problemas resueltos de calculo de errores PDF

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Trabajos y ejercicios Física de 1º, siguen realizando las mismas prácticas hoy en día, no han variado nada....

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Capítulo 2

Cálculo de Errores 1 100

Problema 2.1 Con un cronómetro de sensibilidad = segundos se ha medido el tiempo que tarda en caer un objeto en caida libre desde una determinada altura, obteniéndose los siguientes valores de tiempo:

5 25 ;

s

5 30 ;

5 27

s

;

s

Calcular:

a)

El rango.

b)

El porcenta je de dispersión.

c)

¿Es su…ciente el número de medidas realizadas?

d)

¿Cuál es el error absoluto?

e)

¿Cuál es el valor aceptado?

Solución 2.1 Tenemos una colección de cronómetro de sensibilidad s ; s a) Rango (R)

= 0 01

R

=

jxm ax  xmn j

medidas directas, realizadas con un

= 5 30 5 2 = 0 05 j ;



; j

;

b) Porcentaje de dispersión (T) x

T

N =3 = 31 P i = 31 (5 25 + 5 30 + 5 27) = 5 27333 i=1 100 = = 5100 27 0 05 = 0 948 x

x

R

;

;

;

;

;

;

c) ¿Es su…ciente el número de medidas realizadas? Si, pues: T

= 0 948 2 % ;

<

13

;

14

CAPÍTULO 2.

bastan tres medidas. d) ¿Cuál es el error absoluto?

2a = max fd ; sg = max



R

4

 ;s

CÁLCULO DE ERRORES

= max f0 0125 0 01g = 0 0125 ;

;

;

;

e) Valor aceptado Damos el error con dos cifras signi…cativas, pues la primera cifra signi…cativa del error absoluto,

2a = 0;0125, es 1, por lo tanto: 2a = 0;013

Damos el valor con el mismo orden decimal que el error absoluto:

t  t = 5; 273  0;013 Recordemos que el resultado de una medida se representa por un intervalo cerrado de la recta real, el resultado de una mediad no es un número real, en este caso el resultado de la medida realizada es cualquiera de los in…nitos números comprendidos dentro del intervalo

[5 260 ;

5;286]

;

La resistencia (medida en Ohmios) de determinado alambre de cobre puede expresarse en función de la temperatura ( medida en grados centigrados) como: Problema 2.2

( ) = 0 (1 + (  20)) 0 = 6  0 3 % ( = 0 004 1  1 %( = (30  1)

R T

R



R

T

;



o

;

Resistencia a

C

o

T

20 ) o

C

)

coef iciente de temperatura

C

Calcúlese la resistencia del alambre y su error. Tenemos que detrminar una medida indirecta (una ecuación física), a partir de unas medidas directas, R0 ; ; T . El valor de la resistencia se obtiene de la expresión dada, el error del mismo de la expresión vista en teoría para errores de medidas indirectas.

Solución 2.2

(

)

El valor de la resistencia se obtiene sustituyendo en la expresión propuesta:

( ) = 0 (1 + (  20)) = 6 (1 + 0 004(30  20)) = 6 24 

R T

R



T

;

;

Veamos como calcular las derivadas parciales para obtener el error usando

Mathematica : Uso de Mathematica

15

De…nicion de la funcion resistencia en funcion de Ro, , T. R[Ro_; _; T_]:=Ro(1

+ (T

 20))

Valor de R para los valores propuestos: R[6; 0;004; 30]

6;24 Calculo simbolico de las derivadas parciales: @R(R o ;;T )

@R(R o ;;T )

@R(R o ;;T )

@R Ro o @

@ @

@T @T

ff1 + (20 + T ); Ro(20 + T ); Rogg @R(R o ;;T )

f g /.fRo->6; ->0;004; T ->30g @ @ ;;T ;;T ) /.fRo->6; ->0;004; T ->30g @T

@R o @R(R o ;;T )

/. Ro->6; ->0;004; T ->30

@R @R(R Ro o

ff1;04g; f60g; f0;024gg Calculo del error absoluto. Los errores absolutos de las variables independientes en la funcion R son:

R o

=6

0;3 100

 

= 0;004

T

=1

1 100

0;018 0;00004

s 

1 ER:=

q

2



@ R(Ro; ; T )

Ro o R

@Ro



2

+ 2 T



@ R(Ro; ; T ) @T



2

+ 2 



@ R(Ro; ; T ) @

ER





2 2 1;6  10 9 Ro (20 + T )2 + Ro 2 + 0;000324(1 + (20 + T ))2

ER/.

Ro->6; ->0;004; T ->30; R Ro o ->

  ->0;004

1 100

; T ->1



60;3 100

;

0;0305319 Valor aceptado para la resistencia:

6;24  0;0305319 = 6;24  0;03 = [6;21; 6;27]



2

16

CAPÍTULO 2.

CÁLCULO DE ERRORES

Problema 2.3 Calcular de manera númerica aproximada, las derivadas parciales necesarias en el problema anterior.

Problema 2.4 Con un calibre o pie de rey que aprecia décimas de milímetro, se quiere medir el volumen V de un cilíndro, para lo cual se mide su diámetro d

12;6

y su altura h, resultando

22;4

y

mm respectivamente. Determinar el valor

del volumen y su error.

Solución 2.3 El volumen de un cil{ndroseobtienemediantelaexpresion

 2

2

=

V

 r h

=

Tomando logaritmos neperianos

d



2

h

=



4

2

d h

en la ecuacion anterior

ln V = 2 ln d + ln h + ln

 4

Diferenciando, asimilando las diferenciales a errores absolutos, y teniendo en cuenta la relacion error absoluto error relativo: dV

=

V dV

2

r (V )

=

r (V )

=





+

d

V



=

V

dd

=2

V

dh h

d



+

+

d

d

  4

 4

h



h





+



2 r (d) + r (h) + r ( ) r (d) 0;1

= 810

12;6

3 ' 104 ;

2r (

h)

=

0;1 22;4

= 5 10

3 ' 104

Como podemos tomar  con precision in…nita, lo tomamos con el numero de decimales necesario para que el error relativo del mismo sea un orden de magnitud menor que los erores relativos de h y d, de manera que se cumpla:

r (V )



'2

r (d)+



2r (

h)

Aproximando:



= 3;1416;

2r (

)

=

0; 0001 3; 1416

= 3;1810

5 < 104

Asi pues:

V

r (V ) a (V ) 

=

' =



4 2

2

d h

3;1416 4

12;6

2

22;4

mm

3

= 2793; 05833

mm

3 3 = 0;021 r (d) + r (h) = 28 10 + 5 10



r (V )



=

V

= 0;021 2793; 05833 = 58; 65422492

mm

3

3

17 Para obtener los valores aceptados del valor del volumen y de su error absoluto depuramos las cantidades anteriores:

) )

E rror absoluto aceptado

=

a (V

V alor aceptado

=

) = 60

60

=

2793; 1 4 10 (0:2793

V olumen

=

(2790

2793; 1





mm

60)



3

4 0:006) = 10 (0;279 3



0;006)

mm

Problema 2.5 Escribir correctamente los siguientes números (que, tal como están, no están bien escritos):

 

i) 3;418 ii) 6;3

0;123

0;085

iii) 0;01683



0;0058

Solución 2.4 3;42 6;30

  

0;12

0;09

0;017

0;006

Problema 2.6 Hallar la densidad del agua a una temperatura de 18  C , mediante una interpolación lineal a partir de los datos de la tabla de valores.

T (o C)

 ( ccg )

     

10

20

0;99970

0;99820

       

Solución 2.5 Un trabajo frecuente para un ingeniero es obtener el valor de

algunas magnitudes a partir de tablas. En una tabla de simple entrada, la variable dependiente sólo es función de una variable independiente, z = f (x). Es frecuente tener que obtener un valor de Z para un valor de x no tabulado. Para resolver el problema, se busca el intervalo de valores de x tabulados entre los cuales se encuentra el valor no tabulado:

x

   

x

z

x1

z1

x2

z2

   

2

( x1 ; x2 ) .

18

CAPÍTULO 2.

( x1 ; x2 )

Considerando que en el intervalo

CÁLCULO DE ERRORES

la expresión z

=

f (x) puede iden-

ti…carse con una recta, podemos escribir:

= z1 +

z

 2

z2

z1

x

x1

(x



x1 )

Expresión que permitirá determinar z en función de x o viceversa. El error

a (z ),

absoluto de z , 

a ( x) ,

en función del error absoluto de x, 

 z

a (z ) = 



x

 2 2

valores

10

y

20

  ( x)  a x1 está comprendido entre los

en la tabla mostrada, por lo tanto:

 

 10) 0 99820  0 99970 0 99970 + (18  10) = 0 99850 20  10

T

=

10

18

=

;





z1 

= 18 o C

En el problema propuesto el valor T

vendrá dado por:

+

20

T20

10

T10

(T

T

;

;

Problema 2.7 Albacete está situado a

;

39

g cc

de latitud Norte. Teniendo en cuen-

ta la siguiente tabla, calcular el campo magnético total en esta ciudad.

Latitud B (nT) Solución 2.6

o

39o

30

32

34

36

38

40

39958

40837

41702

42546

43365

44154

pertenece al intervalo

B39o

=

B39o

=

(38o ; 40o ).

Interpolando:

 38 (39  38 ) 40  38 44154  43365 1 = 43759 5 43365 +

B38o

+

B40o

B

o

o

o

o

o

;

2

nT

Problema 2.8 En un estudio experimental de la dilatación de gases en condiciones eproximadamente ideales, se han obtenido los siguientes valores del volumen de un gas a presión constante y a diferentes temperaturas:

t( C) V(cm) o

20;0 537

25;0 542

30;0 555

35;0 561

40;0 575

45;0 584

50;0 592

55;0 601

60;0 613

65;0 620

Ajustar estos puntos experimentales mediante una recta, obteniendo la pendiente y la ordenada en el origen con sus correspondientes errores.

Ajuste por mínimos cuadradados de la teoría

Realizamos el siguiente estadístico:

70;0 626

19

x

P

i

y

20;0 25;0 30;0 35;0 40;0 45;0 50;0 55;0 60;0 65;0 70;0

Ajuste por mínimos cuadrados

i

i i

x y

537 542 555 561 575 584 592 601 613 620 626

P

P

10740 13550 16650 19635 23000 26280 29600 33055 36780 40300 43820

x

P

2

i

400 625 900 1225 1600 2025 2500 3025 3600 4225 4900

y

P

2

i

288369 293764 308025 314721 330625 341056 350464 361201 375769 384400 391876

N =11 N =11 N =11 N =11 2 N =11 2 xi = 495 yi = 6406 xi yi = 293410 xi = 25025 yi = 3740270 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1

x

y

N X

1

=

j=1

N

N 1 X

=

j=1

N

x

y

j ==

j=

495 = 45 11

6406 = 582;364 11

Usando las expresiones de teoría que nos dan los parámetros del ajuste lineal determinamos la pendiente m y la ordenada en el origen b:

m

=

PN j j  j PN j  j PN j  PN j j PN  =1

x

=1

y

b

=

=1

y

x

N x y

2

x

N x

2

x

2

x j=1 j

=

2

=1

x

N x

293410  11 45 582;364 = 1;86903 25025  11 452

j yj

2

=

582;364 25025  45 293410 = 498;255 25025  11 452

Para calcular los errores absolutos en la pendiente y en la ordenada necesi-

20

CAPÍTULO 2.

CÁLCULO DE ERRORES

tamos calcular el siguiente estadístico:

m

x

i

y

i

20;0

537

25;0

542

30;0

555

35;0

561

40;0

575

45;0

584

50;0

592

55;0

601

60;0

613

65;0

620

70;0

626

(y

j

P

= 1;86903;

N =11 (yj  j=1 m xj  b)

b

= 498;255

m x

j

 (y

1;36364

b)

2

j

2 98182

m x



j

b)

1;8595 8;89124

;

0;672727

0;452562

2 67273

7;14347

;

1;98182

3;9276

1;63636

2;67769

0;290909

0;0846281

0 0545455

0;00297521

2;6

6;76

0;254545

0;0647934

;

3 09091

P

;

N =11 (yj  j=1

P

x

=

x

i

20;0 25;0 30;0 35;0 40;0 45;0 50;0 55;0 60;0 65;0 70;0

2

N =11 ( xj j=1 N =11 1

P

N =11 j=1

 x

(x

x)

j=

9;5537 m x

j

2 495 11 = 45

i  x)

2

 45) = 625 2 (25  45) = 400 2 (30  45) = 225 2 (35  45) = 100 2 (40  45) = 25 2 (45  45) = 0 2 (50  45) = 25 2 (55  45) = 100 2 (60  45) = 225 2 (65  45) = 400 2 (70  45) = 625 NP =11 2 ( j  ) = 2750 (20

j=1

x

2

x



b)

2

=

41;4182

21

v u N P u 2 s u ( j j  ) u 41 4182 j =1 u = u N (11  2) 2750 = 0 040908 P t (  2) ( j  )2 j=1 v 1P 0 u N u 2 u ( j  41 4182 j  ) s C B 2 u 1 452 1 j =1 C B u = 1 95119 + + = B u 11  2 A PN (  )2 C 11 2 2750 t@ j y



m

m x

b

;

=

x

N

x

y



b

;

m x

b

x

=

;

N

x

j=1

;

N

x

El coe…ciente de regresión vale:

r

=

v u u N t P N

j=1

x

2

j

PN

N PN P j j j=1 jv =1 j=1 !2u N N u P N 2 P P  j t j 

N

x

j yj 

j=1

x

x

N

y

j=1

y

11 293410

y

j=1

j

 495 6406

!2 = p11 25025  4952 p11 3740270  64062

Por lo tanto los parámetros de la recta ajustada son:

1;86903

P endiente Ordenada en el origen

 0 040908  1 95119

498;255

;

;

Depurando en cifras signi…cativas:

P endiente Ordenada en el origen

1 87  0 04  2 0 = 103 (0 49826  0 002) = 103 (0 498  0 002) = 498  2 ;

498;26

;

;

;

;

;

La recta pedida es:

V(cm) = 1;87 T( C) + 498 o

Representaciones grá…cas.

Debemos representar en una misma grá…ca los

puntos experimentales y la recta de ajuste encontrada.

;

= 0;997851

22

CAPÍTULO 2.

CÁLCULO DE ERRORES

Ajuste por mínimos cuadrados. Puntos experimentales sin intervalos de error.

Ajuste por mínimos cuadrados. Puntos experimentales con intervalo de error vertical

Ajuste usando el programa

Mathematica

.

23

A nivel de primer curso de Fundamentos Físicos, lo que nos interesa de esta tabla es lo siguiente: Columna Estimate, Fila

1,

nos da la ordenada en el origen:

Columna Estimate, Fila

2,

nos da la pendiente:

1;86909

Columna SE, Fila

1,

nos da el error en el origen:

Columna SE, Fila

2,

nos da el er...