Ejercicios resueltos de calculo de primitivas -bachillerato PDF

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CÁLCULO DE PRIMITIVAS Ejercicio nº 1.Halla las siguientes integrales: a)

∫ x (x + 1)

2

dx

b)

cos 2 x dx 3 2x

∫ sen

Ejercicio nº 2.Calcula estas integrales: a)

∫

2x − x dx x2

b)

∫

x + lnx dx x

Ejercicio nº 3.Calcula las siguientes integrales:

a)

∫ (2 + 3 x ) dx 2 2

b)

∫

cos( lnx) dx x

Ejercicio nº 4.Halla las integrales siguientes: a)

∫

5   3 +   dx 2 x + 1 1 4 + x 

e tgx dx cos 2 x

b)

∫

b)

∫ cos

Ejercicio nº 5.Halla las integrales siguientes: a)



3

∫  1+ x

2

+

5   dx 4x + 1 

e tgx 2

x

dx

Métodos de integración Ejercicio nº 6-

Calcula esta integral, haciendo el cambio

∫x

2

1+ x = t :

1 + x dx

Ejercicio nº 7.Resuelve estas integrales: a)

∫ (2 + 3 x )senx dx

Ejercicio nº 8.Halla la siguiente integral:

∫

x 2 − 5x + 9 dx x 2 − 5x + 6

b)

∫3 x

2

· arctgx dx

Ejercicio nº 9.Halla la integral:

∫x

2

2x dx + 2x + 17

Ejercicio nº 10.Resuelve, utilizando la sustitución e2x

∫

e x + 1 = t , la siguiente integral:

dx

e x +1

Ejercicio nº 11.Calcula las siguientes integrales: a)

∫ (x

2

)

+ 1 e x dx

b)

∫ (x − 1) cosx dx

Ejercicio nº 12.Resuelve:

∫

x4 +2x − 6 dx x 3 + x 2 − 2x

Ejercicio nº 13.Resuelve la integral:

∫x

2

dx + 6x + 34

Ejercicio nº 14.Halla la siguiente integral, haciendo el cambio x = sen t: x2 dx

∫

1 −x

1 cos 2 x   2  Recuerda que sen x = − 2  2 

2

Ejercicio nº 15.Hallas las integrales: a)

∫ (x + 5)cosx dx

Ejercicio nº 16.Calcula la integral:

∫x

dx 3

2

−2 x + x

Ejercicio nº 17.Calcula:

∫

x2 + x + 6 dx x2 +5

b)

∫ (x

2

)

+ 2x lnx dx

Ejercicio nº 18.-

Calcula la siguiente integral, utilizando la sustitución dx

∫x

x −1

Ejercicio nº 19.Calcula las integrales: a) xcos(3x )dx

∫

b)

∫ (x + 1)lnx dx

Ejercicio nº 20.Calcula:

∫

x3 −1 dx x 3 − 4x

Ejercicio nº 21.Calcula esta integral:

∫x

2

x dx + 2x + 2

Ejercicio nº 22.Resuelve mediante el método se sustitución: 1+ x

∫ 1+

dx

x

(Haz

x = t)

Ejercicio nº 23.Resuelve las siguientes integrales: a)

∫ (x

2

)

x

+ x + 1 e dx

b)

Ejercicio nº 24.Resuelve esta integral:

∫

5 x 3 − 25 x 2 + 20x + 1 dx x3 − 5 x2 + 4 x

Ejercicio nº 25.Resuelve la siguiente integral:

∫x

2

dx + 2x + 5

∫x

2

lnx dx

x −1 = t :

SOLUCIONES CÁLCULO DE PRIMITIVAS Ejercicio nº 1.Halla las siguientes integrales: a)

∫ x (x + 1)

2

cos 2 x dx 3 2x

∫ sen

b)

dx

Solución: a)

b)

∫

x( x+ 1) dx =

∫

cos2 x dx = sen 3 2x

2

∫ (

)

x x2 + 2 x + 1 dx =

∫

=

∫( x

3

cos2 x· ( sen2 x) dx = −3

)

2 + 2 x + x dx =

x 4 2x 3 x 2 + + +k 3 2 4

1 1 ( sen 2 x) − 2 −3 +k = 2 cos2 x (sen 2 x ) dx = 2 2 −2

∫

−1 +k 4 sen2 2x

Ejercicio nº 2.Calcula estas integrales: a)

∫

2x − x dx x2

b)

∫

x + lnx dx x

Solución: 2  − x x x2 

−

a)

∫

b)

∫

x + lnx ln 2x 1    lnx  dx = 1 + +k  dx = 1 + · lnx  dx = x + x x  x 2   

∫

1

3 2   −   dx =  2 − x 2  dx = 2 ln x − x + k = 2 ln x + 2 + k  x  −1 x    2

2x − x dx = x2

∫

∫

∫

Ejercicio nº 3.Calcula las siguientes integrales:

a)

∫ (2 + 3 x ) dx 2 2

b)

∫

cos( lnx) x

dx

Solución: a)

∫ (2 + 3x ) dx =∫ (4 + 9x

b)

∫

2 2

cos (lnx ) dx = x

1

4

+ 12x

2

) dx = 4x + 95x

∫ x · cos( lnx) dx = sen (lnx) + k

5

+

12 x 3 9x 5 3 +k = + 4 x + 4x + k 3 5

Ejercicio nº 4.Halla las integrales siguientes: a)

∫

5   3  dx  + 2 4x + 1   1+ x

b)

∫

e tgx dx cos 2 x

Solución: a)

b)



3

∫  1+ x

∫

2

+

5  1 5  dx = 3 2 dx + 4x + 1 4 1+ x

∫

4

5

∫ 4x + 1 dx = 3arctgx + 4 ln 4x + 1 + k

e tgx 1 dx = · etgx dx = etgx + k 2 cos x cos 2 x

∫

Ejercicio nº 5.Halla las integrales siguientes: a)

∫

5   3  dx  2 + + 1 4 x x 1 + 

b)

∫

e tgx dx cos 2 x

Solución: 

3

a)

∫  1+ x

b)

∫cos

2

e tgx 2

x

+

5  1 5  dx = 3 2 dx + 4x + 1 4 1+ x

dx =

∫

1

∫ cos

2

x

4

5

∫ 4x + 1 dx = 3arctgx + 4 ln 4x + 1 + k

· etgx dx = etgx + k

Métodos de integración Ejercicio nº 6-

Calcula esta integral, haciendo el cambio

∫x

2

1+ x = t :

1 + x dx

Solución:

1 + x = t → 1 + x = t 2 → x = t 2 − 1 → dx = 2t dt

Hacemos el cambio

∫x

2

1+ x dx =

∫ (t

2

)

∫ (

2

)

∫(

2

)

2

∫(

7

5

 t 7 2t5 t 3  2 (1+ x ) 4 (1+ x ) 2 (1 + x ) = 2  − +  + k = − + 7 5 3 7 5 3  

Ejercicio nº 7.Resuelve estas integrales: a)

∫(2 + 3 x) senx dx

)

2 2 3 6 4 2 − 1 t · 2t dt = 2 t − 1 t dt = 2 t − t dt = 2 t − 2t + t dt =

b)

∫3 x

2

· arctgx dx

3

+k

Solución: a) u = 2 + 3 x → du = 3dx  dv = senx dx → v = −cosx

∫ (2+ 3x )senx dx = − (2+ 3x )cosx + 3∫ cosx dx = − (2+ 3x )cosx + 3senx + k  1 b)  u = arctgx → du = dx 1+ x 2   2 3 dv = 3 x dx → v = x

∫

3 x2 arctgx dx = x3 arctgx −

= x 3 arctgx −

x3

∫1 + x

2

 x  dx = dx = x3 arctgx −  x − + 1 x2  

∫

(

)

x2 1 + ln 1 + x 2 + k 2 2

Ejercicio nº 8.Halla la siguiente integral: x 2 − 5x + 9 dx 2 − 5x + 6

∫x

Solución: • Efectuamos la división y descomponemos en fracciones simples: x2 − 5 x + 9 3 3 = 1+ 2 = 1+ ( x − 2) ( x − 3) x2 − 5 x + 6 x −5 x + 6 A B A ( x − 3 ) + B ( x − 2) 3 = + = ( x − 2) ( x − 3) x − 2 x − 3 (x − 2) (x − 3 )

Para x = 3 → B = 3 Para x = 2 → −A = 3 → A = −3 • Por tanto:

x2 − 5 x + 9 2 − 5x+ 6

∫x

−3 3   dx = ∫ 1 + +  x −2 x −3 

dx = x − 3 ln

x − 2 + 3 ln | x − 3 | + k

Ejercicio nº 9.Halla la integral:

∫x

2

2x dx + 2x + 17

Solución: • Observamos que el denominador no tiene raíces reales.

x 2 + 2x + 17 = 0 → x = • Descomponemos la fracción:

− 2 ± 4 − 68 − 2 ± − 64 = 2 2

→ No tiene raíces reales.

∫x

2

2 x dx = + 2x + 17

∫x

2x + 2 − 2 dx = 2 + 2x + 17

∫x

2

dx 2x + 2 dx − 2 2 = 2 + 2x + 17 + x x + 17

∫

1 dx dx 2 16 = = ln x + 2 x + 17 − 2 = ln x + 2 x + 17 − 2 2 2 ( x + 1) + 16  x + 1  +1   4 

(

2

(

2

) ∫

) ∫

1 = ln x + 2 x + 17 − 2

(

) ∫

1 dx 1  x +1  4 = ln x2 + 2 x + 17 − arctg   +k 2 2  4  x 1  +   1+   4 

(

)

Ejercicio nº 10.e x + 1 = t , la siguiente integral:

Resuelve, utilizando la sustitución

∫

e2x ex + 1

dx

Solución: Hacemos el cambio

∫

e 2x

dx =

ex + 1

e x+ 1= t →

e x + 1= t 2 →

ex · ( ex dx)

(t 2 − 1) 2tdt = t

∫

ex +1

=

∫

e x = t 2 − 1 → e x dx = 2tdt

∫ (2t

2

)

− 2 dt =

2t3 − 2t + k = 3

2 (e x + 1)3 x − 2 e +1 + k 3

=

Ejercicio nº 11.Calcula las siguientes integrales: a)

∫( x

2

)

+ 1 e x dx

b)

∫ (x − 1) cosx dx

Solución: a)  u = x 2 + 1 → du = 2x dx   dv = ex dx → v = e x

∫ (x

2

)

(

)

∫

+ 1 e x dx = x 2 + 1 e x − 2 x e x dx  l1

u 1 = x → du 1 = dx    dv1 = e x dx → v1 = e x

∫

I1 = xe x − e x dx = xe x − e x

Así:

∫ (x + 1) e 2

x

(

)

(

)

dx = x 2+ 1 e x − 2x e x − 2e x + k = x 2+ 1− 2x − 2 e x + k =

(

)

x 2 = x − 2 x −1 e + k

b) u = x −1 → du = dx  dv = cosx dx → v = senx

∫ (x − 1)cosx dx = (x − 1)senx − ∫ senx dx = (x − 1)senx + cosx + k Ejercicio nº 12.Resuelve: x 4 +2x − 6 dx 3 + x 2 − 2x

∫x

Solución: • Efectuamos la división y descomponemos en fracciones simples: 2 x4 + 2 x − 6 3x2 − 6 3x − 6 = x − 1+ 3 = x −1 + 3 2 2 x + x − 2x x + x − 2x x( x −1) ( x + 2)

A B C A ( x −1) ( x + 2) + B x ( x + 2) + C x ( x − 1) 3 x2 − 6 = + + = x ( x − 1) ( x + 2) x x − 1 x + 2 x ( x −1) ( x + 2)

Para x = 0 → −2A = −6 → A = 3 Para x = 1 → 3B = −3 →

B = −1

Para x = −2 → 6C = 6 →

C=1

• Por tanto: x 4 + 2x − 6 3 1 1   + dx =  x − 1 + −  dx = 3 + x 2 − 2x x x −1 x + 2  

∫x

∫

2

=

x − x + 3 ln x − ln x − 1 + ln x + 2 + k 2

Ejercicio nº 13.Resuelve la integral:

∫x

2

dx + 6x + 34

Solución: • Comprobamos que el denominador no tiene raíces reales:

x 2 + 6x + 34 = 0 → x =

− 6 ± 36 − 136 − 6 ± − 100 = 2 2

→ No tiene raíces reales.

• Transformamos el denominador para obtener un binomio al cuadrado.

∫

dx dx = = 2 x + 6x + 34 (x + 3)2 + 25

∫

=

1 1 1 25 5 dx = dx = 2 2 5  x+ 3   x + 3 1+   +1   5   5 

∫

∫

1 x+3 arctg   +k 5  5 

Ejercicio nº 14.Halla la siguiente integral, haciendo el cambio x = sen t:

∫

x2 dx 1− x

1 cos 2 x   2  Recuerda que sen x = − 2 2  

2

Solución: Hacemos el cambio x = sent → dx = cost dt:

∫

x 2 dx

=

arcsenx sen (2 arcsenx ) arcsenx 2 sen( arcsenx) · cos (arcsenx ) − +k= − +k = 2 4 2 4

=

arcsenx x 1− x 2 +k − 2 2

1 − x2

∫

=

sen 2 t cos t dt 1− sen 2 t

=

∫

sen2 t cost dt t sen 2 t  1 cos 2 t  +k = = sen 2 t dt =  −  dt = − cos t 2 2 2 4  

∫

∫

Ejercicio nº 15.Hallas las integrales: a)

∫ ( x + 5)cosx dx

b)

∫ (x

2

)

+ 2x lnx dx

Solución: a) u = x + 5 → du = dx   dv = cos x dx → v = sen x

∫ ( x+ 5)cosx dx = (x + 5)senx − ∫ senx dx = (x + 5)senx + cosx + k b)  1 u = ln x → du = x dx  3 dv = x 2 + 2x dx → v = x + x 2  3

(

∫ (x

2

)

 x3  + 2x lnx dx =  + x 2  lnx − 3  

)

∫

 x2 1 2     3 + x  · x dx =  

 x3 x3 x 2 2 − +k =  + x  lnx − 9 2  3 

 x3 2    3 + x  lnx −  

∫

 x2     3 + x  dx =  

Ejercicio nº 16.Calcula la integral:

∫x

dx 3

−2 x 2 + x

Solución: • Descomponemos en fracciones simples: A B C A (x − 1)2 + Bx (x − 1) + Cx 1 1 = = + + = 2 2 2 x (x − 1) ( x −1) x ( x −1)2 x − 2 x + x x ( x −1) 3

Para x = 0 → A = 1 Para x = 1 → C = 1 Para x = 2 → A + 2B + 2 C = 1 → B = −1 • Así, queda:

∫x

3

1 dx 1 1 =  − + − x x x 1 ( 1) 2 − 2x 2 + x − 

 1  dx = ln x − ln x − 1 − +k −1 x 

∫

Ejercicio nº 17.Calcula:

∫

x2 + x + 6 dx x 2 +5

Solución: • Efectuamos la división:

∫

x +1  x2+x + 6   dx = x + dx = 1 + 2 2 x +5  x +5 

∫

= x+

x+1

∫x

2

+5

dx = x +

1 2

(

2x + 2 dx = 2 +5

∫x

) ∫

1 1  2x 2  1 2 + 2 dx =  2  dx = x + ln x + 5 + 2 2 x +5 2  x + 5 x +5

∫

(

) ∫x

1 2 = x + ln x + 5 + 2

1 5

dx = x +

2

5

+1

(

) ∫

1 1 1 ln x 2 + 5 + dx = 2 5  x 2   +1    5

1 =x+

(

)

1 5 ln x 2 + 5 + 2 5

∫

5  x   1 +    5

2

dx = x+

 x  1 5 + k ln x2 + 5 + arctg  5 2  5 

(

Ejercicio nº 18.-

Calcula la siguiente integral, utilizando la sustitució n

∫x

dx x −1

x −1 = t :

)

Solución:

Hacemos el cambio dx

∫x

x −1

=

x − 1= t → 2tdt

∫ (1+ t

2

)t

=

x − 1= t 2 → x = 1+ t 2 → dx = 2tdt

2dt

∫ 1+ t

2

= 2arctg (t ) + k = 2arctg x − 1 + k

Ejercicio nº 19.Calcula las integrales: a) xcos (3x )dx

∫

b)

∫ (x + 1)lnx dx

Solución: a)

u = x → du = dx   ( ) → v = sen(3 x) = dv cos 3x dx 3 x sen (3x ) sen (3x ) x sen (3 x) cos (3x ) − + +k dx = 3 3 3 9

∫ x cos (3 x)dx =

∫

b)  1 u =ln x → du = x dx  2  dv = ( x + 1) dx → v = x + x  2  x2  + x  lnx − 2 

∫ (x + 1)lnx dx = 

x2

∫  2

 1 x2   x + x  · dx =  + x  lnx −  + 1 dx = x 2 2     

∫

 x2  x2 =  + x  ln x − − x +k 4  2 

Ejercicio nº 20.Calcula:

∫x

3

x −1 dx 3 − 4x

Solución: • Efectuamos la división y descomponemos en fracciones simples: x3 − 1 4 x −1 4x − 1 = 1+ 3 = 1+ x 3 − 4x x − 4x x ( x − 2) ( x + 2) A B C A (x − 2) (x + 2) + B x (x + 2) + C x (x − 2) 4x − 1 = + + = x ( x − 2) ( x + 2) x x −2 x + 2 x (x − 2) (x + 2)

Para x = 0 → − 4 A = −1 → A =

1 4

Para x = 2 → 8B = 7 → B =

7 8

Para x = −2 → 8C = −9 → C = −

9 8

• Por tanto:

∫

7 9   1   x 3 −1 1 7 9 8 dx = 1 + 4 + − 8  dx = x + ln x + ln x − 2 − ln x + 2 + k 3  x x −2 x + 2  4 8 8 x − 4x    

∫

Ejercicio nº 21.Calcula esta integral:

∫x

2

x dx + 2x + 2

Solución: • Comprobamos que el denominador no tiene raíces reales. 2

x + 2x + 2 = 0 → x =

− 2 ± 4 − 8 − 2± − 4 = 2 2

→ No tiene raíces reales.

• Descomponemos la fracción:

∫x

2

x dx 1 = + 2x + 2 2

=

∫x

2

2 x dx 1 ( 2 x + 2 − 2) dx 1 = = 2 2 + 2x + 2 2 x + 2x + 2

∫

(

) ∫

(

(2x + 2) dx − 2 + 2x + 2

∫x

∫x

2

dx = + 2x + 2

)

dx 1 1 ln x 2 + 2x + 2 − arctg (x + 1)+ k = ln x 2 + 2x + 2 − 2 ( x + 1) 2 + 1 2

Ejercicio nº 22.Resuelve mediante el método se sustitución: 1+ x

∫ 1+

(Haz

dx

x

x = t)

Solución:

x = t → x = t2 →

Hacemos el cambio : 1+ x

∫ 1+

x

dx =

=

1+ t 2

∫ 1+t

· 2tdt =

∫

2t + 2t 3 4   dt = 2t 2 − 2t + 4 −  dt = 1 +t 1+t  

∫

2t 3 2 x3 − t 2 + 4 t − 4 ln 1 + t + k = − x + 4 x − 4 ln 1 + x + k 3 3

Ejercicio nº 23.Resuelve las siguientes integrales: a)

∫( x

2

)

x

dx = 2tdt

+ x +1 e dx

b)

∫x

2

lnx dx

Solución: a) u = x 2 + x + 1 → du = (2x +1) dx   dv = e x dx → v = e x

∫( x

2

)

(

)

+ x + 1 e x dx = x 2 + x + 1 e x − ( 2x + 1) ex dx  I1

∫

u1 = 2x + 1 → du1 = 2dx   x x  dv 1 = e dx → v 1 = e

I1 = (2x+ 1) e x dx− 2 e x dx = (2x + 1) e x − 2e x

∫

Así:

∫( x

2

)

(

)

+ x + 1 e dx = x + x + 1 e − (2x + 1) e + 2e + k = x

2

x

(

x

x

)

(

)

dx =

x3 x3 +k lnx − 3 9

= x 2 + x + 1− 2x − 1 + 2 e x + k = x 2 − x + 2 e x +k

1  b) u = lnx → du = dx x    x3  dv = x 2 dx → v = 3 

∫ x lnx dx = 2

x3 lnx − 3