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Numeros reales...

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Clasificacion de los números reales ¿Qué son los números reales? Se trata del conjunto de números que incluyen los naturales, los enteros, los racionales y los irracionales. A lo largo de este artículo veremos en qué consiste cada uno de ellos. Por otro lado, los números reales se representan mediante la letra “R” (ℜ). En este artículo conoceremos la clasificación de los números reales, formada por los diferentes tipos de números mencionados al inicio. Veremos cuáles son sus características fundamentales, así como ejemplos. Finalmente, hablaremos de la importancia de las matemáticas y de sus sentido y beneficios. ¿Qué son los números reales? Los números reales se pueden representar en una recta numérica, comprendiendo esta los números racionales e irracionales. Es decir, la clasificación de los números reales incluye los números positivos y negativos, el 0 y los números que no se pueden expresar mediante fracciones de dos enteros y que tienen como denominador a números no nulos (es decir, que no son 0). Más adelante concretaremos qué tipo de número corresponde a cada una de estas definiciones. Algo que también se dice de los números reales es que se trata de un subconjunto de los números complejos o imaginarios (estos se representan mediante la letra “i”).

Clasificación de los números reales En definitiva, y para decirlo de una forma más entendible, los números reales son prácticamente la mayoría de números con los que tratamos en nuestro día a día y más allá de él (cuando estudiamos matemáticas, sobre todo de un nivel más avanzado). Ejemplos de números reales son: 5, 7, 19, -9, -65, -90. √6, √9, √10, el número pi (π), etc. Sin embargo, esta clasificación, como ya hemos dicho, se divide en: números naturales, números enteros, números racionales y números irracionales. ¿Qué caracteriza a cada uno de estos números? Vamos a verlo de forma detallada.

1. Números naturales Como veíamos, dentro de los números reales encontramos diferentes tipos de números. En el caso de los números naturales, se trata de los números que utilizamos para contar (por ejemplo: tengo 5 monedas en la

mano). Es decir: el 1, 2, 3, 4, 5, 6… Los números naturales siempre son enteros (es decir, un número natural no podría ser “3,56”, por ejemplo). Los números naturales se expresan mediante la letra “N” manuscrita. Se trata de un subconjunto de los números enteros. Dependiendo de la definición, encontramos que los números naturales, o bien empiezan a partir del 0, o bien a partir del 1. Este tipo de números se utilizan como ordinales (por ejemplo soy el segundo) o como cardinales (tengo 2 pantalones). A partir de los números naturales, se “construyen” otro tipo de números (son la “base” de partida): los enteros, racionales, reales… Algunas de sus propiedades son: la suma, la resta, la división y la multiplicación; es decir, se pueden realizar estas operaciones matemáticas con ellos.

2. Números enteros Otros números que forman parte de la clasificación de los números reales son los números enteros, que se representan mediante la “Z” (Z). Incluyen: el 0, los números naturales y los números naturales con signo negativo (0, 1, 2, 3, 4, -1, -2, -3, -4…). Los números enteros son un subconjunto de los números racionales. Así, se trata de aquellos números escritos sin fracción, es decir, “de forma entera”. Pueden ser positivos o negativos (por ejemplo: 5, 8, -56, -90, etc.). En cambio, los números que incluyen decimales (como por ejemplo “8,90”) o que resultan de algunas raíces cuadradas (por ejemplo √2), no son números enteros. Los números enteros también incluyen el 0. En realidad, los números enteros forman parte de los números naturales (son un grupo pequeño de estos).

3. Números racionales Los siguientes números dentro de la clasificación de los números reales, son los números racionales. En este caso, los números racionales son cualquier número que se pueda expresar como el componente de dos números enteros, o como su fracción.

Por ejemplo 7/9 (se suele expresar mediante “p/q”, donde la “p” es el numerador y la “q” el denominador). Como el resultado de estas fracciones puede ser un número entero, los números enteros son números racionales. El conjunto de este tipo de números, los racionales, se expresa mediante una “Q” (mayúscula). Así, los números decimales que son números racionales, son de tres tipos:



Decimales exactos: como por ejemplo “3,45”.



Decimales periódicos puros: como por ejemplo “5,161616…” (ya que el 16 se repite de forma indefinida).



Decimales periódicos mixtos: como por ejemplo “6,788888… (el 8 se repite de forma indefinida). El hecho de que los números racionales formen parte de la clasificación de los números reales, implica que sean un subconjunto de este tipo de números.

4. Números irracionales Finalmente, en la clasificación de los números reales encontramos también los números irracionales. Los números irracionales se representan como: “R-Q”, que significa: “el conjunto de los reales menos el conjunto de los racionales". Este tipo de números son todos aquellos números reales que no son racionales. Así, estos no se pueden expresar como fracciones. Se trata de números que tienen infinitos decimales, y que no son periódicos. Dentro de los números irracionales, podemos encontrar el número pi (expresado mediante π), que consiste en la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. También encontramos algunos otros, tales como: el número de Euler (e), el número áureo (φ), las raíces de números primos (por ejemplo √2, √3, √5, √7…), etc. Igual que los anteriores, al formar parte de la clasificación de los números reales, se trata de un subconjunto de estos últimos.

PROPIEDADES: Suma de Números Reales 1.Interna: El resultado de sumar dos números reales es otro número real. a+b

R

+ R 2.Asociativa: El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado. ( a + b) + c = a + (b + c)

3.Conmutativa: El orden de los sumandos no varía la suma.

a +b = b+ a

4.Elemento neutro:

El 0 es el elemento neutro de la su ma porque todo número su mado con él da el mismo número.

a + 0=a

+0=

5.Elemento opuesto

Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero. e−e=0 El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número −(−

)=

La diferencia de dos números reales se define como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo. a - b = a + (- b)

Multiplicación de Números Reales La regla de los signos del producto de los números enteros y racionales se sigue manteniendo con los números reales

1.Interna:

El resultado de multiplicar dos números reales es otro número real.

a·b

R

2.Asociativa:

El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números reales cualesquiera, se cumple que:

(a · b) · c = a · (b · c)

)·

(e ·

=e·(

·

)

3.Conmutativa: El orden de los factores no varía el producto. a · b = b ·a

4. Elemento neutro: El

1

es

el

elemento

neutro de la

multiplicación

porque

todo

número

multiplicado por él da el mismo número. a ·1 = a ·1= 5. Elemento inverso: Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.

6.Distributiva:

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos. a · (b + c) = a · b + a · c. · (e +

)=

·e+

·

7.Sacar factor común: Es el proceso inverso a la propiedad distributiva. Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor. a • b + a • c = a • (b + c) ·e+

·

=

· (e +

)

La división de dos números reales se define como el producto del dividendo por el inverso del divisor.

Intervalos Los interv alos está n det ermin ados por dos nú meros que se llaman ext remos. En un int ervalo se encuent ran tod os los números compren didos entre ambos y también pueden estar los ext remos.

Clases de intervalos: Intervalo abierto: Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b. (a, b) = {x

/ a < x < b}

Intervalo cerrado: Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

[a, b] = {x

/ a ≤ x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la izquierda: Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b. (a, b] = {x / a < x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la derecha: Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b. [a, b) = {x / a ≤ x < b}

Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos intervalos, se utiliza el signo (unión) entre ellos.

Semirrectas Las semirrectas están determinadas por un número. En una semirrecta se encuentran todos los números mayores (o menores) que él. 

x>a (a, +∞) = {x



x≥a

/ a < x < +∞}

[a, +∞) = {x



/ a ≤ x < +∞}

x 2 x< −2 ó x> 2 |x −2 |< 5 − 5 < x − 2 < − 5 + 2 < x < 5 + 2 − 3

| 0| = 0 x = 2 x (−2, 2 ) (−∞ , − 2) (2, +∞) 5 < x < 7

Propiedades 1.Los números opuestos tienen igual valor absoluto.

 

|a| = |−a| |5| = |−5| = 5

2.El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.



|a · b| = |a| ·|b|



|5 · (−2)| = |5| · |(−2)|

|− 10| = |5| · |2|

10 = 10

3.El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.

  

|a + b| ≤ |a| + |b| |5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)| |3| = |5| + |2| d(−5, 4) = |4 − (−5)| = |4 + 5| = |9|

3≤7

Potencias Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.

Los elementos que constituyen una potencia son: La base de la potencia es el número que multiplicamos por sí mismo El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base Propiedades: 

Un número elevado a 0 es igual a 1

Ejemplo: 5 0 = 1 

Un número elevado a 1 es igual a sí mismo

Ejemplo: 

Producto de potencias con la misma base

Ejemplo: 

51 = 5

2 5 · 2 2 = 2 5 +2 = 2 7

División de potencias con la misma base

Ejemplo:

25 : 22 = 2 5 − 2 = 2 3

Potencia de una potencia



Ejemplo:

(2 5 ) 3 = 2 15

Producto de potencias con el mismo exponente



Ejemplo:

2 3 · 4 3 = (2 · 4) 3 =8 3

Cociente de potencias con el mismo exponente



Ejemplo:

6

3

: 3

3

3

= (6:2 ) =2

3

R ad i cale s

Cuando no puedes simplificar un número para quitar una raíz cuadrada (o una raíz cúbica, etc.) entonces es un radical. Se puede expresar un radical en forma de potencia:

Ejemplo:

Propiedades: Radicales equivalentes

Utilizando la notación de exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones que dice que si se multiplica numerador y denominador por un mismo número la fracción es equivalente, obtenemos que:

Simplificación de radicales Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado.

Reducción de radicales a índice común 1Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice 2Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.

Extracción de factores fuera del signo radical Se descompone el radicando en factores. Si: Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando. Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando. Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando. Introducción de factores fuera del signo radical Se introducen los factores elevados al índice correspondiente del radical....