Apuntes, tema 10 - Numeros reales y complejos PDF
| Title | Apuntes, tema 10 - Numeros reales y complejos |
|---|---|
| Author | desdentado30 . |
| Course | Matemáticas I |
| Institution | Universidad de Zaragoza |
| Pages | 6 |
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Numeros reales y complejos...
Description
Números reales y complejos. Mª Ángeles Velamazán TEMA0
LOSNÚMEROSREALESYCOMPLEJOS LOSNÚMEROSREALES Launióndelosracionalesylosirracionalesformaelconjuntodelosnúmerosreales. Elconjuntodelosrealesesunconjuntototalmenteordenado.Teniendoesoencuenta, sepuederepresentargráficamenteelconjuntodelosrealesconunarecta,enlaquecada puntorepresentaunnúmero. Podemos considerar a los números reales como el conjunto de todos los límites de sucesionescuyostérminossonnúmerosracionales. LOSNÚMEROSCOMPLEJOS El conjunto de los números complejos se define como el conjunto \ 2 con la suma y el productocomplejodefinidodelasiguienteforma: AdicióndeComplejos:(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) MultiplicacióndeComplejos:(a,b)*(c,d)=(ac‐bd,ad+bc) 2
Esdecir, ^ =( \ ,+,*). Formabinómica Hasta ahora hemos considerado los números complejos expresados en forma de par ordenadovamosaverotraformadeexpresarunnúmerocomplejo. Llamemosunidadimaginariai=(0,1).Esfácilverquei2=i*i=(0,1)*(0,1)=(−1,0)=−1. Porlotanto:(a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(b,0)*(0,1)=a+bi Laadiciónes:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i ylamultiplicación:(a+bi)(c+di)=ac+adi+bic+bdi2=ac−bd+(ad+bc)i. Conestanuevanotación,podemosescribir ^ ={a+bi/a,b ∈\ } Dadounnúmerocomplejoz = a+bisellamaparterealdez alvalorrealRe(z) = a, yparte imaginariaal valorreal Im(z)= b . Porlo tanto, z = Re(z)+ i Im(z) Si la parte realde un número complejo es cero se le llama imaginario puro y si es cero la parte imaginaria se tratadeunnúmeroreal.
Números reales y complejos. Mª Ángeles Velamazán
Representacióngráficadenúmeroscomplejos Fijado en el plano un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales, los números complejospuedenrepresentarsemediantepuntosdeeseplano,haciendocorrespondera cadanúmerocomplejo,unpuntoenelplano. ElejeXlollamaremosEjeRealysobreélserepresentalaparterealdelnúmero. AlejeYlollamaremosEjeImaginarioysobreélrepresentaremoslaparteimaginaria.
Acadanúmerocomplejolecorrespondeunvectoryacadavectorlecorrespondeuncomplejo Conjugadodeunnúmerocomplejo Dadoelnúmerocomplejo z =x+yi,suconjugadoeselnúmerocomplejo z =x−yi
Números reales y complejos. Mª Ángeles Velamazán Móduloyargumento Dado:z = x+yi,llamamosmódulodez(ylorepresentamos z ) alnúmerorealpositivo: + x 2 + y2
Elargumentodeunnúmerocomplejosedefinecomolamedidadelángulo θ enradianes formadoporelsemiejepositivode lasx yelvectorquerepresenta alcomplejo.Esdecir, el argumento del número complejo no nulo z = x + yi es cualquier número
θ que
verifique:z=x+yi= z cos θ +i z sen θ = z (cos θ +isen θ ) Comolasfunciones senoycosenoson periódicasde periodo2 π ,el argumentode zestá definidosalvomúltiplosde2 π .Conotraspalabras,hayunainfinidaddeargumentosde z, perodoscualesquieradeellos difiereenunmúltiplode 2 π . Siθ ∈ [0, 2π ) sediceque el argumento es principal. Para poder obtener θ de un número complejo dado en forma binómica, tenemos que tener en cuenta el cuadrante en el que se representa dicho número.
⎛y⎞ Dado:z=x+yisuargumentoes θ = arctag ⎜ ⎟ siendoelsignodeθ elmismoqueeldey ⎝x⎠ Entonces( ρ , θ )sonlascoordenadaspolaresdez,donde ρ = z y θ = arg( z ) .Así:z= ρ θ . Formatrigonométricadeunnúmerocomplejo Vamos a ver ahora una nueva forma de representar un número complejo: su forma trigonométrica. Si tenemos: z = x + yi su representación permite escribir x= ρ cos θ , y =
ρ sen θ .Reemplazandoporlossegundosmiembrosdexeyenlaformabinómica: z=x+yi ⇒ z= ρ (cos θ +isen θ )
Números reales y complejos. Mª Ángeles Velamazán Operacionesenformatrigonométrica
Interpretacióngeométricadelproducto Multiplicarporunnúmerocomplejodemódulo1
Números reales y complejos. Mª Ángeles Velamazán
Potencias:FórmuladeMoivre
Funciónexponencial.Formaexponencial. Utilizando la fórmula de Euler ei θ = (cos θ + isenθ ) siendo θ ∈ \ se define la función exponencialdez=x+iycomo e z = e x +iy = e x (cosy+iseny) A partir de la forma trigonométrica podemos encontrar la forma exponencial de un númerocomplejo,yaquez = ρ (cos θ +isen θ )= ρ eiθ , siendo ρ = z , θ = arg( z )
Números reales y complejos. Mª Ángeles Velamazán Raícesenésimas
Observa que las raíces enésimas de un complejo de módulo
ρ están distribuidas
regularmenteenunacircunferenciaderadio n ρ . TeoremaFundamentaldelAlgebra Unpolinomio p(z)= a0 + a1 z + a2 z2 + a3 z3 + ... + an z forma p(z)= an ( z − z1) ( z − z2 ) ...( z − zr ) delaraíz zi ). k1
k2
kr
n
con a i ∈ ^ sepuedeescribirdela
con k1 + k 2 + ... +k r = n
( ki eslamultiplicidad
Observación: Este teorema se expresa a menudo diciendo que un polinomio con coeficientesen ^ degrado n enunaindeterminadatienen raícescomplejas.Además,si p(z)esunpolinomio contodosloscoeficientesrealesy z0 esunaraízcompleja,también loessuconjugada....
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