Axiomas de los números reales. Matemática Básica. Universidad Autónoma De Santo Domingo PDF

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matemática general. Axioma de los números reales....

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Axiomas de los Números Reales: Antes de entrar en lleno con el tema de los axiomas es pertinente recordar que los números reales no son más que el conjunto de los números racionales e irracionales y que estos se encuentran representados a través de la recta numérica. Para que esos números adquieran el sentido de reales o ser reconocidos como tales, deben seguir algunas leyes, propiedades o postulados que esos son los conocidos como axiomas. Por lo tanto, los mismos pueden ser considerados como esas afirmaciones que se aceptan como verdaderas y aportan validez a dichos procedimientos matemáticos, esto gracias a ser estimadas como demostraciones evidentes. Estos axiomas se dividen en tres, están los de campo, los de orden y los de completitud, los cuales le permiten a ese grupo de los números reales ser un sistema acabado. El primero se puede considerar como el algebra de los números reales, que se basa en las propiedades, principalmente, de suma y multiplicación; los segundos como su nombre lo indica, se encargan de establecer el orden entre los elementos de cada conjunto, permitiendo la identificación, por ejemplo, de cuál número es mayor que el otro; y el de completitud trata sobre la noción de continuidad. Establece que la recta numérica es completa y que cada punto en la misma debe representar un número. 

Axioma de campo:

Como ya se había indicado más arriba, en este se precisan las operaciones de suma y multiplicación y en cada una de ellas es necesario cumplir ciertas leyes que permitirán su correcto funcionamiento. Entre estas leyes o pautas a seguir para su realización están: -

Ley de cierre o cerradura: Esta es una propiedad básica que para ambos casos indica que al unir dos números reales el resultado será otro número real. Es un conjunto cerrado.

Ej: X + Y = R

X*Y=R

2+2=4

(2)(2)= 4

-

Ley conmutativa: De igual forma para ambos casos, en esta se nos dice que el orden de los factores no altera el producto. Es decir, no importa el orden en el que realicemos los ejercicios siempre obtendremos el mismo resultado.

Ej: X + Y= R así como Y + X= R 5 + 3= 8

-

3 + 5= 8

X * Y= R así como Y * X= R (5)(3)= 15

(3)(5)= 15

Ley asociativa: Esta indica que no importa cómo se agrupan los números cuando son más de dos al sumar o multiplicar, esto no cambiara el resultado del producto. Esta sirve como una herramienta de simplificación al momento de resolver la operación, pues reduce esa complicación de resolución que tal vez pueda representar para algunos estudiantes.

Ej: X + Y + Z=R X + (Y+Z)=R

5 + 3 + 8= 16

5*3*8= 120

X(Y*Z)=R

5(3*8)= 5*24=120

(X*Y) Z=R

(5*3)8= 15*8=120

5 + (3+8)= 5+11=16

(X+Y) + Z= R (5+3) + 8= 8+8=16

-

X*Y*Z=R

Existencia del elemento neutro: Para la suma dice que cualquier número que se le sume cero el resultado de la operación será el mismo número. Para la multiplicación explica que cualquier número que se multiplique por uno será igual al mismo número.

Ej: X + 0= X

Y * 1= Y

14 + 0= 14

14 * 1= 14

-

Existencia de los inversos: En el caso de la suma es un inverso aditivo, que expresa que el inverso en este caso de un número es su opuesto, es decir, es aquel número que, al sumarse con él mismo, haciendo uso de un signo contrario sea negativo o positivo, arroja un resultado equivalente a cero. Ya en el caso de la multiplicación es un inverso multiplicativo, en el cual se entiende que el inverso multiplicativo de un número es otro número que multiplicado por el primero da como resultado el elemento neutro del producto, es decir la uno. Siendo el 0 el único número sin inverso multiplicativo.

Ej: X + (-X) = 0 5 + (-5) = 0

-

X * X-1 = 1 5 * 5-1 = 5 * 1/5= 5/1*1/5 = 5/5= 1

Leyes distributivas: Esta combina la suma con la multiplicación y hace posible la obtención de un resultado final.

Ej: X *(Y + Z) = X*Y + X*Z 2 *(4 + 6)= 2*4 + 2*6= 8+12=20

(X+Y)*Z = X*Z + Y*Z (2+4)*6 = 2*6 + 4*6= 12+24=36...