2. Axiomas de Cuerpo de los números reales PDF

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Estos fueron los primeros documentos que nos entregaron al entrar a la U...

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Oscar López Aliaga

Cálculo 1 CBI

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Los Números Reales (ℝ).

Supondremos la existencia de un conjunto ℝ cuyos elementos llamaremos números reales. Además, se definen en ℝ las operaciones binarias de suma y multiplicación, con las cuales nos hemos familiarizado tanto en la enseñanza primaria como secundaria. En ℝ las propiedades se agrupan en tres clases o familias de propiedades: • • •

Igualdad y ecuaciones. Desigualdad e inecuaciones. Completitud.

Llamaremos propiedades de los números reales a todas aquellas que se infieren, mediante un razonamiento lógico matemático, desde un conjunto finito de afirmaciones iniciales que llamaremos axiomas. • • •

Axiomas de Cuerpo. Axiomas de Orden. Axioma de Completitud o Supremo.

Axiomas de Cuerpo Axioma1: Conmutatividad. (∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ)(𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥) (∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ)(𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑦 ∙ 𝑥) En otras palabras; el resultado de sumar dos números reales es independiente del orden en que los sumemos. Lo mismo podemos afirmar para la multiplicación de dos números reales. Axioma 2: Asociatividad. (∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ)((𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧)) (∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ)((𝑥 ∙ 𝑦) ∙ 𝑧 = 𝑥 ∙ (𝑦 ∙ 𝑧)) No debemos olvidar que las operaciones de suma y multiplicación son binarias, es decir, se realizan sobre pares y no sobre tríos de números reales. Este axioma nos dice que si tenemos la suma (o multiplicación), de tres números reales, no importa cuál de las dos opciones usemos para agruparlos, siempre llegaremos al mismo resultado. Es importante notar que el axioma de asociatividad NO afirma que (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = (𝑎 + 𝑐 ) + 𝑏 sin embargo este resultado es verdadero pues. 1

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Asociatividad

(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)

Conmutatividad

(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑐 + 𝑏)

Asociatividad

(𝑎 + 𝑏 ) + 𝑐 = (𝑎 + 𝑐 ) + 𝑏

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Axioma 3: Distributividad. (∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ)(𝑥 ∙ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙ 𝑧)

Ejemplificación: Demuestre que (𝑥 + 𝑦) ∙ 𝑧 = 𝑥 ∙ 𝑧 + 𝑦 ∙ 𝑧 Demostración: Conmutatividad

(𝑥 + 𝑦) ∙ 𝑧 = 𝑧 ∙ (𝑥 + 𝑦)

Distributividad

𝑧 ∙ (𝑥 + 𝑦 ) = 𝑧 ∙ 𝑥 + 𝑧 ∙ 𝑦

Conmutatividad

𝑧∙𝑥+𝑧∙𝑦 =𝑥∙𝑧+𝑦∙𝑧

Recordemos que la relación de igualdad es una relación de equivalencia y por lo tanto es transitiva, por lo cual podemos afirmar que: (𝑥 + 𝑦 ) ∙ 𝑧 = 𝑥 ∙ 𝑧 + 𝑦 ∙ 𝑧 Fin de la demostración. Comentario: Transitividad de la igualdad afirma que [(𝑎 = 𝑏) ∧ (𝑏 = 𝑐)] ⇒ (𝑎 = 𝑐). Axioma 4a: Existencia de elemento neutro para la suma. En ℝ existe al menos un elemento –llamémoslo 𝑒 –tal que (∀𝑥 ∈ ℝ)(𝑥 + 𝑒 = 𝑥). En otras palabras, debemos contar con que existe un número real que sumado con cualquiera otro número real –incluido él mismo- da como resultado este último. Teorema 1 El neutro aditivo es único. Demostración. El axioma 4a nos garantiza la existencia de al menos un elemento neutro aditivo, denotémoslo mediante el símbolo 𝑒. Supongamos que existe otro elemento neutro en los reales distinto de 𝑒. Denotémoslo mediante el símbolo 𝑒 . Entonces dado que 𝑒 es un elemento neutro para la suma, se cumple que: 𝑒 + 𝑒 = 𝑒 Dado que 𝑒 es elemento neutro para la suma:

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𝑒 + 𝑒 = 𝑒 El axioma 1 nos permite afirmar que 𝑒 + 𝑒 = 𝑒 + 𝑒 con lo cual 𝑒 = 𝑒 y por lo tanto el elemento neutro para la suma en los reales es único. Notación. El elemento neutro para la suma será distinguido mediante el símbolo 0 y lo llamaremos neutro aditivo o cero. Axioma 4b: Existencia de elemento neutro para la multiplicación. En ℝ existe al menos un elemento distinto del neutro aditivo –llamémoslo 𝑒 –tal que (∀𝑥 ∈ ℝ)(𝑥 ∙ 𝑒 = 𝑥). Teorema 2 El neutro multiplicativo es único. Demostración. El axioma 4b nos garantiza la existencia de al menos un elemento neutro para la multiplicación. Denotémoslo mediante el símbolo 𝑒. Supongamos que existe otro elemento neutro multiplicativo distinto de 𝑒. Llamémoslo mediante el símbolo 𝑒 . 𝑒 = 𝑒 ∙ 𝑒 = 𝑒 ∙ 𝑒 = 𝑒 En esta demostración hemos ocupado los axiomas 1 y 4b. Notación. El elemento neutro para la multiplicación será distinguido mediante el símbolo 1 y lo llamaremos neutro multiplicativo o uno. Observación: Por axioma 4b; 1 ≠ 0 Axioma 5a: Existencia de elementos opuestos. Dado 𝑥 ∈ ℝ existe 𝑥 tal que 𝑥 + 𝑥 = 0. A estos elementos𝑥 los llamaremos opuestos del número real 𝑥. Este axioma nos asegura que dado un número real cualquiera, existe a lo menos otro real tal que sumados dan como resultado el neutro aditivo. Notemos que este axioma hace una afirmación respecto de la existencia del elemento opuesto de un número real, pero nada dice acerca de la unicidad de este elemento opuesto. Teorema 3 Dado un número real, su elemento opuesto es único. Demostración. Sea 𝑥 ∈ ℝ. Supongamos que existen reales 𝑦, 𝑧 tal que (𝑥 + 𝑦 = 0) ∧ (𝑥 + 𝑧 = 0). 3

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Axioma 4a

𝑦 =𝑦+0

Axioma 5a

𝑦 = 𝑦 + (𝑥 + 𝑧)

Axioma 2

𝑦 = (𝑦 + 𝑥 ) + 𝑧

Axioma 1

𝑦 = (𝑥 + 𝑦 ) + 𝑧

Axioma 5a

𝑦 =0+𝑧

Axioma 4a

𝑦=𝑧

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O sea, el opuesto de un número real es único para ese número real. Notación. El símbolo −𝑥 representará al opuesto de 𝑥 .

Axioma 5b: Existencia de elementos inversos. Sea 𝑥 ∈ ℝ − {0}. Entonces existe 𝑥 ∗ ∈ ℝ tal que 𝑥 ∙ 𝑥 ∗ = 1. Teorema 4 Dado un número real distinto de cero, su elemento inverso es único. Demostración. Supongamos que existe otro inverso de 𝑥 , digamos ⏞ 𝑥. Entonces: Axioma 4b

𝑥∗ = 𝑥∗ ∙ 1

Axioma 5b

𝑥 ∗ = 𝑥 ∗ ∙ (𝑥 ∙ ⏞ 𝑥)

Axioma 2

𝑥 ∗ = (𝑥 ∗ ∙ 𝑥) ∙ ⏞ 𝑥

Axioma 1

𝑥 ∗ = (𝑥 ∙ 𝑥 ∗ ) ∙ ⏞ 𝑥

Axioma 5b

𝑥∗ = 1 ∙ ⏞ 𝑥

Axioma 4b

𝑥∗ = ⏞ 𝑥

Notación. El símbolo 𝑥 −1 representará al inverso de 𝑥, siempre que 𝑥 ≠ 0. Con todos estos axiomas se dice que (ℝ, +,∙) tiene estructura de Cuerpo. Hasta aquí hemos deducido propiedades de unicidad que hemos llamado teoremas. En lo que sigue deduciremos más propiedades, todas ellas conocidas desde el colegio, pero que siempre es útil repasar. Propiedad 1 (La tabla del cero). (∀𝑎 ∈ ℝ)(𝑎 ∙ 0 = 0) Demostración. 4

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Neutro Aditivo

𝑎 ∙ 0 = 𝑎 ∙ (0 + 0)

Distributividad

𝑎∙0 =𝑎∙0+𝑎∙0

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Notar que esto implica que 𝑎 ∙ 0 es elemento neutro. Como existe un único elemento neutro en todos los reales entonces se sigue que 𝑎 ∙ 0 = 0. Comentario: La tabla del uno es un axioma (4b), mientras que la tabla del cero es una propiedad. Comentario: Es claro que el cero no puede tener inverso multiplicativo pues de existir se cumpliría que 0 ∙ 0 −1 = 1 = 0. Como además 𝑥 = 𝑥 ∙ 1 = 𝑥 ∙ 0 = 0, entonces ℝ quedaría reducido al conjunto trivial {0} con el cual no podemos avanzar mucho. Propiedad 2

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