1.2 Axiomas de los numeros reales PDF

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TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TIJUANA

DEPARTAMENTO DE INDUSTRIAL

MATERIA: CÁLCULO DIFERENCIAL

TRABAJO: 1.2. AXIOMAS DE LOS NÚMEROS REALES.

TIJUANA, BAJA CALIFORNIA A 23/07/2020

1. Cerradura en la suma. Si se suman dos números reales el resultado será real y único. Por ejemplo: ● 2+5= 7 €R ● 15+8= 23 €R ● -7+13= 6 €  R 2. Conmutatividad bajo la suma. El orden no altera el resultado de la suma. Por ejemplo: ● 2+5+6= 13, ó 5+6+2= 13, ó 6+2+5= 13. ● 5+3= 8, ó  3+5= 8 ● 7+9+8+2+5= 31, ó 9+7+2+5+8= 31, ó 5+2+8+9+7= 31. 3. Asociatividad en la suma. El resultado de la suma es independiente de la manera en la que agrupan a los números. Por ejemplo: ● (1+3+5)=9, ó 1+(3+4)=9, ó (1+3)+4=9. ● (15+5+2)=22, ó 15+(5+2)= 22, ó (15+5)+2=22. ● (60+152+25)=237, ó 60+(152+25)=237, ó (60+152)+25=237. 4. Neutro aditivo. Se refiere al ¨0¨, cualquier número que se le sume el cero, queda de la misma manera. Por ejemplo: ● 15+0=15 ● 7+0= 7 ● 1+0=1 5. Inverso aditivo. Al sumarle el inverso del mismo número, el resultado siempre será cero. Por ejemplo: ● 6+(-6)= 0 ● 20+(-20)= 0 ● 32+(-32)= 0

6. Cerradura en la multiplicación. La multiplicación de dos números reales, darán como producto un numero real. Por ejemplo: ● (3)(5)= 15 €R ● (15)(2)= 30 €R ● (2)(6)= 12 €R 7. Conmutatividad en la multiplicación. El orden de los números no altera el producto. Por ejemplo: ● (3)(2)= 6, ó (2)(3)= 6. ● (2)(3)(5)= 30, ó (3)(5)(2)= 30, ó (5)(2)(3)= 30. ● (1)(2)(3)(4)= 24, ó (2)(4)(1)(3)= 24, ó (4)(1)(2)(3)= 24. 8. Asociatividad en la multiplicación. El resultado del producto, es independiente de la forma en la que se agrupan los números. Por ejemplo: ● (2)(1)(3)= 6, ó 2(1)(3)=6, ó (2)(1)3= 6. ● (3)(5)(6)= 90, ó 3(5)(6)= 90, ó (3)(5)6= 90. ● (4)(5)(7)= 140, ó  4(5)(7)= 140, ó (4)(5)7= 140. 9. Neutro multiplicativo. Se refiere al ¨1¨, cualquier número que sea multiplicado por el uno, queda de la misma manera. Por ejemplo: ● (1)(2)= 2. ● (1)(6)= 6. ● (1)(23)= 23. 10. Inverso multiplicativo. Cuando un número se multiplica por su inverso, el resultado siempre será 1. Por ejemplo: ● (2)(1/2)= 1. ● (15)(1/15)= 1. ● (30)(1/30)= 1.

11. Distributividad de la multiplicación en la suma. El factor se multiplica individualmente por cada número que está sumando en el paréntesis, para después sumarlos. Por ejemplo: ● 5(2+3)= (5)(2)+5(3)= 10+15= 25. ● 2(4+7)= (2)(4)+2(7)= 8+14= 22. ● 9(3+2)= (9)(3)+9(2)= 27+18= 45. 12.

Tricotomía. Comparación del par de números reales. Por ejemplo: ● 15 > 8 (15 es mayor que 8). ● 2 < 4 (2 es menor que 4). ● 30 = 30 (30 es igual que 30).

13. Transitividad. Cuando un elemento a se relaciona con un elemento b, y el elemento b se relaciona con el elemento c, entonces el a se relaciona con el elemento c. Por ejemplo: ● 4= 1/4 y 4/1= (4)(1)= 4. ● 9= 1/9 y 9/1= (9)(1)= 9. ● 10= 1/10 y 10/1= (10)(1)= 10. 14. Monotonía de la suma. Al sumar sumandos con desigualdades (mayor que, menor que) e igualdades (igual que), el resultado será igual a esas desigualdades e igualdades. Por ejemplo: ● 6 >3+9 > 5= 6+9 > 3+6= 15 > 9. ● 2 < 10+3 < 5= 2+3 < 10+5= 5 < 15. ● 15 > 4+12 > 6= 15+12 > 4+6= 27 > 10 15. Densidad. Entre dos números reales existe otro número real entre ambos. Por ejemplo: ● 1 ≠ 4, existe 1 < 2 < 3 < 4. ● 2 ≠ 3, existe 2 < 2.1 < 2.2 < 2.3 < 2.4 < 2.5 < 2.6 < 2.7 < 2.8 < 2.9 < 3.

● 60 ≠ 65, existe, 60 < 61 < 62 < 63 < 64 < 65. 16. Monotonía del producto. Al multiplicar factores con desigualdades (mayor que, menor que) e igualdades (igual que), el resultado será igual a esas desigualdades e igualdades. Por ejemplo: ● (9>5) (7>2)= (9)(7) > (5)(2)= 63 > 10. ● (36)= (15)(12) > (5)(6)= 180 > 30. 17. Axioma del supremo. Es todo conjunto no vacío y acotado superiormente posee un supremo. Es necesario definir: ❖ Conjunto no vacío : se refiere a un conjunto que tiene por lo menos un elemento. ❖ Cota superior : se refiere a una valor que es mayor o igual que cualquier otro valor contenido en el conjunto. Un conjunto puede tener una infinidad de cotas superiores. ❖ Supremo : es la mínima cota superior de un conjunto. Solo puede existir un supremo en un conjunto. Por ejemplo: ● (-3,∞). ● (1, ∞). ● (10, ∞)....