Ejercicios-calculo - Ejercicios de calculo 1 problemas resueltos de calculo diferencial PDF

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Ejercicios de calculo 1 problemas resueltos de calculo diferencial...

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Ejercicios y problemas de ´lculo ca

Rub´en Flores Espinoza Marco Antonio Valencia Arvizu Mart´ın Gildardo Garc´ıa Alvarado Rodrigo Gonz´alez Gonz´alez

Proyecto FOMIX CONACYT, Gobierno del Estado Clave: SON-2004-C02-008

Publicado por Editorial GARABATOS Febrero, 2008 ISBN: 970-9920-19-2 Tiraje: 1000 ejemplares

Presentaci´ on Puede decirse que la actividad de un cient´ıfico es contribuir a conocer mejor el universo que habitamos y que la de un ingeniero es utilizar el ingenio para resolver problemas. Las matem´aticas son un lenguaje que permite al cient´ıfico expresar y precisar ese conocimiento y una herramienta que permite al ingeniero resolver problemas pr´acticos a partir de ese conocimiento. En cualquier disciplina, la pr´actica hace al maestro, y trat´andose de matem´ aticas, la pr´actica a trav´es de la resoluci´on de problemas no solamente es muy importante, sino indispensable para comprender realmente el significado y alcance de sus diversas ramas y teor´ıas. S´olo a trav´es de la resoluci´on de problemas se logran comprender los conceptos y los m´etodos y se consigue su integraci´on al acervo cultural del estudiante y, lo que es m´as importante, s´olo as´ı se aprende a aplicarla en otras ´areas del conocimiento y la t´ecnica. Por este medio, estamos poniendo al servicio de los estudiantes y profesores universitarios de los cursos de c´alculo de las ´areas de ciencias e ingenier´ıa, una colecci´on con m´ as de cuatrocientos ejercicios y problemas sobre los distintos t´opicos que cubren los cursos regulares de esta materia. Esta colecci´on de Ejercicios y problemas de C´ alculo tiene el prop´osito de complementar el texto Fundamentos del C´ alculo, de los mismos autores, y, como tal, su organizaci´ on y presentaci´ on corresponden a las de ´este; sin embargo, puede utilizarse independientemente con cualquier otro libro de c´ alculo del mismo nivel y orientaci´ on, pues se ha procurado evitar referencias espec´ıficas al libro de texto. El C´ alculo es una de las herramientas matem´ aticas m´ as poderosas que ha creado el hombre en virtud de la variedad y profundidad de sus aplicaciones, y por eso resulta a´ un m´ as importante su buena comprensi´ on y manejo. Basados en estas razones, los ejercicios y problemas aqu´ı propuestos son de distintos niveles de dificultad, y buscan no s´ olo la mera aplicaci´on de rutinas y m´etodos, sino que pretenden incitar al estudiante a pensar y adentrarse en los temas planteados, extendiendo y profundizando la teor´ıa. Los ejercicios y problemas han sido divididos por cap´ıtulos y por grandes temas, y en dos niveles, seg´ un su grado de dificultad, pues hemos llamado ejercicios a los que requieren la aplicaci´ on m´as o menos rutinaria de los conceptos y t´ecnicas del c´alculo, y problemas a aquellas preguntas que requieren un pensamiento y una reflexi´on m´ as elaborada. Por otra parte, con el fin de que sean utilizadas como gu´ıa y para brindar confianza al estudiante en su trabajo, se incluyen un buen n´ umero de respuestas y sugerencias a los problemas planteados, algunas de ellas desarrolladas con todo detalle. Como mencionamos, este problemario est´a dirigido al a´rea de ciencias e ingenier´ıa y puede utilizarse en el dise˜ no de los cursos de c´ alculo. Ha sido elaborado en el marco

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Presentaci´ on

del Proyecto “Homogenizaci´on y certificaci´ on de los cursos de matem´aticas de las instituciones de educaci´ on superior en Sonora”, apoyado por recursos del Fondo Mixto CONACYT-Gobierno del Estado de Sonora bajo registro SON-2004-C02-008. Los autores expresan por este medio su agradecimiento al CESUES y a la Universidad de la Sierra por su apoyo institucional a la realizaci´ on de dicho proyecto, as´ı como a distintas personas que contribuyeron de maneras diversas a su realizaci´ on, especialmente al Delegado de CONACYT en Sonora, Ing. Francisco Javier Ceballos y a su colaboradora, Lic. Laura Petra Reyes Medina. Agradecemos tambi´en a los CC.PP. Ricardo Efr´ en Espinoza, Ang´elica Pereida Hoyos y Blanca Irene L´ opez Fimbres, por su apoyo en la gesti´ on administrativa al interior de la Universidad de Sonora durante el desarrollo de este proyecto, as´ı como al Lic. Jorge Estupi˜ na´n Mungu´ıa y personal de la Direcci´ on de Extensi´on Universitaria por su apoyo en la formalizaci´ on del proceso de edici´on, publicaci´ on y presentaci´ on, primero de Fundamentos del C´ alculo, y ahora de estos Ejercicios y problemas de C´ alculo. Finalmente, nuestro reconocimiento a Editorial GARABATOS por su profesionalismo y la calidad de su trabajo. Es nuestro prop´ osito y nuestro deseo que el texto Fundamentos del C´ alculo y esta colecci´ on de Ejercicios y problemas de C´ alculo constituyan un incentivo y un apoyo para los profesores y para los estudiantes de C´alculo de las a´reas de ciencias e ingenier´ıa, y que contribuyan a homogenizar los cursos de esta importante materia. De avanzar en ese sentido, se lograr´ıa el objetivo de su publicaci´ on. Hermosillo, Sonora, M´exico. Febrero del 2008. Los autores

Contenido Presentaci´ on

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1 Conocimientos previos 1.1 Conjuntos . . . . . ´ . . . . . . . 1.2 Algebra 1.3 Geometr´ıa . . . . . . 1.4 Trigonometr´ıa . . . . 1.5 Geometr´ıa Anal´ıtica

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2 Los 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

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9 10 12 13 13

n´ umeros reales 17 Los n´ umeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Definici´ on de n´ umero real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Operaciones con n´ umeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Densidad de los n´ umeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Propiedad de orden en los n´ umeros reales . . . . . . . . . . . . . . . 20 Completez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Variables y funciones 3.1 Concepto de variable y de funci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Gr´af icas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Funciones trigonom´ etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Funciones trigonom´ etricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27 27 . 29 30 32 33 33

4 Sucesiones y l´ımites 4.1 Concepto de sucesi´on . . . . 4.2 Convergencia de sucesiones 4.3 L´ımite de funciones . . . . . 4.4 L´ımites y continuidad . . .

37 37 38 42 43

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5 La derivada 49 5.1 El concepto de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 7

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Contenido 5.2 5.3

C´ alculo de derivadas. Reglas de derivaci´on . . . . . . . . . . . . . . . Interpretaci´ on f´ısica y geom´ etrica. Aplicaciones . . . . . . . . . . . .

6 Teorema del valor medio y sus aplicaciones 6.1 Desigualdades y estimaciones . . . . . . . . . 6.2 Comportamiento de funciones derivables . . . 6.3 Teorema de Taylor y reglas de L’Hospital . . 6.4 C´ alculo y aplicaciones de m´aximos y m´ınimos

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50 52 61 61 63 66 67

7 La funci´ on exponencial y sus aplicaciones 79 7.1 Propiedades de exponenciales y logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . 79 7.2 Aplicaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 8 La integral indefinida 89 8.1 Concepto de antiderivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 8.2 Interpretaci´ on geom´etrica de la antiderivada . . . . . . . . . . . . . . 90 8.3 M´etodos de integraci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 8.4 Antiderivadas diversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 9 La integral definida y el teorema fundamental del c´ alculo 103 9.1 La integral de Riemann de funciones continuas . . . . . . . . . . . . 103 9.2 El teorema fundamental del C´ alculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 9.3 Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 10 Aplicaciones de la integral definida 117 10.1 C´alculo de ´areas y vol´ umenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 10.2 C´alculo de centroides y centros de masa . . . . . . . . . . . . . . . . 119 10.3 C´alculo de la presi´ on hidrost´ atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 11 Ecuaciones diferenciales elementales 125 11.1 Ecuaciones de primero y segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . 125 11.2 Aplicaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 12 Series 139 12.1 Convergencia de Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 12.2 Series de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Tabla de antiderivadas e integrales

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Cap´ıtulo

1

Conocimientos previos

Para comprender y aplicar el C´ alculo Diferencial e Integral son necesarios algunos conocimientos previos. Entre ellos se requiere conocer el concepto, la notaci´on y las operaciones con conjuntos; dominar las operaciones algebraicas, resolver ecuaciones de primero y segundo grado, resolver sistemas de ecuaciones, conocer las progresiones aritm´eticas y geom´ etricas y resolver desigualdades. Por lo que se refiere a la geometr´ıa, conocer las propiedades de los tri´ angulos, los cuadril´ ateros, los pol´ıgonos regulares y los c´ırculos; calcular a´reas y vol´ umenes de las figuras y cuerpos m´ as conocidos. En cuanto a la trigonometr´ıa, conocer las relaciones trigonom´etricas, el c´ırculo trigonom´ etrico y las principales identidades trigonom´etricas con senos y cosenos. En lo que corresponde a la geometr´ıa anal´ıtica, es importante conocer la manera de trazar la gr´ afica de ecuaciones algebraicas asociadas con rectas y secciones c´ onicas, es decir, saber interpretar geom´etricamente, en el plano cartesiano, las ecuaciones de primero y segundo grado. Y rec´ıprocamente, dadas algunas propiedades geom´etricas, construir las ecuaciones que representa rectas y secciones c´onicas, o sea, c´ırculos, elipses, par´ abolas e hip´erbolas. Los ejercicios y problemas planteados a continuaci´ on buscan ayudar a recordar algunos de estos temas, sin pretender ser exhaustivos.

1.1

Conjuntos

Ejercicios 1. Sean los conjuntos A = {a, b, c, d, e, 1, 2, 3, 4, 5, 6} , B = {a, b, c, 1, 2, 5, 6, α, β, π} ,

C = {a, b, e, 1, 2, 3, 5, 6, α, β, δ, ρ} . Exhiba los elementos de los conjuntos siguientes:

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Conocimientos previos (a) A ∩ B

(b) (A ∪ B) ∩ C

(c) (A ∩ C) ∪ (A ∩ B) (d) (A ∩ Bc ) ∪ C .

2. Demuestre las siguientes relaciones entre conjuntos: (a) (A ∪ B) ∩ (Bc ∩ A) ⊂ A

(b) (Ac ∩ Bc ) ∩ (A ∩ C) = ∅

(c) (A ∩ Bc ) ∪ (Ac ∩ B) ⊂ (Ac ∩ Bc )c .

Problema 3. Considere lo siguiente: U = conjunto de todas las personas,

A = conjunto de personas nacidas en M´ exico,

B = conjunto de las personas menores de 30 a˜ nos, C = conjunto de hijos de padres mexicanos.

(a) Si para ser candidato a la presidencia de M´exico se requiere tener m´ as de 30 a˜ nos y haber nacido en M´exico de padres mexicanos, exprese el conjunto de los candidatos posibles en t´ erminos de los conjuntos U, A, B, C y las operaciones conjuntistas. (b) Escriba en t´erminos de los conjuntos U, A, B, C y de las operaciones conjuntistas el conjunto X de las personas que no pueden ser presidente de M´exico.

1.2

´ Algebra

Ejercicios 4. Si las soluciones de la ecuaci´ on x2 + bx + c = 0 son ln 2 y π, encuentre el valor de b. 5. Encuentre la suma de todas las soluciones de la ecuaci´on √ √ √ | 2x + 4 2 | + | x − 2 |= 9 2. 6. Encuentre los valores de x para los cuales la expresi´on 7. Resuelva la desigualdad

x2 − x 6 0. x2 + 13x

x2 − 9 es positiva. x−4

´ 1.2 Algebra

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8. Calcule el valor V de la expresi´ on         1 1 1 1 1 1 V = 1+ 1− 1+ 1− ··· 1 − 1+ . 2 3 4 5 n−1 n 9. Resuelva cada una de las ecuaciones siguientes: (a) x2 − 7x = −12 x+2 10 2x − 1 + = (b) x+2 2x − 1 3 √ (c) 4x + 1 = 3 − 3x 3

(d) x3 − 7x 2 − 8 = 0.

10. (a) Exprese las variables u y v en t´erminos de r y s : 2 u − v = −5 s 3u + 2v = 7r − 4s. (b) Exprese las variables x y y en t´erminos de a y b : ax − by = a2 + b2 2bx − ay = 2b2 + 3ab − a2 . Problemas 11. Sean x, y, z n´ umeros en progresi´ on geom´etrica de raz´ on r. Si x, 2y y 3z est´ an en progresi´ on aritm´etica, ¿cu´ al es el valor de r ? 12. Resuelva la ecuaci´on log2 x + log 2 (x + 3) = 2. 13. Resuelva el sistema x3 − y3 = 19 x2 + xy + y2 = 19. 14. ¿Cu´al es la suma de todas las soluciones de la ecuaci´ on |x2 − 6x| = 2? 15. Sea N = {1, 2, 3, . . .} el conjunto de los n´ umeros naturales. Pruebe los enunciados siguientes: (a) Un n´ umero natural n es par si y s´olo si n2 es par. (b) Un n´ umero natural n es impar si y s´olo si n2 es impar. (c) El cuadrado de un n´ umero natural es m´ ultiplo de tres si y s´ olo si el n´ umero es m´ ultiplo de tres.

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Conocimientos previos

16. Encuentre la velocidad de una lancha en aguas en reposo, y la velocidad de la corriente de un r´ıo, sabiendo que tarda 3 horas en recorrer una distancia de 45 Km contra la corriente y dos horas a favor de la corriente. 17. Un dep´ osito A contiene 400 litros de una soluci´ on salina con una cantidad de sal de 8 Kg. Otro dep´ osito B tiene 120 litros de una soluci´ on con 6 Kg de sal disuelta. Hallar el volumen que se debe extraer de cada uno de ellos para formar 30 litros de soluci´ on cuya concentraci´ on sea de 0.03 Kg por litro. 18. Hallar dos n´ umeros tales que la suma de sus cuadrados sea 34 y que uno de ellos, aumentado en una unidad, sea igual al doble del otro. 19. El per´ımetro de un tri´ angulo rect´ angulo es de 60 cm y su hipotenusa mide 25 cm. Hallar las longitudes de los otros lados. 20. Hallar la velocidad que lleva un autom´ ovil sabiendo que si la aumenta en 10 Km por hora recorrer´ıa 120 Km en 36 minutos. 21. Dos personas parten de un mismo punto siguiendo caminos perpendiculares. Sabiendo que la velocidad de una de ellas es de 4 Km por hora m´ as que la otra y que al cabo de 2 horas la distancia entre ellas es de 40 Km, encuentre sus velocidades. 22. Un comerciante compr´ o cierto n´ umero de unidades de un art´ıculo por $14.40 pesos. Posteriormente, el precio de dicho art´ıculo sufri´ o un aumento de 2 centavos por unidad, con lo cual, por el mismo dinero, le dan ahora 24 unidades menos que la vez anterior. Hallar las unidades que inicialmente compr´ o y el precio de cada una de ellas.

1.3

Geometr´ıa

Ejercicios 23. Un rombo est´ a inscrito en un rect´angulo de base x y per´ımetro 20 m. Si los v´ertices del rombo son los puntos medios de los lados del rect´ angulo, exprese el a´rea del rombo en t´ erminos de la longitud x de la base del rect´angulo. 24. Dos tri´ angulos, ABC y ADC, son como se indica en la figura 1.1. Los a´ngulos ACB y ADC son rectos. Si AB = 20, AD = 8, y θ = 20◦ , calcule la parte entera del valor de α. 25. Considere un tri´angulo oblicu´angulo con lados a = 12, c = 5, y a´ngulo B = 130◦ . Si el lado b es opuesto al a´ngulo B, ¿cu´ anto mide b? 26. La suma de los a´ngulos interiores de un tri´ angulo es 180◦ y de un cuadril´atero ◦ es 360 . ¿Cu´ anto es la suma de los a´ngulos interiores de un pol´ıgono de n lados?

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1.4 Trigonometr´ıa A

20 θ

B

8 α C D Figura 1.1 Diagrama para el problema 24 Problema 27. Encuentre el radio del c´ırculo C si un a´ngulo central de 220◦ intercepta un arco de longitud 5.9 cm. Exprese su respuesta con una aproximaci´ on de 1 mm.

1.4

Trigonometr´ıa

Ejercicios 28. Si sen θ =

2 y sec θ < 0, encuentre los valores de cos θ y tan θ . 5

29. El tri´ angulo de v´ertices A, B y C es tal que las longitudes de los lados AB yAC miden 12 y 15 cent´ımetros, respectivamente, y hacen un a´ngulo entre ellos de 135◦ . Calcule la longitud del lado BC . 30. Simplifique la expresi´ on

sen2 t cos t + cos3 t . cos t

31. Un piloto vuela en l´ınea recta por dos horas y luego cambia de direcci´on en 15 grados a la derecha de su direcci´ on original y vuela por otras tres horas. Si la velocidad del avi´ on es de 225 Km por hora, ¿a qu´e distancia se encuentra del punto de partida? 32. Sea un cuadrado con v´ertices A, B, C y D, donde el v´ ertice A es diagonalmente opuesto al v´ertice C. Si M y N son los puntos medios de los lados BC y CD, respectivamente, ¿cu´al es el valor de cos θ, donde θ es el a´ngulo M AN ? Problema 33. Encuentre todas las soluciones de la ecuaci´on 2 sen2 (3x + 4) = 1.

1.5

Geometr´ıa Anal´ıtica

Ejercicios 34. Encuentre el valor de k para que la recta que pasa por (1, k) y el punto (2, 3) sea paralela a la recta que pasa por los puntos (−1, 3) y (7, 5).

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Conocimientos previos

35. Encuentre la ecuaci´on de la hip´erbola con focos en (8, 1) y (8, 9) y tiene un v´ertice en (8, 6). 36. Encuentre el punto sobre el eje de las ordenadas que sea equidistante de los puntos (−2, 0) y (4, 6). 37. Si A = (−3, 6) y B = (12, 3), ¿cu´ales son las coordenadas del punto sobre el segmento que se encuentra alejado de A dos terceras partes de la longitud del segmento AB ? 38. ¿Cu´al es la ecuaci´ on de la recta que une el v´ertice de la par´ abola y = 2x2 −4x+3 2 2 con el centro del c´ırculo x + y − 4x + 6y + 7 = 0? Problemas 39. Encuentre la ecuaci´on de la circunferencia de radio 8 que es tangente a las dos ramas de la curva y = |x|. 40. Determine el a´rea de la regi´ on delimitada en su parte inferior por la circunferencia x2 +y2 = 4 y en la parte superior por la gr´ afica de la curva y = −|x|+2.

Respuestas y sugerencias 4. b = −(π + ln 2) √ 5. 3 2 6. Las soluciones son los n´ umeros del conjunto (−3, 3) ∪ (4, ∞). 7. (−13, 0) ∪ (0, 1]. 8. V =

n+1 n

4 9a. x1 = 3, x2 = 4. 9b. x1 = −7, x2 = 1. 9c. x1 = , x2 = 2. 9d. x1 = 2, x2 = 4. 9 11. r =

1 si suponemos que x, y y z son n´ umeros distintos. 3

12. x = 1 13. x = 4, y = 3 y x = 3, y = 2. 14. 12

1.5 Geometr´ıa Anal´ıtica

15

17. Sea x la cantidad a remover del dep´ osito A y 30 − x la cantidad a remover x 1 Kg de B. En x litros de A hay Kg de sal y en 30 − x de B hay (30 − x) 20 50   1 x 1 de sal. La concentraci´ on de la mezcla ser´a y ser´a igual + (30 − x) 30 50 20   3 3 1 x 1 , o, 2x + 150 − 5x = 90, de donde se a = . As´ı, + (30 − x) 100 30 50 20 100 obtiene que x = 20. Es decir, hay que remover 20 litros de A ...