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matematicas.unex.es/~fsanchez

Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura

11 · 05 · 2021

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Cálculo I

Números complejos

Números complejos — 1

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Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departa maticas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando San z - Depa maticas.unex.es/~fsanchez Fernando S chez - Departam nto de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando nchez artam to Mate cas xmaticas.unex.es/~fsanchez Fernando nch tam o Mate cas xmaticas.unex.es/~fsanchez Fernando nchez artam to de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sa chez - Departa nto maticas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanc z - Depa mento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez + 1 = 0 o 𝑥 4 + 𝑥 + 6 no Ecuaciones como 𝑥-2 Departamen tienen- solucionesematicas.unex.es/~fsanchez reales. Se puede extender el Fernando Sanchez ematicas concepto número- Departamen real y añadir las raícesematicas de polinomios comoematicas.unex.es/~fsanchez los anteriores. Es un proceso Fernandode Sanchez que llevaráSanchez a la construcción de un cuerpo a R,ematicas.unex.es/~fsanchez en el que ecuaciones como C que contiene Fernando - Departamen ematicas 4 + 𝑥 + 6 = 0 o 𝑥 2 + 1 = 0 sí tengan soluciones. Se llega a construir un cuerpo C en el que 𝑥Fernando Sanchez - Departamen ematicas ematicas.unex.es/~fsanchez todo polinomio tiene- Departamen sus raíces en C (este resultado teorema fundamental del Fernando Sanchez ematicas -se conoce como ematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departamen ematicas ematicas.unex.es/~fsanchez álgebra.) Fernando Sanchez - Departamen ematicas ematicas.unex.es/~fsanchez Suma y producto. En R2 = R × R = {(𝑥, 𝑦) : 𝑥, 𝑦 ∈ R} se definen las operaciones Fernando Sanchez - Departamen ematicas ematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Departamen ematicas.unex.es/~fsanchez – suma:Sanchez (𝑎, 𝑏) +-(𝑐, 𝑑) = (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑) maticas Fernando Sanchez - Departamen maticas ematicas.unex.es/~fsanchez – producto: (𝑎, 𝑏) · (𝑐, 𝑑) = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑, 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐) Fernando Sanchez - Departamen maticas ematicas.unex.es/~fsanchez Sanchez - Departamen maticas ematicas.unex.es/~fsanchez yFernando la inclusión 2 Fernando Sanchez - Departamen 𝑓 : 𝑎 ∈ R −→ maticas ematicas.unex.es/~fsanchez (𝑎, 0) ∈ R Fernando Sanchez - Departamen maticas ematicas.unex.es/~fsanchez que es inyectiva, aunque no es sobreyectiva. Fernando Sanchez - Departamen maticas ematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez Departamento s U (0, 0) como elemento neutro, Es fácil comprobar que la suma es conmutativa, asociativa, tiene amaticas.unex.es/~fsanchez Sanchez - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez (𝑎,-𝑏)Departamento 𝑏) Matematicas yFernando cada elemento tiene a (−𝑎, −de como opuesto. Además, esta suma extiende a la suma Fernando - Departamen Ex ticas.unex.es/~fsanchez de númerosSanchez reales, ya que 𝑓 (𝑎) + 𝑓 (𝑏 ) = 𝑓 (𝑎 + tic 𝑏 ). Fernando Sanchez - Departamen tica x maticas.unex.es/~fsanchez El productoSanchez es conmutativo, asociativo,Matematicas su elemento-unidad es (1, 0) y cada elemento no nulo Fernando - Departamen ematicas.unex.es/~fsanchez (𝑎, 𝑏) tieneSanchez 𝑏 2 ), −𝑏 /(𝑎2 + 𝑏 2 )) como aticas a (𝑎/(𝑎2 -+Departamen inverso. el producto es distributivo con Fernando - UAdemás,atematicas.unex.es/~fsanchez respecto la suma-yDepartamen extiende al producto de números es decir, 𝑓 (𝑎) · 𝑓 (𝑏) = 𝑓 (𝑎 · 𝑏) . FernandodeSanchez Matematicas - reales, tematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departamen Matematicas maticas.unex.es/~fsanchez El cálculo del inverso con el producto es fácil. Dado (𝑎, 𝑏) no nulo, se trata de buscar (𝑥, 𝑦) que Fernando Sanchez - Departamen tic Ex aticas.unex.es/~fsanchez cumpla Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez (𝑎, 𝑏) · (𝑥, 𝑦) = (𝑎𝑥 − 𝑏 𝑦, 𝑎𝑦 + 𝑏𝑥) = (1, 0). Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Por tanto Sanchez - Departamento de (Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez 𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 = - 1UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 = - 0UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez

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Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez yFernando se tiene Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez −𝑏 𝑎 Fernando Sanchez - Departamento - matematicas.unex.es/~fsanchez , 𝑦 =- UEx 𝑥 = de2Matematicas . 2 2 +𝑏 𝑎 + 𝑏- 2matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departamento de𝑎 Matematicas - UEx Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Definición de C. Por todo lo anterior, (R2, +, ·) es un cuerpo conmutativo en el cual (R, +, ·) Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez está sumergido. Este cuerpo (R2, +, ·) se denota mediante C y se llama cuerpo de los números Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez complejos. Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando - Departamento - matematicas.unex.es/~fsanchez 𝑖 = (0, 1 Sanchez ), entonces (𝑎, 𝑏) = (𝑎, 0)de + Matematicas (0, 𝑏) = (𝑎, 0)-+UEx (𝑏, 0) · (0, 1) = 𝑎 + 𝑏𝑖 . Al escribir cada Si Fernando - Departa maticas.unex.es/~fsanchez número deSanchez esta forma, (𝑎, 𝑏) = 𝑎 + 𝑏𝑖, las operaciones quedan como Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez – suma:San (𝑎 + 𝑏𝑖z )- +Depa (𝑐 + 𝑑𝑖 ) = 𝑎 + 𝑐 + (𝑏 + 𝑑)𝑖 Fernando maticas.unex.es/~fsanchez Fernando S chez Departam UEx – producto: (𝑎 +- 𝑏𝑖 ) · (𝑐 + 𝑑𝑖 )nto=de𝑎𝑐Matematicas − 𝑏𝑑 + (𝑎𝑑 +-𝑏𝑐 )𝑖 - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando nchez artam to Mate cas xmaticas.unex.es/~fsanchez 2 = (0 + 1𝑖) · (0 + 1𝑖) = −1. Por ejemplo, 𝑖nch Fernando tam o Mate cas xmaticas.unex.es/~fsanchez Fernando nchez artamcompatible to de Matematicas UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez definir en C un orden, como el Imposibilidad de un orden en C. Es- posible Fernando Sa chez Departa nto maticas.unex.es/~fsanchez lexicográfico, que sea un orden total. Sin embargo, no es posible definir un orden que sea Fernando Sanc z Depa mento de Matematicas UEx matematicas.unex.es/~fsanchez compatible con las operaciones. Se dice que C no es ordenable. Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Para demostrar este- hecho se utilizan propiedades cuerpo ordenado (0 y 1 son el Fernando Sanchez Departamen ematicasde - cualquier ematicas.unex.es/~fsanchez elemento y unidad de las operaciones): Fernandoneutro Sanchez - Departamen ematicas ematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departamen ematicas ematicas.unex.es/~fsanchez • 𝑎 > 0 ⇔ −𝑎 < 0, ya que 𝑎 > 0 ⇒ 𝑎 − 𝑎 > 0 − 𝑎 ⇒ 0 > −𝑎 Fernando Sanchez - Departamen ematicas ematicas.unex.es/~fsanchez Fernando - > 0 ⇒ (−𝑎) ematicas.unex.es/~fsanchez • 𝑎 ≠ 0Sanchez ⇔ 𝑎2 >- Departamen 0, pues 𝑎 > 0 ⇒ 𝑎 · ematicas 𝑎 > 0 y −𝑎 · (−𝑎) > 0 Fernando Sanchez - Departamen ematicas - 2 ematicas.unex.es/~fsanchez • 0 < 1,Sanchez consecuencia de las anterioresematicas pues 0 0, que es falso. Fernando Sanchez - Departamen maticas ematicas.unex.es/~fsanchez Cada Representación gráfica de los números complejos. Fernando Sanchez - Departamen maticas ematicas.unex.es/~fsanchez 𝑎 + 𝑏𝑖 Fernando Sanchez(𝑎, - Departamen maticas - en el ematicas.unex.es/~fsanchez 𝑏) = 𝑎 + 𝑏𝑖 se puede representar número complejo 𝑏 (𝑎, 𝑏) Fernando Sanchez - Departamen ematicas.unex.es/~fsanchez plano. Se llama parte real a Re(𝑎 + 𝑏𝑖 ) = 𝑎 y maticas parte imaginaria 𝜌 maticas ematicas.unex.es/~fsanchez aFernando Im (𝑎 + 𝑏𝑖)Sanchez = 𝑏 . - Departamen Fernando Sanchez - Departamen maticas ematicas.unex.es/~fsanchez 𝜑 El módulo de 𝑎 + 𝑏𝑖 es el número real positivo 𝜌 = |𝑎 + 𝑏𝑖 | = √ Fernando Sanchez Departamento s U maticas.unex.es/~fsanchez 2 2 𝑎 𝑎 + 𝑏 . Este módulo es una extensión del valor absoluto 0 Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx en - matematicas.unex.es/~fsanchez RFernando y conserva sus propiedades. Sanchez - Departamen tic Ex ticas.unex.es/~fsanchez Fernando tica x maticas.unex.es/~fsanchez Se tiene: Sanchez - Departamen Fernando Sanchez - Departamen Matematicas ematicas.unex.es/~fsanchez 1) |𝑎 +Sanchez 𝑏𝑖| ≥ 0-yDepartamen |𝑎 + 𝑏𝑖| = 0 ⇔ 𝑎 + 𝑏𝑖 = aticas 0 Fernando -U atematicas.unex.es/~fsanchez Fernando tematicas.unex.es/~fsanchez 2) |𝑎 +Sanchez 𝑏𝑖 + 𝑐 +-𝑑𝑖Departamen | ≤ |𝑎 + 𝑏𝑖 | + |𝑐Matematicas + 𝑑𝑖 | (desigualdad triangular) Fernando Sanchez - Departamen Matematicas maticas.unex.es/~fsanchez |aticas.unex.es/~fsanchez − (𝑎 + 𝑏𝑖) | = |𝑎 + 𝑏𝑖 | y 3) |(𝑎Sanchez + 𝑏𝑖) · (𝑐- Departamen + 𝑑𝑖) | = |𝑎 + 𝑏𝑖 | · |𝑐 +tic 𝑑𝑖 | , en Ex particular, Fernando −1 −1 |(𝑎Sanchez + 𝑏𝑖) | -=Departamento |𝑎 + 𝑏𝑖| si 𝑎 de + 𝑏𝑖Matematicas ≠0 Fernando - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez Departamento de Matematicas - matematicas.unex.es/~fsanchez La demostración de 1) y 3) es un ejercicio sencillo.- UEx El apartado 2) tiene una interpretación Fernando Sanchez Departamento de Matematicas UEx + 𝑑𝑖 y su suma 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐 + 𝑑𝑖 , se gráfica simple: al dibujar en el plano los elementos𝑎 + 𝑏𝑖, -𝑐matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando - Departamento - UEx matematicas.unex.es/~fsanchez obtiene un Sanchez triángulo. Esta propiedadde2)Matematicas dice que la suma de- dos lados siempre es mayor que el Fernando Sanchez Departamento de Matematicas UEx matematicas.unex.es/~fsanchez otro lado, de ahí el nombre de desigualdad triangular. Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez

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Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Para el apartado 2) se- comienza con ladedesigualdad inicial y se- van escribiendo otras equivalentes: Fernando Sanchez Departamento Matematicas - UEx matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez |𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐 + 𝑑𝑖| ≤ |𝑎 + 𝑏𝑖 | + |𝑐 + 𝑑𝑖 | Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez m √ √ √- UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas 2 2 2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑) ≤ 𝑎 Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez m Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departamento de √ √ 2 2 (𝑎 +- Departamento 𝑐) + (𝑏 + 𝑑) de ≤ Matematicas 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 -+UEx 𝑑 2 + 2- matematicas.unex.es/~fsanchez 𝑎2 + 𝑏 2 𝑐 2 + 𝑑 2 Fernando Sanchez m Matematicas Fernando Sanchez - Departamento de √ √ - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departa maticas.unex.es/~fsanchez 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 ≤ 𝑎2 + 𝑏 2 𝑐 2 + 𝑑 2 Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas UEx matematicas.unex.es/~fsanchez m Fernando San z - Depa 2𝑎𝑏𝑐𝑑 ≤ 𝑎2𝑑 2 + 𝑏 2𝑐 2 maticas.unex.es/~fsanchez Fernando S chez - Departam nto de m Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez 2𝑐 2 − 2𝑎𝑏𝑐𝑑 Fernando nchez artam to xmaticas.unex.es/~fsanchez 0 ≤ Mate 𝑎2𝑑 2 + 𝑏cas Fernando nch tam o m Mate cas xmaticas.unex.es/~fsanchez Fernando nchez artam to 0 de ≤ Matematicas (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐) 2 . - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sa chez - Departa nto maticas.unex.es/~fsanchez Fernando z - Depa mento de Matematicas UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Esta últimaSanc desigualdad es evidentemente cierta, lo -que demuestra que todas lo son. Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departamen ematicas -Si 𝑎 + 𝑏𝑖 ≠ 0,ematicas.unex.es/~fsanchez se llama argumento de 𝑎 + 𝑏𝑖 Escritura en forma polar (módulo-argumento). - Departamen ematicas.unex.es/~fsanchez alFernando número Sanchez real 𝜑 que verifica −𝜋 < 𝜑 ≤ 𝜋 yematicas Fernando Sanchez - Departamen ematicas ematicas.unex.es/~fsanchez √ 2 2 Fernando Sanchez - Departamen ematicas.unex.es/~fsanchez 𝑎 = 𝜌 cos 𝜑 ematicas = 𝑎 + 𝑏- cos 𝜑 √ Fernando Sanchez - Departamen ematicas ematicas.unex.es/~fsanchez 𝑏 = 𝜌 sen 𝜑ematicas = 𝑎2 + 𝑏- 2 sen 𝜑. ematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departamen Fernando Sanchez - Departamen ematicas ematicas.unex.es/~fsanchez Por tanto, cada número 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 puede escribirse como𝑧 = |𝑧| (cos 𝜑 + 𝑖 sen 𝜑). A veces, este Fernando Sanchez - Departamen ematicas ematicas.unex.es/~fsanchez número se escribe como |𝑧|𝜑 , indicando su módulo y su argumento de una forma más corta. Fernando Sanchez - Departamen maticas ematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez Departamen maticas Por ejemplo, el número 1 + 𝑖 tiene módulo 𝜌 = 2 y argumento 𝜑 ematicas.unex.es/~fsanchez = 𝜋/4, es decir, Fernando Sanchez - Departamen ( maticas ematicas.unex.es/~fsanchez √ Fernando Sanchez - Departamen ematicas.unex.es/~fsanchez 1 = 2maticas cos(𝜋/4), √ maticas Fernando Sanchez - Departamen ematicas.unex.es/~fsanchez 1 = 2 sen(𝜋/4). Fernando Sanchez - Departamen maticas ematicas.unex.es/~fsanchez Fernando maticas ematicas.unex.es/~fsanchez Por tanto Sanchez - Departamen √   maticas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departamento s U 1 + 𝑖 = 2 cos (𝜋/4) + 𝑖 sen (𝜋/4) . Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas -√UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departamen tic𝑖 = 2 Ex ticas.unex.es/~fsanchez Este número también puede escribirse como 1 + 𝜋/4 .Fernando Sanchez - Departamen tica x maticas.unex.es/~fsanchez YFernando a la inversa: el número complejo cuyo módulo es 𝜌- = 3 y argumento 𝜑 = 𝜋/6 es Sanchez - Departamen Matematicas ematicas.unex.es/~fsanchez √ Fernando Sanchez - Departamen aticas - U √ atematicas.unex.es/~fsanchez  3 3   3  3 Fernando Sanchez - Departamen 3 + 𝑖 tematicas.unex.es/~fsanchez = + 𝑖. 𝑧 = 3𝜋/6 = 3 cos(𝜋 /6) + 𝑖Matematicas sen( 𝜋 /6) = 2 2 Fernando Sanchez - Departamen Matematicas 2 maticas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departamen tic Ex aticas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - de matematicas.unex.es/~fsanchez 𝑎 + 𝑏𝑖 al número 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑎 − 𝑏𝑖 ; Se llama conjugado Conjugado de un número complejo. Fernando - Departamento de Matematicas - UEx𝜑- matematicas.unex.es/~fsanchez un númeroSanchez y su conjugado tienen argumentos opuestos y −𝜑. Si 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 y 𝑤 = 𝑐 + 𝑑𝑖, FernandoesSanchez - Departamento entonces fácil comprobar que de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez 1) 𝑧 +Sanchez 𝑤 = 𝑧 +𝑤 Fernando - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez 2) 𝑧 · 𝑤 = 𝑧 · 𝑤 - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez 3) 𝑧/𝑤 = 𝑧/𝑤 si 𝑤 ≠ 0

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Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez 4) 𝑧 =Sanchez 𝑧 Fernando - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departamento 𝑧 de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez 5) 𝑧 · Sanchez 𝑧 = |𝑧| 2 , y- Departamento así 𝑧 −1 = para 𝑧 ≠ 0. Fernando |𝑧| 2 de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Potencias y raíces complejas. Para escribir la suma de Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez 𝐴® + 𝐵® y 𝑤 se escriben partes realesdee Matematicas imaginarias -yUEx se - matem 𝐴® = (𝑎, 𝑏) x.es/~fsanchez 𝑧Fernando Sanchezsus - Departamento obtiene la suma: Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez  Fernando 𝑧 =Sanchez 𝑎 + 𝑏𝑖 - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez ⇒ 𝑧 + 𝑤 = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖. Fernando maticas.unex.es/~fsanchez 𝑤 =Sanchez 𝑐 + 𝑑𝑖 - Departa 𝐵® = (𝑐, 𝑑) Fernando Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanrepresenta z - Depala suma de los vectores(𝑎, 𝑏) y maticas.unex.es/~fsanchez Gráficamente 2 Fernando (𝑐, 𝑑) en R S. chez - Departam nto de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez Fernando nchez artam to Mate cas xmaticas.unex.es/~fsanchez Para el producto conviene expresar los números complejos con su módulo y argumento. Se Fernando nch tam o Mate cas xmaticas.unex.es/~fsanchez escriben Fernando nchez artam - matematicas.unex.es/~fsanchez 𝑧 = to𝑎 de + 𝑏𝑖Matematicas = |𝑧| (cos 𝜑- 𝑧UEx + 𝑖 sen 𝜑𝑧 ) Fernando Sa chez - Departa nto maticas.unex.es/~fsanchez = 𝑐 de + 𝑑𝑖Matematicas = |𝑤| (cos -𝜑UEx 𝜑𝑤 ) Fernando Sanc z - Depa 𝑤mento - matematicas.unex.es/~fsanchez 𝑤 + 𝑖 sen Sanchez - Departamento de Matematicas - UEx - matematicas.unex.es/~fsanchez yFernando así Fernando Sanchez - Departamen ematicas ematicas.unex.es/~fsanchez Fernando - )Departamen ematicas ematicas.unex.es/~fsanchez 𝑧 · 𝑤Sanchez = (𝑎 + 𝑏𝑖 · (𝑐 + 𝑑𝑖 ) Fernando Sanchez - Departamen ematicas ematicas.unex.es/~fsanchez = |𝑧| (cos 𝜑𝑧 + 𝑖 sen 𝜑𝑧 ) · |𝑤 | (cos 𝜑𝑤 + 𝑖 sen 𝜑𝑤 ) Fernando Sanchez - Departamen ematicas ematicas.unex.es/~fsanchez   Fernando Sanchez - Departamen ematicas.unex.es/~fsanchez = |𝑧| · |𝑤| cos 𝜑𝑧 cos 𝜑𝑤 − sen 𝜑ematicas 𝜑𝑤 + cos 𝜑𝑧 sen 𝜑𝑤 ) 𝑧 sen 𝜑𝑤 -+ 𝑖 (sen 𝜑𝑧 cos  Fernando Sanchez - Departamen ematicas -  ematicas.unex.es/~fsanchez = |𝑧| · |𝑤| cos(𝜑𝑧 + 𝜑𝑤 ) + 𝑖 (sen(𝜑 𝑧 + 𝜑𝑤 -) Fernando Sanchez - Departamen ematicas ematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departamen ematicas ematicas.unex.es/~fsanchez que dice que el módulo del producto es el producto y el argumento del producto Fernando Sanchez - Departamen maticasde- los módulos ematicas.unex.es/~fsanchez es la suma Sanchez de los argumentos. La última igualdad se debe a propiedades de las funciones seno y Fernando - Departamen maticas ematicas.unex.es/~fsanchez coseno. Fernando Sanchez - Departamen maticas ematicas.unex.es/~fsanchez Fernando Sanchez - Departamen maticas ematicas.unex.es/~fsanchez En particular, Fernando Sanchez - Departamen maticas ematicas.unex.es/~fsanchez 𝑧 2 = |𝑧| 2 (cos 2𝜑𝑧 + 𝑖 sen 2𝜑𝑧 ), Fernando Sanchez - Departamen maticas ematicas.unex...