Problemas de derivadas resueltos PDF

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Problemas de derivadas resueltos...

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Bloque 4. Cálculo

Tema 3 La Derivada. Ejercicios resueltos 4.3-1

Deriva las siguientes expresiones:

b) y  cos  x  1 ;

a) y  sen 2x ; d) y 

2

2

x

 3x  1  e) y    ;  x 3 

;

x 4

3

c ) y  cos 3x ;

2

2

f ) y  sen 4 x

Solución a) y  sen2 x .

Derivada del seno por la derivada del ángulo:

y  sen2 x  y  cos 2 x  2 x   y  2  cos 2 x b) y  cos  x  1 .

Derivada del coseno por la derivada del ángulo:

y  cos  x 1   y   sen  x 1    x  1   y   sen  x  1 

c ) y  cos 3 x

2

. Derivada del coseno por la derivada del ángulo:

y  cos 3 x  y   sen 3x   3x   y    6 x sen3 x 2

d) y 

x x 4 2

3

y

y 

2



x 4

x

2

2

x

x



G3w

x 3

2

4

1

3

    x  4    x  x  4     x 4     

 4

1

3

2

 4

1

2

2

1

2

. Derivada de un cociente:

x 3

2

2 3

1

3

2

1 3

x

2

2

2

2

Conocimientos básicos de Matem áticas.

2

3

   

1

3

2

3

3 x  4  2 x       x  4 

 x  x  4 2

2

3

2 x

4

2 3



x  12 2

3

x

2

 4

Bloque 4. Cálculo.

Ana Allueva – José Luis Alej andre – José Miguel González

4

3

Tema 3. La derivada.

MATEMÁTI CA APLI CADA- Universidad Zaragoza

Ejercicios resueltos

1

 3 x 1  e) y     x 3

2

2

. Derivada de una potencia:

 3 x 1     x 3 x 3  2 3 x  1   3 x  2 x  9  3 x 1 3   x  3   2 x  3 x  1  2    x 3 x  3 x  3 

y  2 

3 x 1 2

2

2

2

2

f ) y  sen 4 x .

1 2

2

3

Derivada de una raíz cuadrada:

y  sen4 x  y   sen4 x  y 

2

2

 sen 4 x 

1

2

1

2

 sen 4 x   

1 2

2 4x  sen 4 x   4 cos 4 x  cos 1

2

sen 4x

4.3-2 Derivar:

y  xx

Solución Aplicamos logaritmos a los dos miembros de la igualdad:

ln y  ln x x  ln y  x ln x Derivamos los dos miembros de esta última igualdad:

 x  ln x   y  y  ln x  1  y x

 ln y    x ln x   y

y  xx  ln x  1 

4.3-3 Derivar:

y

G3w

2 3

 x   tag  2   arctag   3      

Conocimientos básicos de Matem áticas.

1 2

 x  tag  2   arctag   2      

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Tema 3. La derivada.

MATEMÁTI CA APLI CADA- Universidad Zaragoza

Ejercicios resueltos

2

Solución y 

2

1

x 3 tg   2 1 

1



2

2

x cos   2



2

3



1

x 2 tg    2 1 

1



2

3

1

1

2

2



1



2

2



1

x x x cos    tg    cos    2  2  2 2

2

2



2

2

1 3



2

2

1

  x   x  x  x  3  tg  2   cos  2   4  2tg  2   cos  2      



x cos    2

1

 4

x x x cos    2tg   cos   2 2  2 2

2

2

Hemos de tener en cuenta que:

x  x sen   sen   x  2   tg x  cos  x    2   cos  x   sen  x  tg     2  2  2 x 2 2     cos   cos  x          2 2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

Por lo tanto:

1

y 

1

  x x x x     3 cos    sen   4 cos    2 sen    2  2  2  2 x x    cos    sen    1   2 2   x 1 1 1  cos x      cos     2 2  x  2 2  x    1 2cos  cos     2  2 3  cos x  2  cos x  1 1 1     1 1 cos x 2 1 cos x  2 cos x  3 c os x   2  cos x  3  cos x  2

2

2

2

2

2

2

2

2

4.3-4 Derivar:

 1x  y  arc. cos    1 x  2

2

G3w

Conocimientos básicos de Matem áticas.

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Tema 3. La derivada.

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Ejercicios resueltos

3

Solución Derivada del arco coseno:

 1 x    1 x  4x 2

1



1  x

 2 x 1  x   2 x 1  x 2

1

y 

2





1

x

2

2



2



2x

2



4x

2

2

1  x  2



4x

2x 1 

2

x

3

1 x 

2

2

2



 2x  2x  2x



1  2x

3

x 1 1 2x  x 2

4

2

4



2



1

x

2

2

4.3-5 Derivar:

y



1

1

x



3

2

3



1

1

x



1

2

S olución Derivada de potencias:

y 

3 2

1

1

  1x   3

 4





x



1 2

1



1 2 1

1

x

x



3 2



1

1

x

   1 1x 



1

1

2



1 2 1

x



 1 1 x  1     1x    x 1 1   3

4

3 4 1

1

x

4.3-6 Derivar:

 1  tag y  ln  1  tag 

2

2

  x    2   e x cos x   x     2  

Solución Antes de derivar operamos:

G3w

Conocimientos básicos de Matem áticas.

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Tema 3. La derivada.

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4

x  x  sen   cos    sen 2  2  1 x   x cos   cos   2   2  x x sen   cos    sen  2  2 1 x  x  cos   cos   2  2  2

x    2 x  1  tag   2 1  tag

2

2

2

2

2

x    2 

2

2

2

2

2

x    2



2

x  x  cos    sen    cos x 2 2 2

2

Sustituyendo este valor, nuestro problema se convierte en:

x x x x y  ln cos x  e cos   ln  cos x   ln  e cos   x cos x  ln cos x 

Ahora derivamos esta expresión:

y  cos x  xsenx 

 senx  y   cos x  xsenx  tagx cos x

4.3-7 Derivar:

1 y  arctagx  arctag    arcsenx  arccos x 

1

x

2

Solución y 

1 1

x

2



1   1 x 1   x  1



2

1 1

x

2



2

 

G3w

1 1

x

2



1 1

2

x



1 1

2



x

1 2

x



1



1 1

x 1

x

2

x



2





2x 2 1

1 1

x

2





2

x

1 1

2



x

2 1

x

2

Conocimientos básicos de Matem áticas.

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Tema 3. La derivada.

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5

4.3-8 Derivar:

y  ln

3

1

4

x

Solución y  ln

3

1

x y 4

1 3

ln 1  x

4



Derivamos esta última expresión:

1

y   3

G3w

1

1  x  4

Conocimientos básicos de Matem áticas.

  4 x    3



4x

3 1

3

x

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4



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