Anexo numeros complejos PDF

Preview

Summary

Apunte para carreras de Fica...

Description

Mate Matemát mát máticas icas Esp Especia ecia eciales les

VARIABLE COMPLEJA Año 2018 REVISIÓN DE CONCEPTOS DE NÚMEROS COMPLEJOS Definición: Un número complejo z, es un par ordenado de números reales (a, b); donde a y b son números reales. Representación en forma binómica: Un número complejo z se puede representar en forma binómica de la forma: z = a + i b, donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria se llama Re(z)= a es la parte real de z y Im(z) = b es la parte imaginaria de z. Existe una correspondencia biunívoca entre el plano complejo y los vectores del plano. Complejos especiales: -

1) Complejo conjugado de z, se denota z , es el que tiene la misma parte real y la parte imaginaria cambiada de signo. 2) Complejo opuesto a z, se denota - z, es el complejo que tiene la parte real y la parte imaginaria que z, pero de signos contrario. -

-

Sabemos que Re( z ) = z + z 2

, Im(z ) = z - z 2i

Hemos visto que un complejo en forma binómica z = a + b i se representa en el Plano Complejo la siguiente manera: Im(z)

z b

a

Re(z)

Suma de Números Complejos

(a + bi) + (c + di) = (a + c) +(b + d ) i Producto de Números Complejos

z1 = (x1 + y1i); z 2 = (x 2 + y 2i ) entonces

z 1.z 2 = (x 1x 2 - y 1y 2 ) + (x 1y 2 +x 2y 1 )i

Mate Matemát mát máticas icas Esp Especia ecia eciales les

División de Números Complejos La división de dos números complejos, se obtiene al multiplicar un complejo por su conjugado. Dados z1=a + b i ; z2 = c +d i (con a, b, c y d números reales)

(a + bi )(c - di ) = ac - adi + bci - bdi2 ( c + di)(c - di) c 2 - cdi + dci - d 2i 2

=

ac + bd + (bc - ad )i ac + bd bc - ad = 2 + i c2 + d2 c + d2 c2 + d 2

Representación en forma polar: Un complejo se puede expresar en forma polar, de la forma: z= z (cosθ + isenθ ), para ello se traza un vector que va desde el origen hasta el número complejo z. Así obtenemos a z , es el módulo de z, siendo q el argumento de z (ángulo formado entre el eje real y el vector). También se lo denota de la forma z= z Ð q Im(z)

z b

q

E Re(z)

a

La operación de suma y resta es sencilla al realizarla en forma binómica, pero operaciones como el producto, cociente, potenciación y radicación son más sencillas de operar en forma polar. Operaciones en forma polar: Dados z 1 = r1cis q1

División

z1 r1 = cis( q 1 - q 2) z2 r2

y

z 2 = r2cis q 2

Multilplicación z 1.z 2 = r1.r 2cis(q1 + q 2 )

Potenciación. Fórmula de Moivre

z n = r n (cos (nq ) + sen(nq ) ) Forma Exponencial. Fórmula de Euler Demuestra que: e iq = ( cos(q ) + sen(q ))

por esta razón

z n = r n einq

Mate Matemát mát máticas icas Esp Especia ecia eciales les

Raíces Complejas Def: Dado un número complejo z = a + ib , llamamos raíz n-ésima del mismo con n Î N, a todo complejo w , tal que cumpla la condición que: wn = z

Sea z = r (cos q + i sen q) n

z = n r(cos q + i senq) lo cual, si existe, dará un número complejo de módulo R (a determinar) y argumento j (a determinar), de modo que: n

r (cosq + i sen q = R (cosj + i sen j)

Û r (cos q + i sen q) = Rn (cos j + i sen j)n

Aplicando la fórmula de Moivre en el segundo miembro, se tiene: r (cos q + i sen q) = Rn (cos nj + i sen nj) y, por la igualdad de dos números complejos en forma polar, deben ser: con k ÎZ r = Rn y n j = q + 2kp , R =n r

n

y

j=

ó

q + 2 kp n

θ + 2kπ θ + 2kπ ö æ + i sen z = n r cisθ = n r çcos ÷ n n è ø

con

k Î Z !

En principio, el argumento j puede expresarse como: j = q + 2 kp = q + 2 kp = q + k 2 p n n n n n por lo que si: k = 0,

j0 =

q n

k = 1,

j1 =

2p q + 1. n n

k = 2,

j2 =

q 2p +2 n n

................................................... k=n,

jn =

q q 2p +n = + 2p , n n n

que representa el mismo argumento que si k = 0 Si continuamos dándole valores a k = n +1, n + 2, etc., observaremos que tenemos los mismos ángulos que para k = 1, k = 2, y así siguiendo. Lo que no ocurre si k...