armónicos que intervienen no son las mismas, sino que son características para cada instrumento. La aplicación del análisis de Fourier aporta la información detallada de los armónicos de cada instrumento, que permite diseñar o sintetizar las ondas periódicas deseadas.

El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya matemática utiliza Espacios de Hilbert de dimensión infinita sobre C. PROBLEMA DE APLICACIÒN EN CIRCUITOS ELECTRICOS: La base matemática de los Circuitos Electricos son los números complejos. Cualquier cosa que necesite un circuito eléctrico, va a necesitar saber de números complejos. Por ejemplo, amplificadores, filtros, motores, generadores de energía elécrica, líneas de transmisión de energía eléctrica. Circuitos de medición y control, y todo eso se aplica en varias partes: en medicina se utiliza para la espectrometría, en transmisión y recepción de señales electromagnéticas (radio, TV, celular, teléfono, etc).

Problema: Calcular la tensión "u" en el siguiente circuito:

¿Que pasaría si un ingeniero o un técnico en la electrónica no sabe aplicar los números complejos en su trabajo de electrónica? La formación de ingenieros tiene por objetivos crear profesionales que posean: •

Conocimientos basados en física y matemáticas que fundamentan su especialidad así como los de la práctica correcta de la misma; de instrumentación y nuevas tecnologías; de relaciones industriales y fundamentos de dirección empresarial.

•

Capacidades para manejar información técnica y estadística; para desarrollar y utilizar modelos que simulen el comportamiento del mundo físico; para aplicar conocimientos en la resolución de problemas técnicos reales; para trabajar en proyectos multidisciplinares; para combinar calidad con sencillez en la producción y el mantenimiento de productos y servicios; para comunicarse con claridad; para emprender acciones o proyectos.

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Formación ética: que les permita plena conciencia y respeto por lo que constituye su profesión y de su responsabilidad hacia la sociedad y el ambiente; basada en los valores intelectuales, estéticos, afectivos, gregarios (sociabilidad), físico-biológicos, económicos y materiales.

Los retos y desafíos actualmente han cambiado, el desarrollo tecnológico exige que los ingenieros sean competitivos en el ámbito nacional e internacional para hacer frente al proceso de globalización, por lo que se hace necesario el replantear el porqué de las matemáticas, sus contenidos y la metodología de enseñanza, de modo que los ingenieros tengan la capacidad para ser creativos, innovadores y razonar en torno a la solución de problemas del área de desarrollo que les compete. Un ingeniero que no sepa aplicar los números complejos en su trabajo de electronica posiblemente no sería contratado y se vería en inferioridad de condiciones ante otros

colegas que si manejen el concepto matemático y las operaciones con números complejos. Sus calculos no serían confiables y los circuitos o equipos que pretenda desarrollar no funcionaran o lo haran inadecuadamente.

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