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Cosenos y ángulos directores...

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Cálculo B DFM-UASLP

Ángulos, Cosenos y números directores de una recta “𝒍” Ángulos directores de una recta en el espacio 𝛼, 𝛽, 𝛾 se llaman ángulos directores. Son los ángulos que la recta 𝒍 forma con la dirección positiva de los ejes 𝑥, 𝑦, 𝑧 respectivamente.

𝑆𝑖 𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑡á𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑝𝑙𝑎𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠. Tales rectas pueden cortarse o no; si no se cortan, se dice que son paralelas. Por lo tanto, para que dos rectas cualesquiera en el espacio se corten o sean paralelas, es necesario que sean coplanarias. Consecuentemente, dos rectas cualesquiera en el espacio que no sean coplanarias no pueden cortarse ni ser paralelas; se llaman entonces rectas que se cruzan. M.E.M. Claudia Alicia Méndez Hernández

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Cálculo B DFM-UASLP Se llama ángulo de dos rectas que se cruzan al formado por dos rectas cualesquiera que se cortan y son paralelas, respectivamente, a las rectas dadas y tienen el mismo sentido.

Si la recta 𝒍 no pasa por el origen, se traza una recta paralela y del mismo sentido que ella, llamada 𝒍′

Entonces los ángulos 𝛼, 𝛽, 𝛾 formados por las partes positivas de los ejes 𝑥, 𝑦, 𝑧 y la recta 𝒍′ se llaman ángulos directores de la recta 𝒍.

Un ángulo director puede tener cualquier valor desde 0° hasta 180°.

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Cosenos directores de una recta en el espacio 𝑥 cos 𝛼 = 𝑑 𝑦 cos 𝛽 = 𝑑 𝑧 cos 𝛾 = 𝑑

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 Cosenos directores de la recta 𝑃 1 𝑃2 Dados los puntos:

𝑃1 (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 )

𝑃2 (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) Obtenemos la distancia entre ellos: 𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 + (𝑧2 − 𝑧1 )2

Sus cosenos directores se obtienen:

(𝑥2 − 𝑥1 ) ( 𝑦2 − 𝑦1 ) cos 𝛼 = cos 𝛽 = 𝑑 𝑑

( 𝑧2 − 𝑧1 ) cos 𝛾 = 𝑑

Dos rectas son paralelas si sus cosenos directores son iguales e inversamente. Ejemplo Calcule los cosenos directores de la recta que pasa por:

𝑃1 (1, −3, −2) 𝑃2 (2,1, −5)

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Cálculo B DFM-UASLP Obtenemos la distancia entre los dos puntos: 𝑑 = √(2 − 1)2 + (1 + 3)2 + (−5 + 2)2 𝑑 = √(1)2 + (4)2 + (−3)2 𝑑 = √1 + 16 + 9 𝑑 = √26

Obtenemos los cosenos directores:

cos 𝛼 =

(2 − 1)

cos 𝛼 =

√26 1

√26

cos 𝛽 = cos 𝛽 =

(1 + 3) √26 4

√26

cos 𝛾 =

(−5 + 2)

cos 𝛾 =

√26 −3

√26

Tarea

 1) Calcule los cosenos directores de la recta que pasa de 𝑃 2 𝑃1 del ejemplo anterior. 2) Encontrar los cosenos directores de la recta que pasa por los 𝑃2 𝑃1 puntos 𝑃1 (2,1, −2) y 𝑃2 (−2,3,3) dirigida de 

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Teorema La suma de los cuadrados de los cosenos directores de cualquier recta es igual a la unidad.

Ejemplo

𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛾 = 1

Dos de los cosenos directores de una recta son el tercer coseno director.

2

3

𝑦

−1 . 3

Encontrar

Utilizando el Teorema anterior sustituimos en dos de los cosenos directores (cualesquiera):

𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛾 = 1 2 2 −1 2 ( ) + ( ) + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛾 = 1 3 3

Despejamos el tercer coseno director:

4 1 =1− − 9 9 9 5 2 𝑐𝑜𝑠 𝛾 = − 9 9

𝑐𝑜𝑠 2 𝛾

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4 𝑐𝑜𝑠 𝛾 = 9 2

Sacamos raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación:

Tarea

2 𝑐𝑜𝑠𝛾 = ± 3

1) Dos de los cosenos directores de una recta son Encontrar el tercer coseno director.

1

√2

𝑦

1 . √3

Números directores de una recta en el espacio En lugar de los cosenos directores de una recta 𝑙, a veces conviene emplear tres números reales, llamados números directores de 𝒍, que sean proporcionales a sus cosenos directores. Así a, b y c son los números directores de una recta 𝒍, siempre que:

𝑏 𝑐 𝑎 = = 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑐𝑜𝑠𝛾 En donde 𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑐𝑜𝑠𝛽, 𝑐𝑜𝑠𝛾 son los cosenos directores de 𝒍. Si a, b, c representan a los números directores de una recta, su representación sería:

[𝒂, 𝒃, 𝒄]

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Cálculo B DFM-UASLP Los cosenos directores de una recta pueden determinarse fácilmente a partir de sus números directores. Igualamos cada una de las razones a algún número k diferente de cero, de modo que: 𝑎 = 𝑘; 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑏 = 𝑘; 𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑐 = 𝑘; 𝑐𝑜𝑠𝛾

𝑎 = 𝑘𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑏 = 𝑘𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑐 = 𝑘𝑐𝑜𝑠𝛾

Si sumamos los números directores elevándolos al cuadrado, podemos obtener: 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 = 𝑘2 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 + 𝑘 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 + 𝑘2 𝑐𝑜𝑠 2 𝛾 Sacamos el factor común: 𝑎 2 + 𝑏2 + 𝑐 2 = 𝑘2 (𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛾) Sustituimos 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛾 = 1:

Donde:

𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = 𝑘 2 𝑘 = ±√𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2

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Teorema Si [𝒂, 𝒃, 𝒄] son los números directores de una recta, sus cosenos directores son: 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = ± 𝑐𝑜𝑠𝛽 = ± 𝑐𝑜𝑠𝛾 = ±

𝑎

√𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐 2 𝑏

√𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐 2 𝑐

En donde se escoge el signo superior o el inferior según que la recta esté dirigida en un sentido o en el sentido opuesto

√𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐 2

Un sistema de números directores para la recta que pasa por los puntos 𝑃1 (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) y 𝑃2 (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) está dado por: [(𝑥2 − 𝑥1 ), (𝑦2 − 𝑦1 ), (𝑧2 − 𝑧1 )]

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Ejemplo Los números directores de una recta 𝒍 son [2, −2, −1]. Encontrar los cosenos directores de 𝒍 , si la recta está dirigida de tal manera que el ángulo 𝜷 es agudo. Calculamos los tres cosenos directores:

𝑐𝑜𝑠 𝛼 = ± 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = ± 𝑐𝑜𝑠 𝛾 = ±

2

√(2)2 + (−2)2 + (−1)2 −2

√(2)2 + (−2)2 + (−1)2

=± =±

2

√4 + 4 + 1 −2

√4 + 4 + 1

=±

2 3

=∓

2 3

−1

1 −1 =∓ =± 3 √4 + 4 + 1 √(2)2 + (−2)2 + (−1)2

Como 𝒍 está dirigida de tal manera que 𝛽 debe de ser agudo,

entonces 𝑐𝑜𝑠 𝛽 debe de ser positivo.

2 3 2 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = 3 1 𝑐𝑜𝑠 𝛾 = 3

𝑐𝑜𝑠 𝛼 = −

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Tarea 1)Los números directores de una recta 𝒍 son [−1, −1,3]. Encontrar los cosenos directores de 𝒍 , si la recta está dirigida de tal manera que el ángulo 𝜶 es agudo. 2)Ejercicios Grupo 50 página 326 del Libro Geometría Analítica de Lehmann Editorial Limusa. 7, 11, 14, 18 3)Ejercicios Grupo 51 página 332 del Libro Geometría Analítica de Lehmann Editorial Limusa. 1, 2, 6, 7, 16

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