Capitulo 2 Numeros Reales PDF

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Descripción de los números reales para clases con los estudiantes...

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Capítulo 2 Números Reales Introducción La idea de número aparece en la historia del hombre ligada a la necesidad de contar objetos, animales, etc. Para lograr este objetivo, usaron los dedos, guijarros, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la cantidad crece, se hace necesario un sistema más práctico de representación numérica. El sistema de numeración más usado fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los árabes. Acerca del origen indio del sistema, hay pruebas documentales más que suficientes, entre ellas la opinión de Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, quien fue uno de los introductores del nuevo sistema en Europa. En aquella época se usaban los números romanos y el ábaco. Su gran mérito fue la introducción del concepto y símbolo del cero, lo que permite un sistema en el que sólo diez símbolos puedan representar cualquier número por grande que sea y simplificar la forma de efectuar las operaciones. En su libro titulado “Liber Abaci” (Libro de los Cálculos) hizo tal referencia; y, si bien su obra fue un hecho revolucionario, debido a que no había sido inventada la imprenta, tuvieron que pasar tres siglos para que fuera conocida en toda Europa. En el capítulo anterior hemos utilizado los números y uno de los conjuntos que nos ha servido como referencia es = {1, 2, 3, ....}, el cual se denomina conjunto de los números naturales. En algunas situaciones de la vida diaria, tales como:

▪ ▪ ▪ ▪

Determinar el número que sumado con 5, dé por resultado 2. Tener un sobregiro de $ 100 en una cuenta corriente. Disminuir la temperatura de 25 ºC a 20 ºC en un cierto instante de tiempo. Deber una cierta suma de dinero. pág. 111

Nos encontramos con la dificultad de que no existen números naturales que puedan resolver dichos problemas. Las soluciones se encuentran en un nuevo conjunto del alemán zahl (número). ¿Existe algún número que multiplicado por 2 sea 1? En general, dados dos números enteros m y n cualesquiera, ¿existe un número entero x que multiplicado por n (n ≠ 0) sea igual a m? La respuesta negativa a estas preguntas obligó a los matemáticos a una ampliación del conjunto , introduciendo un nuevo conjunto numérico denominado conjunto de los números racionales, denotado por y definido por:

=

{ f/ f= p

}, del inglés quotient (cociente).

Un número racional es aquel que puede expresarse como una fracción

p q entre dos números enteros: p (numerador) y q (denominador), con denominador q diferente de cero.

Pero también existen números que no pueden ser representados como una fracción, a este conjunto lo denominamos : conjunto de los números Tanto los números racionales como los irracionales forman el conjunto de los conjuntos numéricos mencionados:

Enteros Positivos

Números Reales

Números Racionales

Números Enteros

Cero Enteros Negativos

Números Irracionales

Figura 2.1: Relación de los Conjuntos Numéricos. Es muy ilustrativa la representación gráfica de los números. Se puede utilizar una recta dibujada de manera horizontal, sobre la cual seleccionamos un punto y lo marcamos con 0 (origen), este punto representa el número cero. Si queremos identificar un número positivo, lo marcamos a la derecha del cero, mientras que si es negativo, lo marcamos a la izquierda del cero. A esta recta se la denomina recta de los números reales. Números negativos

0

Números positivos

Figura 2.2: Recta de los Números Reales. pág.112

Capítulo 2 Números Reales Si consideramos números enteros a la derecha de 0, estamos hablando del conjunto , mientras que los que se encuentran a la izquierda de 0, Las mismas consideraciones se aplicarán para los números racionales, irracionales y reales en general. Dado que la cardinalidad de estos conjuntos es Si se tratara de un valor tan grande y positivo como sea posible, entonces

2.1 Representación Decimal Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: * Representar un número racional en forma fraccionaria o periódica. * Dada una representación decimal, determinar la fracción que le corresponde. * Dado un número racional, representarlo en la recta real. * Reconocer la diferencia entre la representación decimal de un número racional y uno irracional. Los números reales pueden ser representados con cifras enteras y cifras decimales. Los números reales racionales tienen representaciones decimales con una cantidad finita de dígitos, o con cierto número de dígitos que aparecen indefinidamente siguiendo algún patrón de repetición. 2 = 0.4 que tiene un solo decimal; 1 0.166666..., donde el Por ejemplo: =

5

232

6

2.343434 ..., tiene los dígitos 3 y 4 dígito 6 se repite indefinidamente; 99 = repetidos en la secuencia decimal. Los números reales irracionales tienen representaciones decimales que no terminan ni tienen un patrón de repetición. Por ejemplo: = 1.414213..., π = 3.14159... En la práctica, los números irracionales generalmente son representados por aproximaciones. Se suele utilizar el símbolo (se lee “aproximadamente igual a”) para escribir

suficiente dividir el numerador para el denominador. pág. 113

Ejemplo 2.1 Representación decimal de números racionales. 3 = 1.5 2 1

11

7

= 0.142857142857 ...

Estos números pueden ser representados gráficamente en la recta real:

4

1 6

1 1 7 3

3 2

11 5

Cada vez que un número racional (fracción) se representa por medio de un número con infinita cantidad de decimales, estos últimos se muestran como la repetición sucesiva de una cierta cantidad finita de dígitos que se la parte superior del período. En el ejemplo 2.1 se puede observar que: NÚMERO RACIONAL

PERÍODO

REPRESENTACIÓN DECIMAL

1

1 Para transformar un decimal periódico en fracción, utilizaremos el siguiente procedimiento:

1. Denominar como x al número decimal periódico. 2. Localizar el período del número. 3. Llevar el punto decimal después del primer período, multiplicando al número x por la potencia de base diez, correspondiente a la cantidad de decimales recorridos.

4. Llevar el punto decimal antes del primer período, multiplicando al número

por la potencia de base diez, correspondiente a la cantidad de decimales recorridos.

5. Restar las expresiones obtenidas en los numerales 3 y 4. 6. Despejar x. 7. Simplificar en caso de ser posible. Utilizando el procedimiento anteriormente descrito, se pueden obtener las fracciones correspondientes a los tres números decimales periódicos de la siguiente tabla. pág.114

Capítulo 2 Números Reales 1.

x = 0.3333...

x = 0.16666...

x = 0.142857142857...

2.

Período: 3

Período: 6

Período: 142857

3. 101 x = 3.3333...

102 x = 16.666...

106 x = 142857.142857...

4. 100 x = 0.3333...

101 x = 1.6666...

100 x = 0.142857...

5.

9x = 3

6.

x=

7.

3 9 1 x= 3

90x = 15

999999 x = 142857

15 90 1 x= 6

142857 999999 1 x= 7 x=

x=

En caso de que el número decimal periódico posea parte entera, debe separársela de la parte decimal para aplicar el procedimiento anterior a esta última. Finalmente, se debe sumar la parte entera con la fracción obtenida y ésa será la representación fraccionaria de todo el número. Posteriormente demostraremos representa una fracción.

que

todo

número

decimal

periódico

Ejemplo 2.2 Representación decimal de números irracionales.

Este número puede representar la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos tienen medida igual a 1.

1

1 pág. 115

Este número puede representar la longitud de la altura de un triángulo equilátero cuyos lados miden 2 unidades.

2

3

2

= 1.259921049894873...

Este número puede representar la longitud de la arista de un cubo cuyo volumen es igual a 2 unidades cúbicas.

3

π = 3.141592653589793... Este número resulta del cociente entre la longitud de una circunferencia y la medida de su diámetro.

L

d

π=L d

Como se podrá apreciar, estos números forman parte del mundo que nos rodea, por lo que es necesario trabajar con ellos.

Los números irracionales pueden ser representados gráficamente en la recta real: 3

pág.116

Capítulo 2 Números Reales 2.2 Operaciones binarias Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: * Dado un conjunto y una operación definida sobre él, reconocer si es o no binaria, justificando su respuesta. * Dada una operación binaria, identificar qué propiedades cumple. Algunas expresiones, tales como: tienen la particularidad de que si tomamos dos elementos de un conjunto, numérico en este caso, la operación genera un tercer número dentro o fuera del conjunto al cual se está haciendo referencia. La unión y la intersección de conjuntos también generan nuevos conjuntos. Las operaciones que toman 2 elementos de un conjunto y su resultado se encuentra en el mismo conjunto tienen particular interés para nosotros y se denominan operaciones binarias. Definición 2.1 (Operación binaria) Sea un conjunto S = {a, b, c, ...}, la operación * es una operación “a operación b”. La operación binaria puede ser considerada como una función En esta definición hay que tomar en cuenta lo siguiente:

▪ El orden de a y b es importante, porque (a, b) es un par ordenado y podría suceder que a*b ≠ b*a. ▪ La operación tiene que estar definida para todos los pares ordenados (a, b). 2.2.1 Propiedades de las operaciones binarias

pág. 117

La propiedad clausurativa indica que el resultado de la operación binaria debe pertenecer al conjunto que se toma como referencia. La propiedad conmutativa indica que el orden de los operandos no es importante al realizar la operación. La propiedad asociativa indica que se pueden agrupar en diferente forma los elementos de la operación. La propiedad de poseer elemento neutro n indica que al realizar la operación entre cualquier elemento del referencial y este elemento, o viceversa, no lo modifica al primero. La propiedad de poseer elemento inverso indica que al realizar la operación entre cualquier elemento del referencial y este elemento, o viceversa, se obtiene el elemento neutro. Esta propiedad sólo deberá probarse en caso de existir elemento neutro. Por definición, toda operación binaria cumple con la propiedad de cerradura. Las restantes propiedades pueden o no cumplirse, según sea el caso, sin perjuicio de que la operación sea binaria.

Ejemplo 2.3 Operación binaria y propiedades.

Se verifica la siguiente propiedad:

Por el contrario, la operación binaria no cumple las siguientes propiedades:

para a = 1 y b = 2 se verifica que 1 * 2 = 7, pero 2 * 1 = 5.

a = 1, b = 2 y c = 3, en el cual 1 * (2 * 3) = 34, mientras que (1 * 2) * 3 = 16. Elemento neutro, a

* n ≠ n * a.

Elemento inverso, esta propiedad no tiene sentido probarla ya que no existe elemento neutro.

El concepto de operación binaria es más amplio de lo que parece, así, se pueden realizar operaciones binarias sobre otros tipos de conjuntos, no necesariamente numéricos, tal como se lo ilustra en el siguiente ejemplo. pág.118

Capítulo 2 Números Reales Ejemplo 2.4 Operación binaria. Se define S = { , siguiente tabla:

,

},

y la operación * sobre S mostrada en la

*

En esta operación el resultado se obtiene combinando cada elemento que se encuentra debajo del símbolo de la operación binaria (*), con cada uno de los que se encuentran a la derecha de dicho símbolo. Así, = . * De acuerdo a esto, se observa que cualquier combinación siempre dará un elemento de S. Por lo tanto, la operación es binaria. Adicionalmente, se puede verificar que la operación no cumple la propiedad conmutativa [ * ≠ * ]; no cumple la propiedad asociativa [ * ( * ) ≠ ( * ) * ] ; ni la del elemento neutro. Con este ejemplo se amplía la aplicación de las operaciones binarias a conjuntos abstractos.

es posible hablar de una propiedad distributiva, si y sólo si:

Como el lector podrá recordar, en la teoría de proposiciones y conjuntos se hizo uso de esta propiedad.

2.3 Operaciones entre Números Reales Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: * Realizar operaciones de adición y multiplicación sobre

.

* Aplicar propiedades de las operaciones de los números reales. * Reconocer expresiones no definidas en

. pág. 119

multiplicación (.), las cuales se definen a continuación: ▪ Adición:

y cumple con las siguientes propiedades:

▪ Multiplicación:

y cumple con las siguientes propiedades:

1 es el elemento neutro multiplicativo. b es el elemento inverso multiplicativo. A más de las propiedades anotadas existe la propiedad distributiva para estas operaciones, la cual puede expresarse así:

la existencia de los inversos aditivos y multiplicativos, respectivamente. Es importante anotar que existen algunas expresiones que no están definidas en , algunas de ellas son: 4

▪ Cocientes en que el divisor es cero. Ej:

3 0

.

.

Partiendo de estas observaciones, se pueden determinar dominios para expresiones que contienen variables reales. pág.120

Capítulo 2 Números Reales Ejemplo 2.5 Dominio de variable. La expresión

1 x

En secciones posteriores se analizará más detalladamente este tipo de expresiones, pero su sustento está en estas anotaciones.

2.4 Relación de Orden Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: * Explicar con sus propias palabras una relación de orden en los números reales. * Interpretar la influencia de las operaciones de los números reales sobre las relaciones de orden. * Explicar con sus propias palabras la tricotomía de los números reales.

2.4.1 Relación de orden de números enteros

Observando la recta numérica se aprecia que los enteros están “ordenados”, de tal modo que un número es mayor que otro mientras más a la derecha se encuentre de él. Con el objeto de precisar este orden, se define una relación “mayor que” entre los elementos de , que se simboliza por >. Definición 2.2 (Orden en

)

Ejemplo 2.6 Orden en .

pág. 121

Otras relaciones que se deben considerar son: “menor que”, cuyo símbolo

Además, se puede observar que el conjunto propiedades:

cumple con las siguientes

2.4.2 Relación de orden de números reales. extender la relación de orden analizada previamente, al conjunto formado por los números reales. A pesar de que la construcción rigurosa es un tanto complicada, en la práctica, a partir de la representación por medio de puntos en la recta numérica se puede observar que si el número b está situado a la

Definición 2.3 (Tricotomía de los Números Reales) Dados dos números reales, siempre es posible relacionar su orden, de tal manera que uno es mayor que el otro o son iguales.

Además, se puede observar que el conjunto

cumple con las siguientes

propiedades:

Es importante determinar cómo influyen sobre la relación de orden las operaciones de la adición y la multiplicación de números reales. Las siguientes propiedades ilustran tal influencia:

pág.122

Capítulo 2 Números Reales

Cabe mencionar que estas propiedades también se aplican a las otras

2.5 Conceptos asociados al conjunto de los números enteros Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: * Dado un número entero, reconocer si es primo, compuesto, par o impar. * Dado un conjunto de números enteros, encontrar su Máximo Común Divisor y su Mínimo Común Múltiplo.

Definición 2.4 (Divisores y Múltiplos de un número entero) son factores o divisores de c. En tal caso, c es múltiplo de a y b.

Ejemplo 2.7 Factores o Divisores y Múltiplos de un número.

5 y 7 son factores o divisores de 35, porque 35 es múltiplo de 5 y 7. En muchas ocasiones, es necesario saber si un número entero divide a otro sin necesidad de efectuar la división. Para ello, se aplican las sencillas reglas o criterios de divisibilidad. pág. 123

Un número entero es divisible por:

2: Si termina en 0 o en cifra par. 3: Si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. 4: Si sus dos últimas cifras son 00 o es múltiplo de 4. 5: Si termina en 0 o en 5. 6: Si lo es por 2 y por 3 a la vez. 8: Si sus tres últimas cifras son 000 o es múltiplo de 8. 9: Si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. 10: Si termina en 0. Quizás le llame la atención que no se incluya la regla de divisibilidad por 7. Esto se debe a que su complejidad es poco práctica y resulta más fácil saber si el número es o no múltiplo de 7, realizando la división por 7. Definición 2.5 (Número Primo) son exactamente 1 y p.

El conjunto de los números primos es:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...}

Euclides fue el primero en demostrar que no existe un número primo mayor que todos los demás, es decir, la cantidad de números primos es infinita. Numerosos matemáticos han buscado, sin éxito, un método que sirva para determinar si un número es primo o no. En la actualidad, con la ayuda de las computadoras es factible encontrar una gran cantidad de elementos de este conjunto P.

Definición 2.6 (Número Compuesto)

pág.124

Capítulo 2 Números Reales El número 1 no es primo ni compuesto, ya que representa la unidad, esto es, el único elemento del conjunto de los números enteros positivos que tiene inverso multiplicativo, el cual también es un número entero positivo. Teorema 2.1 (Teorema fundamental de la Aritmética) Todo número compuesto se puede descomponer de manera única como el producto de números primos.

Ejemplo 2.8 Números compuestos. Descomponer los números 87, 105, 2310 en sus factores primos. Solución: división por 3, el otro factor es 29, que es primo. Luego, 87 = (3)(29).

▪ Como 105 termina en 5, es divisible por 5. Efectuando la división por 5, el otro factor es 21, el cual se puede descomponer en sus factores 3 y 7. Luego, 105 = (3)(5)(7). ▪ Como 2310 es un número más grande, lo iremos dividiendo

sucesivamente por todos los números primos menores que él, por los cuales sea divisible.

2310 1155 385 77 11 1

2 3 5 7 11

Luego, 2310 = (2)(3)(5)(7)(11).

Definición 2.7 (Máximo Común Divisor (M.C.D.)) El M.C.D. de un conjunto de números enteros es el mayor entero positivo que es divisor de cada uno de los números del conjunto. pág. 125

Ejemplo 2.9 Máximo Común Divisor.

▪ Considerando el ejemplo anterior, el M.C.D. de los números 87, 105 y 2310 es 3. ▪ En el conjunto de los números 24, 36, 48: 24 = (23)(3) 36 = (22)(32) 48 = (24)(3) M.C.D. : (22)(3) = 12 Una interpretación para el Máximo Común Divisor se presenta en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.10 Aplicación del Máximo Común Divisor. Un vendedor dispone de 24, 36 y 48 unidades de tres artículos diferentes, respectivamente. Necesita elaborar paquetes por cada artículo, de tal forma que el número ...