EJERCICIOS RESUELTOS DE CALCULO I PDF

Preview

Summary

EJERCICIOS RESUELTOS DE CALCULO I Alvaro Cabrera Javier 4 de septiembre de 2014 Alvaro Cabrera Javier 2 CALCULO I - CHUNGARA ÍNDICE GENERAL Índice general 1. NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES 7 2. VECTORES EN EL PLANO 11 3. GEOMETRIA ANALITICA 19 4. LIMITES 53 5. DERIVADAS 83 6. APLICACIONES DE LAS DER...

Description

EJERCICIOS RESUELTOS DE CALCULO I Alvaro Cabrera Javier 4 de septiembre de 2014

Alvaro Cabrera Javier

2

CALCULO I - CHUNGARA

ÍNDICE GENERAL

Índice general 1. NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES

7

2. VECTORES EN EL PLANO

11

3. GEOMETRIA ANALITICA

19

4. LIMITES

53

5. DERIVADAS

83

6. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

103

7. EXTREMOS DE UNA FUNCION

111

8. INTEGRALES

117

9. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES

137

Alvaro Cabrera Javier

3

CALCULO I - CHUNGARA

ÍNDICE GENERAL

Alvaro Cabrera Javier

4

CALCULO I - CHUNGARA

PREFACE

INTRODUCCION Este solucionario está basado en el libro de APUNTES Y PROBLEMAS DE CALCULO I de VICTOR CHUNGAR CASTRO, EDICION 1993.

Alvaro Cabrera Javier

5

CALCULO I - CHUNGARA

INTRODUCCION

Alvaro Cabrera Javier

6

CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 1. NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES

Capítulo 1 NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES Los teoremas se demuestran usando los axiomas de campo conmutativo de los Números Reales u otros Teoremas ya demostrados. Tales axiomas son: Si, a, b, c 2 R: P1. a+b=b+a Conmutatividad de la suma. P2. (a + b) + c = a+ (b + c) Asociatividad de la suma. P3. a+0=a Existencia de neutro aditivo (0). P4. a + ( a) = 0 Existencia de opuesto ( a). P5. ab = ba Conmutatividad del producto. P6. (ab) c = a (bc) Asociatividad del producto. P7. a1 = a Existencia del neutro multiplicativo (1). 1 P8. aa = 1 Existencia del inverso (a 6= 0). P9. a (b + c) = ab + ac Distributividad del producto. P10. a 2 R+ (a > 0) Tricotomía de los reales. a 2 R (a < 0) a=0 Si: a > 0, b > 0 ) a + b > 0 P11. Clausura de la suma y el producto. ab > 0 P12. 8a 9b=b > a Del supremo. 1. Demostrar los siguientes Teoremas de los Números Reales: a) a + x = b =) x = b b) ( 1) a = c) a (b d)

a

a

c) = ab

ac

( a) = a

e) ab = 0 =) a = 0 ó b = 0 f ) (ab)

1

= a 1b

1

g) a + a = 2a h) a0 = 1, a 6= 0 2. Demostrar los siguientes Teoremas sobre Desigualdades: a) a > b =) a

c>b c 1 1 b) 0 < a < b =) > a b 2 c) 0 < a < b =) a < b2

d) 0 < a < b =) ab > 0 p p e) b > 0, a2 < b () b 0 (x 3) (x 2) > 0 8 CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 1. NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES c) x2

4 0

g) 2x2

3x + 1 < 0

h) 3x2

7x + 2 < 0

i) x2

4x + 4

j ) x2

2x + 1 < 0

0

k) x2 + 9 < 0 l) x4

1 0

q) x4

17x2 + 16

0

r) x3

6x2 + 12x

8 0

t) x5

5x3 + 4x > 0

u) x2 + 1 v) x

4

18x + 40 < 0

0 3

6x + 13x2

w) x3

x 0

12x + 4 < 0 50x + 24 < 0

5. Resolver las siguientes Inecuaciones Cuadráticas a)

3 >1 x Solución. 3 > 1 x 3 x 3

1 > 0 x x

x Alvaro Cabrera Javier

9

3 x

> 0 < 0 CALCULO I - CHUNGARA

b)

4x 3 >2 2x 8 Solución.

4x

c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) ñ) o) p)

4x 3 2x 8 4x 3 2 2x 8 3 4x + 16 2x 8 13 2 (x 4)

> 2 > 0 > 0 > 0

4 4 2x 6 3 >1 x 2 x 2 x < x x 2 1 >1 x 1 x 1 x 3 < x 4 x 2 x 1 x 2 x 2 x 3 >1 x 5 1 2 + >2 x 2 x 1 3x 1

> 5 < 7h 24k + 55 d= > 25 > > > : d = 3h + 4k 5 5

Resolviendo el sistema: d = 10, h = 3 y k = 9. La ecuación buscada es: (x + 3)2 + (y + 9)2 = 102 5 -25

-12.5

0 0

y 12.5

x

-5

-10

-15

-20

-25

Alvaro Cabrera Javier

45

CALCULO I - CHUNGARA

g) Circunscrita al triángulo de lados: x y + 2 = 0; 2x + 3y 1 = 0; 4x + y 17 = 0. Solución. Hallamos los tres puntos donde pasa la circunferencia x y+2=0 2x + 3y 1 = 0 El punto A ( 1; 1). Luego x y+2=0 4x + y 17 = 0 El punto B (3; 5) …nalmente 2x + 3y 1 = 0 4x + y 17 = 0 El punto C (5; 3).Sea la ecuación de la circunferencia: x2 + y 2 + Cx + Dy + E = 0, sustituendo estos tres puntos en esta ecuación: 8 < 2 C +D+E =0 34 + 3C + 5D + E = 0 : 34 + 5C 3D + E = 0

Resolviendo el sistema: C = la circunferencia

8 yE= 5

32 ,D= 5

5x2 + 5y 2

32x

8y

34 . La ecuación de 5

34 = 0

y 5

2.5

0 -10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10 x

-2.5

h) Circunscrita al triángulo de lados: 3x + 2y 13 = 0; x + 2y 3 = 0; x + y 5 = 0. Solución. Hallamos los tres puntos donde pasa la circunferencia 3x + 2y x + 2y

13 = 0 3=0

3x + 2y x+y 46

13 = 0 5=0 CALCULO I - CHUNGARA

El punto A (5; 1). Luego

Alvaro Cabrera Javier

CAPÍTULO 3. GEOMETRIA ANALITICA El punto B (3; 2) …nalmente x + 2y x+y

3=0 5=0

El punto C (7; 2).Sea la ecuación de la circunferencia: x2 + y 2 + Cx + Dy + E = 0, sustituendo estos tres puntos en esta ecuación: 8 < 26 + 5C D + E = 0 13 + 3C + 2D + E = 0 : 53 + 7C 2D + E = 0

Resolviendo el sistema: C = 17, D = 7 y E = 52. La ecuación de la circunferencia x2 + y 2 17x 7y + 52 = 0 y

10

7.5

5

2.5

0 -5

0

5

10

15 x

-2.5

i) Tangente a: 4x + 3y 40 = 0; centro en la intersección de: x + y = 4; x y = 2. Solución. Hallamos el centro x+y =4 x y=2 C (3; 1). Distancia de un punto a una recta 4 (3) + 3 (1) 5 r = 5

r =

40

entonces la circunferencia (x

3)2 + (y

1)2 = 52

19. Hallar la Ecuación General de la Parábola, que satisface los siguientes datos: a) Vértice: (0; 0); foco: (6; 0). Solución. Dada la forma (y y a = 6. Sustituyendo Alvaro Cabrera Javier

h) = 4a (x

h)2 , donde V (h; k) = (0; 0)

y = 24x2 47 CALCULO I - CHUNGARA

y

25

20

15

10

5

0 -1

-0.5

0

0.5

1 x

b) Vértice: (0; 0); foco ( 2; 0). Solución. Dada la forma (y y a = 2. Sustituyendo

k)2 = 4a (x

h)2 , donde V (h; k) = (0; 0)

y2 = 8x p 8x y = y 25

12.5

0 -62.5

-50

-37.5

-25

-12.5

0

x -12.5

-25

c) Vértice: (2; 4); foco (7; 4). Solución. Dada la forma (y k)2 = 4a (x y a = 7 2 = 5. Sustituyendo 4)2 = 10 (x

(y

-2

y

14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 10

-1

-1 -2 -3 -4 -5 -6

0

1

d) Vértice: (3; 1); foco (3; 5). Alvaro Cabrera Javier

h), donde V (h; k) = (2; 4)

2

3

4

5

2)

6

7

8

9

10 x

48

CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 3. GEOMETRIA ANALITICA Solución. Dada la forma (y k) = 4a (x y a = 5 1 = 4. Sustituyendo y

y

h)2 , donde V (h; k) = (3; 1)

3)2 3)2 + 1 48x + 73

1 = 8 (x = 8 (x = 8x2

15

12.5

10

7.5

5

2.5

0 1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5 x

e) Vértice: (3; 2); Directriz: x

1 = 0.

f ) Vértice: (2; 1); Latus rectum entre: (5; 5); (5; 7). g) Foco: (4; 3); Directriz: x + 2 = 0. 20. Hallar Vértice y Foco de las siguientes Parábolas: a) y 2

16x = 0.

b) y 2

8x

c) x2

24y = 0.

d) x2

4x

6y + 17 = 0. 12y + 64 = 0.

21. Hallar la Ecuación General de la Parábola que satisface los siguientes datos: a) Eje paralelo al eje x; pasa por: (3; 6); vértice: (0; 0). b) Eje paralelo al eje y; pasa por: (4; 1); vértice: (0; 0). c) Eje paralelo al eje x; pasa por: (5; 7); (5; 5); (2; 1). d) Eje paralelo al eje y; pasa por: (6; 2); (2; 1); ( 6; 5). e) Eje paralelo al eje x; pasa por: (3; 5); (6; 1); vértice sobre: 2y

3x = 0.

f ) Latus rectum entre: (3; 3); (3; 2). 22. Un cable colgante forma una parábola, las torres de soporte son de 220 m de altura, separadas entre sí por 1500 m. El punto más bajo del cable está a 70 m de altura. Hallar la altura entre el cable y la base a 150 m de una torre. 23. Hallar la ecuación general de la elipse, que satisface los siguientes datos: a) Centro: (0; 0); semiejes: 6; 2. Alvaro Cabrera Javier 49

CALCULO I - CHUNGARA

b) Centro: (2; 1); semiejes: (4; 2). c) Vértices: ( 5; 0); focos ( 3; 0). d) Focos: ( 4; 0); excentricidad: e = 0;8. e) Vértices: ( 8; 0); e = 0;5. f ) Vértices: (0; 10); focos: (0; 8). g) Vértices: (0; 4); e = 0;25. h) Vértices: ( 1; 3), (9; 3); focos: (1; 3), (7; 3). 1 i) Vértices: (1; 2), (7; 2); e = . 3 2 j ) Focos: (3; 1); (7; 1); e = . 3 k) Vértices: (2; 1), (2; 5); focos: (2; 2), (2; 4). p 2 . l) Un foco: ( 1; 1); directriz: x = 0; e = 2 24. Hallar el Centro y Semieje Mayor y Menor de las siguientes Elipses: a) x2 + 9y 2

9 = 0.

b) x2 + 4y 2

2x

24y + 21 = 0.

c) 4x2 + 9y 2

36 = 0.

d) 9x2 + 4y 2

36x

8y

104 = 0.

25. Hallar la ecuación general de la elipse que satisface los siguientes datos: a) Pasa por: (0; 1), (2; 0); Centro: (0; 0). b) Pasa por:

6;

29 , (2; 7), 5

5;

32 , (7; 4). 5

c) Pasa por: (1; 0), ( 1; 1), (2; 2), (0; 4). 26. Un arco de 80 m de base, tiene forma semielíptica, sabiendo que su altura es de 30 m. Hallar la altura cuando se recorre 15 m del centro. 27. Hallar la ecuación general de la hipérbola que satisface los siguientes datos: a) Centro: (0; 0); semieje real e imaginario: 4; 2; Eje paralelo al eje x. b) Centro: (3; 2); semiejes: 6; 3; eje real paralelo al eje x. c) Vértices: ( 5; 0); focos: ( 13; 0). 5 d) Vértices: ( 6; 0); Excentricidad: e = . 3 e) Focos: ( 4; 0); e = 2. f ) Vértices: (0; 3); focos: (0; 5). g) Vértices: (0; 2); e = 1;5. Alvaro Cabrera Javier

50

CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 3. GEOMETRIA ANALITICA h) Vértices: (1; 3), (7; 3); focos: ( 1; 3), (9; 3). i) Vértices: (1; 2); (3; 2); focos: ( 1; 2), (5; 2). j ) Vértices: (2; 3); (6; 3); e = 3. k) Focos: (3; 4), (3; 2); e = 1;5. 28. Hallar el centro y semiejes real e imaginario de las siguientes hipérbolas: a) 4x2

y2

b) 9x2

16y 2

c) 4x2

y 2 + 36 = 0.

d) 4x2

y2

16 = 0. 36x + 128y

796 = 0.

16x + 2y + 19 = 0.

29. Hallar la ecuación de la hipérbola que satisface los siguientes datos: a) Pasa por:

20 ; 4 ; (4; 0); centro: (0; 0). 3

28 52 ; 9 , ( 4; 1), ; 7 . 3 3 p p c) Pasa por: (2; 2), 2 2; 3 , 2 2; 1 , ( 2; 2). 7x d) Vértices: ( 6; 0); asíntotas: y = . 6 e) Centro: (0; 0); latus rectum: 36; c = 12; eje paralelo al eje y. b) Pasa por: (12; 1);

30. Hallar la resolución de los siguientes problemas de geometría analítica. a) Hallar la ecuación de la esfera de radio 4 cuyo centro está en la intersección de las rectas: x + 2y 5 = 0; 2x y 5 = 0. b) Hallar la mínima distancia entre la recta: 3x + 4y 36 = 0; y la circunferencia: x2 + y 2 6x 2y + 6 = 0. Hallar también los puntos de la recta y circunferencia que determinan esa mínima distancia. c) Hallar la ecuación de circunferencia, que pasa por los puntos: ( 1; 1); (8; 2) es tangente a la recta: 3x + 4y 41 = 0. d) Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el centro de la circunferencia x2 + y 2 4x 8y + 11 = 0. Su latus rectum entre (3; 2) y (3; 6). e) Hallar la ecuación de la elipse, cuyo centro coincide con el vértice de la parábola: y 2 12x 2y + 25 = 0. Sus semiejes son: 4; 2. f ) Hallar el lugar geométrico de puntos, que dividen a las ordenadas de los 1 puntos de una circunferencia x2 + y 2 = R2 , en la relación: . 2 g) Un punto P se mueve de manera que el producto de pendientes de las dos rectas que unen al punto P con los puntos …jos ( 2; 1); (6; 5) es constante e igual a 4. Hallar la ecuación del lugar geométrico. Alvaro Cabrera Javier 51 CALCULO I - CHUNGARA

h) La órbita de la tierra es una elipse, en uno de sus focos está el sol; el semieje mayor es de 148;5 106 km, su excentricidad 0;017. Hallar la máxima distancia entre la tierra y el sol. i) Hallar el lugar geométrico de los puntos, cuya distancia al punto …jo 3 8 (0; 6) sea de la correspondiente distancia a la recta y = 0. 2 3

Alvaro Cabrera Javier

52

CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 4. LIMITES

Capítulo 4 LIMITES Hallar los siguientes Límites Algebraicos con radicales 9 x p x !9 3 x Solución.

1. l m

p 2 32 ( x) p lm x !9 3 x p p (3 x) (3 + x) p = lm x !9 3 x p p = l m 3 + x = 3 + 9 = 6==

9 x p = lm x !9 3 x

x !9

p

x 2 x !4 x 4 Solución.

2. l m

p

p

x 2 lm = x !4 x 4

2

p

x 2 p lm p 2 = lm p x !4 ( x) 22 x !4 ( x 2) ( x + 2) 1 1 1 = lm p =p = == x !4 x + 2 4 4+2

p

x+8 3 x !1 x 1 Solución. p x+8 3 = lm x !1 x 1

3. l m

x

p

p p 2 32 x+8 3 x+8+3 x+8 p p lm = lm x !1 x !1 (x (x 1) x + 8 + 3 1) x + 8 + 3 x 1 x+8 9 p p = lm = lm x !1 (x x !1 (x 1) x + 8 + 3 1) x + 8 + 3 1 1 1 = lm p =p = == x !1 x + 8 + 3 6 9+3

x 2 x !2 x + 2 2 Solución.

4. l m p

p (x 2) x + 2 + 2 p lm p x !2 x+2 2 x+2+2 p p (x 2) x + 2 + 2 (x 2) x + 2 + 2 = lm = lm p 2 x !2 x !2 x+2 4 x+2 22 p p (x 2) x + 2 + 2 x+2+2 = lm = lm x !2 x !2 x 2 p = 4 + 2 = 4== Alvaro Cabrera Javier 53 CALCULO I - CHUNGARA x 2 lm p = x !2 x + 2 2

p

x+1 x !3 3 x Solución. p x+1 2 = lm x !3 3 x

5. l m

2

p x+1 2+ x+1 p lm x !3 (3 x) 2 + x + 1 p 2 22 x+1 4 x 1 p p = lm = lm x !3 (3 x !3 (3 x) 2 + x + 1 x) 2 + x + 1 3 x 1 p p = lm = lm x !3 (3 x !3 x) 2 + x + 1 2+ x+1 1 1 p = = == 4 2+ 3+1 2

p

x+7 3 x !2 x2 4 Solución. p x+7 3 lm = x !2 x2 4

6. l m

= = = = =

x

p x+7 3 x+7+3 p lm x !2 (x 2) (x + 2) x + 7 + 3 p 2 32 x+7 p lm x !2 (x 2) (x + 2) x + 7 + 3 x+7 9 p lm x !2 (x 2) (x + 2) x + 7 + 3 x 2 p lm x !2 (x 2) (x + 2) x + 7 + 3 1 1 p p = lm x !2 (x + 2) x+7+3 (2 + 2) 2 + 7 + 3 1 1 = == (4) (6) 24 p

p

x+6 x !3 x 3 Solución. p x x+6 lm = x !3 x 3

7. l m

p

p x+6 x+ x+6 p lm x !3 (x 3) x + x + 6 p 2 x2 x+6 x2 x 6 p p = lm = lm x !3 (x x !3 (x 3) x + x + 6 3) x + x + 6 (x 3) (x + 2) x+2 p p = lm = lm x !3 (x x !3 x + 3) x + x + 6 x+6 3+2 5 5 p = = = == 3+3 6 3+ 3+6 Alvaro Cabrera Javier 54 CALCULO I - CHUNGARA x

p

CAPÍTULO 4. LIMITES p

5x + 4 x !1 x 1 Solución. p 5x + 4 lm x !1 x 1

8. l m

3

3

= = = =

p

x+2 2 3x + 2 Solución. p x+2 2 lm 2 = x !2 x 3x + 2

9. l m

p

p 5x + 4 3 5x + 4 + 3 p lm x !1 (x 1) 5x + 4 + 3 p 2 5x + 4 32 5x + 4 9 p p = lm lm x !1 (x x !1 (x 1) 5x + 4 + 3 1) 5x + 4 + 3 5x 5 5 (x 1) p p lm = lm x !1 (x x !1 (x 1) 5x + 4 + 3 1) 5x + 4 + 3 5 5 5 5 =p lm p = == =p x !1 5x + 4 + 3 6 9+3 5 (1) + 4 + 3

x !2 x2

= = = =

2 10. l m x !3 1

lm

p

x !2 (x

lm

x !2 (x

lm

x !2 (x

lm

x !2 (x

lm

x !2 (x

p x+2 2 x+2+2 p 2) (x 1) x + 2 + 2 p 2 x+2 22 p 2) (x 1) x + 2 + 2 x+2 4 p 2) (x 1) x + 2 + 2 x 2 p 2) (x 1) x + 2 + 2 1 1 1 p p = = == 4 1) x + 2 + 2 (2 1) 2 + 2 + 2

p x+1 p x 2

Solución. p 2 x+1 p lm = x !3 1 x 2

p p p 2 x+1 2+ x+1 1+ x 2 p p p lm x !3 1 x 2 1+ x 2 2+ x+1 h i p p 2 2 x+1 2 1+ x 2 i = lm h p p 2 x !3 2+ x+1 12 x 2 p p [4 x 1] 1 + x 2 [3 x] 1 + x 2 p p = lm = lm x !3 [1 x !3 [3 x + 2] 2 + x + 1 x] 2 + x + 1 p p 1+ x 2 1+ 3 2 1 p p = lm = = == x !3 2 + 2 x+1 2+ 3+1 Alvaro Cabrera Javier 55 CALCULO I - CHUNGARA

p x 1 1 11. l m p x !2 x + 7 3 Solución. p x 1 lm p x !2 x + 7

p

2x + 1 12. l m x !4 x Solución. p 2x + 1 lm x !4 x

p

p p p x 1 1 x 1+1 x+7+3 p p lm p x !2 x+7 3 x+7+3 x 1+1 i p h p 2 x 1 12 x+7+3 i p = lm h p 2 x !2 x+7 32 x 1+1 p p [x 2] x + 7 + 3 x+7+3 p = lm p = lm x !2 x !2 [x 2] x 1 + 1 x 1+1 p 2+7+3 6 = p = = 3== 2 2 1+1

1 = 3

x+5

4 p

x+5

4

= = = = =

p 3x x+8 p 13. l m x !1 2x x+3 Solución. p 3x x+8 p lm = x !1 2x x+3 =

= = = Alvaro Cabrera Javier

p

p p p 2x + 1 x+5 2x + 1 + x + 5 p p lm x !4 (x 4) 2x + 1 + x + 5 p p 2 2 2x + 1 x+5 p p lm x !4 (x 4) 2x + 1 + x + 5 2x + 1 x 5 p p lm x !4 (x 4) 2x + 1 + x + 5 x 4 p p lm x !4 (x 4) 2x + 1 + x + 5 1 1 1 p lm p = == =p p x !4 2x + 1 + 6 x+5 2 (8) + 1 + 4 + 5

p p p 3x x + 8 3x + x + 8 2x + x + 3 p p p lm x !1 2x x + 3 2x + x + 3 3x + x + 8 h i p p 2 (3x)2 x+8 2x + x + 3 i lm h p p 2 x !1 x+3 3x + x + 8 (2x)2 p (9x2 x 8) 2x + x + 3 p lm x !1 (4x2 x 3) 3x + x + 8 p (x 1) (9x + 8) 2x + x + 3 p lm x !1 (x 1) (4x + 3) 3x + x + 8 p p (9x + 8) 2x + x + 3 (9 + 8) 2 + 1 + 3 34 p p lm = = == x !1 (4x + 3) 3x + 21 x+8 (4 + 3) 3 + 1 + 8 56 CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 4. LIMITES p

x2 + 5 3 x !2 x 2 Solución. p x2 + 5 3 lm = x !2 x 2

14. l m

lm

p

x2 + 5 (x p

x !2

2)

3 p

p

x2 + 5 + 3

x2 + 5 + 3

2

x2 + 5 32 x2 + 5 9 p p = lm = lm x !2 (x x !2 (x 2) x2 + 5 + 3 2) x2 + 5 + 3 x2 4 (x 2) (x + 2) p p = lm = lm x !2 (x x !2 (x 2) x2 + 5 + 3 2) x2 + 5 + 3 2+2 2 x+2 =p = == = lm p 2 2 x !2 x + 5 + 3 3 2 +5+3 p p 2x 1 x+4 p 15. l m p x !5 2x 6 x 1 Solución. p p p p p p 2x 1 x+4 2x 1 + x + 4 2x 6 + x 1 p p p p p = lm p x !5 2x 6 x 1 2x 6 + x 1 2x 1 + x + 4 p p p 2 p 2 2x 1 x+4 2x 6 + x 1 = lm p p p 2 2 p x !5 2x 6 x 1 2x 1 + x + 4 p p (2x 1 x 4) 2x 6 + x 1 p p = lm x !5 (2x 6 x + 1) 2x 1 + x + 4 p p (x 5) 2x 6 + x 1 p p = lm x !5 (x 5) 2x 1 + x + 4 p p p p 2 (5) 6 + 5 1 2x 6 + x 1 2+2 2 p = lm p =p = = == p x !5 2x 3+3 3 1+ x+4 2 (5) 1 + 5 + 4 1 x p 3 x !1 1 x Solución.

16. l m

lm

1

x !1 1

x p = 3 x

(1 lm

x !1

(1 (1

=

lm

x !1

(1 = = Alvaro Cabrera Javier

p p 3 x) 1 + 3 x + x2 p p p 3 3 x) 1 + 3 x + x2 p p 3 x) 1 + 3 x + x2 p 3 1 ( 3 x) p p 3 x) 1 + 3 x + x2

lm

x ...