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Resumo Livro James Stewart...

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UNIÃO DE ENSINO SUPERIOR DE VIÇOSA FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA DE VIÇOSA CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

RESUMO DO LIVRO CÁLCULO 1 JAMES STEWART

VIÇOSA MINAS GERAIS – BRASIL 2017

SUMÁRIO 1. UMA APRESENTAÇÃO DO CÁLCULO...................................................3 1.1. O Problema da Área............................................................................3 1.2 O Problema da Tangente......................................................................3 1.3 Velocidade............................................................................................5 1.4 O Limite de Uma Sequência.................................................................6 2. FUNÇÕES E MODELOS...........................................................................8 2.1 Representações de Funções..............................................................10 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...........................................................13

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1. UMA APRESENTAÇÃO DO CÁLCULO 1.1. O Problema da Área As origens do cálculo remontam à Grécia antiga, pelo menos 2.500 anos atrás, quando foram encontradas áreas usando o chamado “método da exaustão”. É muito mais difícil achar a área de uma figura curva. O método da exaustão dos antigos gregos consistia em inscrever e circunscrever a figura com polígonos e, então, aumentar o número de lados deles. A Figura 1 ilustra esse procedimento no caso especial de um círculo, com polígonos regulares inscritos.

Seja An a área do polígono inscrito com n lados. À medida que aumentamos n, fica evidente que An ficará cada vez mais próxima da área do círculo. Dizemos, então, que a área do círculo é o limite das áreas dos polígonos inscritos e escrevemos 1.2 O Problema da Tangente Considere o problema de tentar determinar a reta tangente t a uma curva com equação y = f(x), em um dado ponto P. O problema está no fato de que, para calcular a inclinação, é necessário conhecer dois pontos e, sobre t, temos somente o ponto P. Para contornar esse problema, determinamos primeiro uma aproximação para m, tomando sobre a curva um ponto próximo Q e calculando a inclinação mPQ da reta secante PQ.

m PQ =

f ( x ) −f (a) Equação(1) x−a

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Figura 2 - A reta tangente em P.

Imagine agora o ponto Q movendo-se ao longo da curva em direção a P, como na Figura 3. Você pode ver que a reta secante gira e aproxima-se da reta tangente como sua posição-limite. Isso significa que a inclinação mPQ da reta secante fica cada vez mais próxima da inclinação m da reta tangente. Isso é denotado por:

Figura 3 - Retas secantes aproximando-se da reta tangente.

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E dizemos que m é o limite de mPQ quando Q tende ao ponto P ao longo da curva. Uma vez que x tende a a quando Q tende a P, também podemos usar a Equação 1 para escrever:

1.3 Velocidade Quando olhamos no velocímetro de um carro e vemos que ele está a 48 km/h, o que essa informação indica? Sabemos que, se a velocidade permanecer constante, após uma hora o carro terá percorrido 48 km. Porém, se a velocidade do carro variar, qual o significado de a velocidade ser, em um dado momento, 48 km/h? Para analisar essa questão, vamos examinar o movimento de um carro percorrendo uma estrada reta e supondo que possamos medir a distância percorrida por ele (em metros) em intervalos de 1 segundo, como na tabela a seguir:

Como primeiro passo para encontrar a velocidade após 4 segundos de movimento, calcularemos qual a velocidade média no intervalo de tempo 4≤t≤8 :

velocidade média=

distância percorrida 43 −10 =8,25 m /s = 8−4 tempo percorrido

Analogamente, a velocidade média no intervalo 4 ≤ t ≤ 6

velocidade média=

é:

25− 10 =7 ,5 m/ s 6−4

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Nossa intuição é de que a velocidade no instante t = 4 não pode ser muito diferente da velocidade média durante um pequeno intervalo de tempo que começa em t = 4. Assim, imaginaremos que a distância percorrida foi medida em intervalos de 0,2 segundo, como na tabela a seguir:

Então, podemos calcular, por exemplo, a velocidade média no intervalo de tempo [4, 5]:

velocidade média=

16,80−10 =6 , 8 m/s 5−4

Os resultados desses cálculos estão mostrados na tabela:

1.4 O Limite de Uma Sequência No século V a.C., o filósofo grego Zenão propôs quatro problemas, hoje conhecidos como Paradoxos de Zenão, com o intento de desafiar algumas das ideias correntes em sua época sobre espaço e tempo. O segundo paradoxo de Zenão diz respeito a uma corrida entre o herói grego Aquiles e uma tartaruga para a qual foi dada uma vantagem inicial. Zenão argumentava que Aquiles jamais ultrapassaria a tartaruga: se ele começasse em uma posição a1 e a tartaruga em t1 (veja a Figura 4), quando ele atingisse o ponto a2 = t1, a tartaruga estaria adiante, em uma posição t2. No momento em que Aquiles atingisse a3 = t2, a tartaruga estaria em t3. Esse processo continuaria indefinidamente e, dessa 6

forma, aparentemente a tartaruga estaria sempre à frente! Todavia, isso desafia o senso comum.

Uma forma de explicar esse paradoxo usa a ideia de sequência. As posições sucessivas de Aquiles e da tartaruga são respectivamente (a1, a2, a3, . . .) e (t1, t2, t3, . . .), conhecidas como sequências. Em geral, uma sequência {an} é um conjunto de números escritos em uma ordem definida. Por exemplo, a sequência:

1 1 1 1 {1, , , , , … } 2 3 4 5 Pode ser descrita pela seguinte fórmula para o n-ésimo termo:

an =

1 n

Podemos visualizar essa sequência marcando seus termos sobre uma reta real, como na Figura 5(a), ou desenhando seu gráfico, como na Figura 5(b). Observe em ambas as figuras que os termos da sequência an = 1/n tornam-se cada vez mais próximos de 0 à medida que n cresce. De fato, podemos encontrar termos tão pequenos quanto desejarmos, bastando para isso tomarmos n suficientemente grande. Dizemos, então, que o limite da sequência é 0 e indicamos isso por:

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2. FUNÇÕES E MODELOS Uma função f é uma lei que associa, a cada elemento x em um conjunto D, exatamente um elemento, chamado f (x), em um conjunto E. Em geral, consideramos as funções para as quais D e E são conjuntos de números reais. O conjunto D é chamado domínio da função. O número f (x) é o valor de f em x e é lido “ f de x”. A imagem de f é o conjunto de todos os valores possíveis de f (x) obtidos quando x varia por todo o domínio. O símbolo que representa um número arbitrário no domínio de uma função f é denominado uma variável independente. Um símbolo que representa um número na imagem de f é denominado uma variável dependente. É útil considerar uma função como uma máquina (veja a Figura 6). Se x estiver no domínio da função f, quando x entrar na máquina, ele será aceito como entrada, e a máquina produzirá uma saída f (x) de acordo com a lei que define a função.

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Outra forma de ver a função é como um diagrama de flechas, como na Figura 7. Cada flecha conecta um elemento de D com um elemento de E. A flecha indica que f (x) está associado a x, f (a) está associado a a e assim por diante.

O método mais comum de visualizar uma função consiste em fazer seu gráfico. Se f for uma função com domínio D, então seu gráfico será o conjunto de pares ordenados. {(x , f ( x ) )|x ϵ D } O gráfico de uma função f nos fornece uma imagem útil do comportamento ou “histórico” da função. Uma vez que a coordenada y de qualquer ponto (x, y) sobre o gráfico é y = f (x), podemos ler o valor f (x) como a altura do ponto no gráfico acima de x (veja a Figura 8). O gráfico de f também nos permite visualizar o domínio de f sobre o eixo x e a imagem sobre o eixo y, como na Figura 9.

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2.1 Representações de Funções É possível representar uma função de quatro maneiras: 

Verbalmente;



Numericamente;



Visualmente;



Algebricamente.

Se uma função puder ser representada das quatro maneiras, em geral é útil ir de uma representação para a outra, a fim de obter um entendimento adicional da função. Exemplo 1 - Quando você abre uma torneira de água quente, a temperatura T da água depende de há quanto tempo ela está correndo. Esboce um gráfico de T como uma função do tempo t decorrido desde a abertura da torneira. SOLUÇÃO: A temperatura inicial da água corrente está próxima da temperatura ambiente, pois ela estava em repouso nos canos. Quando a água do tanque de água quente começa a escoar da torneira, T aumenta rapidamente. Na próxima fase, T fica constante, na temperatura da água aquecida no tanque. Quando o tanque fica vazio, T decresce para a temperatura da fonte de água. Isso nos permite fazer o esboço de T como uma função de t na Figura 10.

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Exemplo 2 - Uma caixa de armazenamento retangular aberta na parte superior tem um volume de 10 m³. O comprimento da base é o dobro de sua largura. O material da base custa $ 10 por metro quadrado, ao passo que o material das laterais custa $ 6 por metro quadrado. Expresse o custo total do material como uma função do comprimento da base. SOLUÇÃO: Fazemos um diagrama como o da Figura 11, com uma notação na qual e são, respectivamente, o comprimento e a largura da base, e h é a altura.

A área da base é para a base é de dois,

( 2 w ) w=2 w2 , assim, o custo do material em dólares

10 (2 w2 ) . Quanto aos lados, dois têm área

2 wh , portanto, o custo total dos lados é

wh

e os outros

6[ 2 (wh )+2 ( 2wh ) ] . Logo, o

custo total é: 2 2 C=10( 2 w ) +6 [ 2 ( wh ) +2 ( 2 wh) ]=20 w +36 wh

Para expressar C como uma função somente de

w

, precisamos

eliminar h, o que é feito usando o volume dado, de 10 m³. Assim: w ( 2 w ) h=10

h=

5 10 = 2w² w²

Substituindo essa expressão na fórmula de C, temos:

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C=20 w2 +36 w

( w5 )=20 w + 180w 2

2

Portanto, a equação:

C ( w) =20 w 2+

180 w>0 w

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS STEWART, J. Cálculo. Vol. 1. 7a ed. São Paulo: Cengage Learning, 2014.

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