Numeros Complejos, Expresiones Algebraicas Y Factorizacion - Completo PDF

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1-Define números complejos. Los números complejos son una extensión de los números reales y forman un cuerpo algebraicamente cerrado. Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, facilita el cálculo de integrales, en aerodinámica, hidrodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. 2-Diga, ¿cuáles son las operaciones con números complejos en forma binómica? y de ejemplos. Para realizar una operación con números complejos en forma binómica, debemos realizar cada una de sus partes con su semejante, esto quiere decir que debemos realizar la operación con las partes reales independientes de las partes imaginarias. Ejemplo: (6 – 5i) + (3 + 9i) = (6 + 3) + (-5i + 9i) = (9 + 4i) 3-Defina potencias de la unidad imaginaria, ejemplos. La unidad imaginaria se puede multiplicar por ella misma como cualquier número real, obteniéndose entonces lo que se llaman las potencias de la unidad imaginaria. Así pues, se trabaja de la siguiente manera: -por convenio se establece que i0 = 1, como pasa con cualquier otro número real. -para las cuatro primeras potencias se tiene: i1 = i i2 = i * i = √−1 * √−1 = (√−1) 2 = -1 i3 = i2 * i = (-1) * i = -i i4 = i3* i = (-i) * i = - (i2) = - (-1) =1 4-Como se multiplican y se dividen los números complejos, ejemplos. Multiplicación de números complejos Para multiplicar números complejos, se aplica la propiedad distributiva de la mísma manera que se hace con los números reales, esto es: (a+bi)(c+di) = ac+adi+bci+bdi2 donde i2= -1 = ac + (ad + bc)i - bd = ac - bd + (ad+bc)i

Ejemplo: (2+4i)(3-2i) = (2)(3)+ (2)(-2i)+(4i)(3)+(4i)(-2i) = 6-4i+12i-8i2= 6 + 8i - 8 (-1) = 6+8i+8= 14+8i División de números complejos Para dividir complejos solo basta con multiplicar por el conjugado del denominador Dado el complejo 3-2i su conjugado corresponde a 3+2i (solo se cambia el signo de la parte imaginaria) Ejemplo: 6+4𝑖 3−2𝑖

=

(6+4𝑖)(2+2𝑖) (3−2𝑖)(3+2𝑖)

=

12+12𝑖+8𝑖+8𝑖 2 32 +22

=

12−8+20𝑖 13

=

4+20𝑖 13

=

4 13

+

20𝑖 13

Siempre que se multiplica un número complejo por su conjugado el resultado es un número real. 5-Defina la potencia de un numero complejo en forma binomica y de ejemplos. La potencia de un número complejo en forma binómica se realiza de la misma forma que se resolvería una potencia en un binomio (polinomio de dos términos). Por ejemplo, para resolver el cuadrado de un número complejo, lo haríamos mediante los productos notables. Ejemplo; (2-4i)2 = 22 -2*2*4i + (4i)2 = 4 -16i+16i2 = 4 – 16i+16*(-1)= 4 – 16i – 16 = -12 -16i

6-Defina expresión algebraicas, de ejemplos. Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligada por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes. r, donde r es el radio de la circunferencia. Ejemplo: 3x + 32z

7-¿Que es polinomio? En matemáticas, un polinomio es una expresión algebraica. En ella intervienen varios números y letras, relacionados mediante sumas, multiplicaciones y/o potencias. Las variables se escriben con letras porque pueden asumir distintos valores, en tanto que a los números se les llama coeficientes 8-Definicion de polinomio en una variable, ejemplos. Es una expresión algebraica entera compuesta por la suma o resta de monomios Ejemplo 3ax3 + 2bx2- 5x + 8 9-Defina valor numérico de una expresión algebraica, ejemplos. Es el que resulta de reemplazar cada letra por un valor particular asignado y efectuar luego las operaciones indicadas. Ejemplo: El valor numérico de a3b2c si a=2, b=1 y c=3 será: 23 x 12 x3 = 8 x1 x 3 = 24 10-tipos de operaciones con polinomios, cada una con ejemplos. Existen 4 diferentes operaciones con polinomios los cuales son la suma, resta, multiplicación y División de polinomios. Suma de polinomios (10x3 + 5x2 - 3x -3) + (8 + 3x - x2 + 2x3)= 10x3 + 5x2 - 3x -3 + 2x3 - x2 +3x +8 12X3 +4X2 + 0 - 3 Resta de polinomios (7x3 + 3x2 - 5x -2) – (2x3 + 5x2 + 3x -1) -

7x3 + 3x2 - 5x -2 2x3 + 5x2 + 3x -1 5x3 -2x2 -8x - 1

Multiplicación de polinomios 2x3 – 3x2 +4x X 2x2 – 3 3 -6x +9x2-12x 4x5 - 6x4 +8x3________ 4x5 – 6x4 +2x3 +9x2 -12x División de polinomios 2x2 + x – 2 |_X___ -2x2 2x+1 0+x - x - 2_ 0-2 11-Defina factores o divisores de un numero natural. Los divisores de un número natural son los números naturales que lo pueden dividir, resultando de cociente otro número natural y de resto 0. Ser divisor es lo recíproco a ser múltiplo. Si 9 es múltiplo de 3, entonces 3 es divisor de 9. Cada número tiene una cantidad concreta de divisores. El número 1 tiene sólo un divisor, él mismo. Solamente el 0 tiene infinito número de divisores, ya que todos los números son divisores de 0. 12-Hable y de ejemplos de números primos compuestos, descomposición factorial y máximo común divisor y mínimo común múltiplo de números naturales. a) números primos: En matemáticas, un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores positivos distintos: él mismo y el 1. Ejemplo: Números primos entre 1 y 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97. b) números compuestos: Por el contrario, los números compuestos son los números naturales que tienen algún divisor natural aparte de sí mismos y del 1, y, por lo tanto, pueden factorizarse.

Ejemplo: Los 30 primeros números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44 y 45. c) Descomposición factorial: La forma más usada consiste en ir dividiendo el número entre sus divisores primos, hasta que solo quede el número 1. Ejemplo: Por ejemplo, vamos a descomponer en factores el número 12: 12 = 6 x 2 12 = 3 x 4 12 = 2 x 2 x 3 d) Máximo común divisor: En las matemáticas, se define el máximo común divisor (abreviado mcd) de dos o más números enteros al mayor número entero que los divide sin dejar residuo alguno (sin que sobre algún número). Ejemplo: Tenemos que calcular el m.c.d. de 40 y 16 Descomponemos en factores primos 40 = 23 . 5 16 = 24 De esta forma, elegimos los no comunes y de los comunes el de mayor exponente. Por tanto: El m. c. d. ( 40, 16 ) = 2. 2. 2. = 8 e) El mínimo común múltiplo es el número más pequeño de los múltiplos comunes. Ejemplo: Tenemos que calcular el m.c.m. de 40 y 16 Descomponemos en factores primos

40 = 23 . 5 16 = 24 De esta forma, elegimos los no comunes y de los comunes el de mayor exponente. Por tanto: El m. c. m. ( 40, 16 ) = 24 . 5 = 80 13-¿Que es factorización de polinomios? En matemáticas y álgebra computacional, la factorización de polinomios o factorización polinómica se refiere a factorizar un polinomio con coeficientes en un campo dado o en los números enteros en factores irreducibles con coeficientes en el mismo dominio. Factorización polinómica es una de las herramientas fundamentales de los sistemas de álgebra computacional. 14- Defina y de ejemplos de factor común monomio, factor común por agrupación de términos, trinomio cuadrado perfecto. Factor común monomio: Es el factor que está presente en cada término del polinomio. Ejemplo N° 1: ¿Cuál es el factor común monomio en 12x + 18y - 24z ? Entre los coeficientes es el 6, o sea, 6·2x + 6·3y - 6· 4z = 6(2x + 3y - 4z ) Ejemplo N° 2 : ¿ Cuál es el factor común monomio en : 5a2 - 15ab - 10 ac, El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a, por lo tanto: 5a2- 15ab - 10 ac = 5a·a - 5a·3b - 5a · 2c = 5a(a - 3b - 2c ) Factor común por agrupación de términos: Se denomina así los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo. Ejemplo: Sacar factor común de la siguiente expresión por agrupación de términos: ax+ay+bx +by

Solución Se agrupan los dos primeros, con el factor común “a” y los dos últimos con el factor común “b”: ax+ay+bx +by = a (x+y) + b (x+y) Una vez hecho esto se pone de manifiesto un nuevo factor común, que es (x+y), de modo que: ax+ay+bx +by = a (x+y) + b (x+y) = (x+y)(a+b) Trinomio cuadrado perfecto: es el desarrollo de un un binomio al cuadrado. Ejemplo: x2 − 2x + 1 = = (x − 1)2 15- Defina y de ejemplos Diferencia de cuadrados y suma o diferencia de cubos perfectos. a) Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta. Ejemplo: x2 - 9 = (x + 3).(x - 3) x

3

Los dos términos son cuadrados. Las "bases" son x y 3. Se factoriza multiplicando la "suma de las bases" por la "resta de las bases". b) La suma o diferencia de dos cubos puede factorizarse en un producto de un binomio por un trinomio. Ejemplo: a) Factorizar 27x³ +8 La raíz cúbica de 27x³ es 3x

y

de 8 es 2

Sustituyendo las raíces encontradas en la fórmula respectiva: 27x³ +8 = (3x+2)[(3x)² -(3x)(2) +(2)²]

Desarrollando y simplificando las operaciones: = (3x+2)[9x² -6x +4]

Solución.

16-Hable y de ejemplos Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de Polinomios. a) En las matemáticas, se define el máximo común divisor (abreviado mcd) de dos o más números enteros al mayor número entero que los divide sin dejar residuo alguno (sin que sobre algún número). Ejemplo: Tenemos que calcular el m.c.d. de 40 y 16 Descomponemos en factores primos 40 = 23 . 5 16 = 24 De esta forma, elegimos los no comunes y de los comunes el de mayor exponente. Por tanto: El m. c. d. ( 40, 16 ) = 2. 2. 2. = 8 b) El mínimo común múltiplo es el número más pequeño de los múltiplos comunes. Ejemplo: Tenemos que calcular el m.c.m. de 40 y 16 Descomponemos en factores primos 40 = 23 . 5 16 = 24 De esta forma, elegimos los no comunes y de los comunes el de mayor exponente.Por tanto: El m. c. m. ( 40, 16 ) = 24 . 5 = 80 Nombre: Félix E. Santana R. Matricula: 100584322 Correo: [email protected] / [email protected]...