Ejercicios de angulos congruentes PDF

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Ejercicios del 1 al 20 realizado de la mejor manera y entendibles...

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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE FILOSOFIA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN CARRERA DE PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES MATEMATICA Y FISICA Nombre: Kevin Cotto

Curso y Paralelo: 2do”. A.”

Fecha: 08/07/2021

Materia: Geometria Plana

Profesor: Msc. Miguel A. Lema P. Trabajo Individual No: 4

Hemisemestre No: 1

Unidad: Elementos de la GeometriaTema: Ángulos en un rectángulo

Ejercicios Propuestos

PROPOSICIONES BDE  = 30°; DE ∥ CB; ⊿ACB  + B +  = 180° BDE  = 1 = 30°  + 2(30°) + 90° = 180°  = 30°

RAZONES Hipótesis Suma de ángulos internos ∆𝐴𝐶B Ángulos alternos internos en paralelas Sustitución de 1 y 3 en 2 Transposición de términos, Def. CS

PROPOSICIONES 𝐴 = 50°;  = 80°; 𝐴𝐶𝐸  = 70°; 𝐶𝐵𝐴  = 30°

RAZONES Hipótesis

𝐴 + 𝐴𝐶𝐸  + 𝐶𝐸𝐴  = 180°

Suma de ángulos internos ∆𝐴𝐶E

50° + 70° + 𝐶𝐸𝐴  = 180°

Sustitución De 1 en 2

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE FILOSOFIA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN CARRERA DE PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES MATEMATICA Y FISICA 𝐶𝐸𝐴  = 60°

Transposición de términos

𝐶𝐸𝐴  = 𝐸𝐵  = 60°

Ángulos opuestos por el vértice

𝐸𝐵  +  + 𝐸𝐵  = 180°

Suma de ángulos internos ∆𝐸B

60° + 80° + 𝐸𝐵  = 180°

Sustitución de 1 y 5 en 6

𝐸𝐵  = 40° 𝐸𝐵  = 40°; 𝐶𝐸𝐴  = 60°

Transposición de términos Def. CS.

PROPOSICIONES 𝐶𝐴𝐹  = 115°; 𝐶𝐵  = 35°

RAZONES Hipótesis

𝐶𝐵  + 𝐴𝐶𝐵  = 𝐶𝐴𝐹 

Teorema 2 en ∆𝐴𝐶𝐵

35° + 𝐴𝐶𝐵  = 115°

Sustitución De 1 en 2

𝐴𝐶𝐵  = 80° 𝐵𝐸𝐶  + 𝐸𝐵𝐶  + 𝐸𝐶𝐵  = 180°

Transposición de términos Suma de ángulos internos ∆𝐶𝐸𝐵

90° + 𝐶𝐵  + 𝐵𝐸  + 40° = 180°

Sustitución de 1 y 4 en5

𝐵𝐸  = 180° − 90° − 40° − 35°

Sustitución de 1 en 6, transposición de términos

𝐵𝐸  = 15°

Def. CS

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE FILOSOFIA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN CARRERA DE PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES MATEMATICA Y FISICA

PROPOSICINES 𝐵 = 40°; 𝐹 = 80°; 𝐶𝐵  = 90°

RAZONES Hipótesis

𝐵 + 𝐶𝐵  + 𝐶𝐵  = 180°

Suma de ángulos internos ∆𝐶B

40° + 90° + 𝐶𝐵  = 180°

Sustitución De 1 en 2

𝐶𝐵  = 50° 𝛽󰆹 = 90° + 𝛽󰆹 = 90° +

𝐵 2

40° 2

𝛽 = 110° 𝐵𝐸  = 15°  𝐷𝐶𝐵 2

+ 𝐹 = 𝛼

25° + 80° = 𝛼

PROPOSICIONES

Transposición de términos Teorema 6 ∆𝐶𝐵 Sustitución de 1 en5 Simplificación, Términos semejantes Def. CS. Teorema 2 ∆𝐶𝛼F Sustitución 1 y 4 en 9

RAZONES

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE FILOSOFIA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN CARRERA DE PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES MATEMATICA Y FISICA 𝐴 = 40°; 𝐹 = 100°; 𝐴𝐶  = 90°

Hipótesis

𝐴 + 𝐴𝐶  + 𝐴𝐶  = 180°

Suma de ángulos internos ∆𝐴𝐶

40° + 90° + 𝐴𝐶  = 180°

Sustitución De 1 en 2

𝐴𝐶  = 50° x = 90° + x = 90° +

 A 2

40° 2

Transposición de términos Teorema 6 ∆𝐶𝐵 Sustitución de 1 en5 Simplificación, Términos semejantes

𝑥 = 110°  ACD + F = ŷ 2 25° + 80° = ŷ 𝑦 = 105°

Teorema 2, ∆𝐶𝑦F Sustitución 1 y 4 en 8 Términos semejantes, Def. CS

𝑦 = 105°; 𝑥 = 110°

LQQD

PROPOSICIONES 𝐶𝐴  = 20°; 𝐼 = 100° I󰆹 = 90° +

 BCA 2

100° = 90° +

 BCA 2

𝐵𝐶𝐴  = 20° 𝐵𝐴𝐶  + 𝐶𝐵𝐴 +  𝐵𝐶𝐴  = 180° 20° + 𝐶𝐵𝐴 + 40° = 180° 𝐶𝐵𝐴  = 120°

RAZONES Hipótesis Teorema 6 en ∆𝐴𝐶B Sustitución De 1 en 2 CS Suma de Ángulos internos ∆𝐴𝐶B Sustitución de 1 y 4 en5 transposición de términos

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE FILOSOFIA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN CARRERA DE PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES MATEMATICA Y FISICA  E=  =

 CBA 2

Teorema 8 en ∆𝐴𝐶B

120°

Sustitución de 7 en 8

2

𝐸 = 60°

Simplificación, CS

PROPOSICIONES 𝐺 = 90° − 1; 𝐶 = 180° − 4; 𝐻 = 90° − 2 𝐸 + 4 + 22 = 180°

RAZONES Hipótesis Suma de ángulos internos ∆𝐶E

4 = 180° − 90° − 22

Sustitución de 1 en 2

4 = 90° − 22

Términos semejantes

2 = 1 𝐶 = 𝛼 +  + 𝐵 180° − (90° − 22) = 𝛼 + 2 + 2 𝛼 = 90°

Congruencia de triángulos ⊿𝐶𝐸 ≈ ⊿𝐴𝐵C Teorema 4 Sustitución de 4 y 5 en 6 Transposición de términos, Def. CS

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE FILOSOFIA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN CARRERA DE PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES MATEMATICA Y FISICA

PROPOSICIONES 𝐼 𝑖𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 ⊿𝐴𝐵𝐶, 𝐼 = 120° I󰆹 = 90° +

 A 2

120° = 90° +

RAZONES Hipótesis Teorema 6. (Triángulos)

 A

Sustitución de 1 en 2

2

𝐴 = 60°

Transposición de términos, Def. CS

PRPOSICIONES  𝑒𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 ⊿𝐴𝐶𝐸,  = 10° = D

C 2

10° =

RAZONES Hipótesis Teorema 8. (Triángulos)

C 2

𝐶 = 20°

Sustitución de 1 en 2 LQQD

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE FILOSOFIA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN CARRERA DE PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES MATEMATICA Y FISICA

PROPOSICIONES 𝐸 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 ⊿𝐶𝐵; 3 = 𝑏𝑖𝑠𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝐶 = E α =

C 2

RAZONES Hipótesis Teorema 8. (Triángulos)

45°

Sustitución de 1 en 2

2

α = 22,5°

LQQD

PROPOSICIONES F excentro del ⊿ACB; F = 60°; CD󰋀 bisextriz ACB F = 90° −

A 2

60° = 90° −

 A 2

𝐴 = 60°

RAZONES Hipótesis Teorema 7. (Triángulos) Sustitución de 1 en 2 Transposición de términos

𝐴 + 𝐴𝐶𝐸 + 𝐴𝐸𝐶 = 180°

Suma de ángulos internos ⊿𝐴𝐶E

60° + 𝐴𝐶𝐸 + 90° = 180°

Sustitución de 4 en 5

𝐴𝐶𝐸 = 30° 1 = 𝐴𝐶𝐸 + 𝐸

Transposición de términos Suma de ángulos

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE FILOSOFIA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN CARRERA DE PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES MATEMATICA Y FISICA 1 = 30° + 7° 1 = 37°

Sustitución de 7 y 1 en 8 Términos semejantes

𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 180° 60° + 𝛼 + 74° = 180° 𝛼 = 46°

Suma de ángulos internos ⊿𝐴𝐶B Sustitución de 10, 4 en 11 Transposición de términos, Def. CS

PROPOSICIONES 𝐼 𝑖𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 ⊿𝐴𝐵C  + 3 = 90° 1 󰆹I = 90° + I󰆹 = 90° +

C 2

60° 2

𝐼 = 120°

RAZONES Hipótesis Teorema 3. (Ángulos) Teorema 6. (Triángulos) Sustituimos valor de 𝐶 en 3 Términos semejantes

𝐼 = 𝐴𝐼 + 𝐼B

Suma de ángulos

120° = 𝐴𝐼 + 90°

Sustituimos 5 en 6

𝐴𝐼 = 30° 𝐴𝐼 + 𝐴𝐼  + 𝑦 = 180° 30° + 90° + 𝑦 = 180° 𝑦 = 60°

Transposición de términos Suma de ángulos internos ⊿𝐴𝐼D Sustitución de 8 y 2 en 9 Transposición de términos, LQQD

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE FILOSOFIA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN CARRERA DE PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES MATEMATICA Y FISICA

PROPOSICIONES 𝐹 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 ⊿𝐴𝐵𝐶  = 90° + F

C 2

RAZONES Hipótesis Teorema 6

𝐼𝐹 + 𝑥 = 180°

Ángulos suplementarios

𝐹𝑦 + 𝑦 = 180°

Ángulos suplementarios

𝐹 + 𝐼𝐹 + 𝐹𝑦 + 𝐼𝐺 = 360°

Ángulos suplementarios

(90° +  2 ) + (180° − x ) + (180° − ŷ) + 90° = 360°  C 2

+ 180° = x + ŷ

Sustitución de 2,3 y 4 en 5 Transposición de términos, LQQD

PROPOSICIONES 𝐹 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 ⊿𝐴𝐶𝐵; 𝐹 = 55°; 𝐴𝐶𝐸 = 𝐸 F = 90° −

A 2

55° = 90° − 𝐴 = 70°

 A

RAZON Hipótesis Teorema 7. (Triángulos) Sustitución de 1 en 2

2

Transposición de términos

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE FILOSOFIA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN CARRERA DE PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES MATEMATICA Y FISICA 𝐴 + 𝐴𝐶𝐸 + 𝐴𝐸𝐶 = 180°

Suma de ángulos internos ⊿𝐴𝐶E

70° + 𝐴𝐶𝐸 + 90° = 180°

Sustitución de 4 en 5

𝐴𝐶𝐸 = 20°

Transposición de términos

1 = 𝐴𝐶𝐸 + 𝐸

Suma de ángulos

1 = 20° + 20°

Sustitución de 7 y 1 en 8

1 = 40° 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 180° 70° + 𝛼 + 80° = 180° 𝛼 = 30°

Términos semejantes Suma de ángulos internos ⊿𝐴𝐶B Sustitución de 10, 4 en 11 Transposición de términos, Def. CS

PROPOSICIONES 1 + 2 + 3 + 4 = B 5 + 2 + 3 + 𝑦 = 360° 1 + 4 = 5 𝑥 + 𝑦 = 180°

RAZONES Hipótesis Suma de ángulos internos de un paralelogramo Teorema 2 Ángulos suplementarios

1 + 4 + 2 + 3 + 𝑦 = 360°

Sustitución de 3 en 2

𝛽 + 𝑦 = 360°

Sustitución de 1 en 5

𝑦 = 360° − 𝛽

Transposición de términos, CS

180° − 𝑥 = 360° − 𝛽 𝑥 = 𝛽 − 180°

Sustitución 4 en 7 Transposición de términos, CS

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE FILOSOFIA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN CARRERA DE PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES MATEMATICA Y FISICA Referencias: Lema M. (s.f). Proporcionalidad. Recuperado de: Geometría Plana - OneDrive (sharepoint.com)...