Unidad 3-Expresiones algebraicas y polinomios PDF

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[email protected](UASD)Universidad Autónoma de Santo DomingoCurso de Matemática Básica 3/Basado en el programa de MAT-0140 versión 2012Ing. Edwin Garabitos Lara, M.ObjetivosAutor: Ing. Edwin Garabitos Lara, M.Unidad 3 algebraicas y polinomios Expresiones algebraicas y polinomios, definiciones Op...

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Universidad Autónoma de Santo Domingo (UASD)

Ing. Edwin Garabitos Lara, M.Sc.

Curso de Matemática Básica 3/8 Basado en el programa de MAT-0140 versión 2012

Unidad 3.Expresiones algebraicas y polinomios Objetivos

Autor: Ing. Edwin Garabitos Lara, M.Sc. [email protected] Agosto 2020

3.1. Expresiones algebraicas y polinomios, definiciones 3.2. Operaciones con polinomios 3.3. Productos y cocientes notables, factorización de Polinomios. 3.4. Expresiones algebraicas racionales 3.5. Mínimo común denominador y Máximo Común Divisor 3.6. Operaciones con expresiones racionales 3.7. División de polinomios 3.8. Número imaginario 3.9. Números complejos en forma binómica 3.10. Ecuaciones cuadráticas, raíces reales y complejas

Identificarlas expresiones algebraicas y los polinomios, efectuar operaciones con polinomios, resolver ecuaciones cuadráticas.

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Curso de matemática básica-Unidad 2

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3.1. Expresiones algebraicas y polinomios, definiciones

Términos homogéneos y términos heterogéneos: Si se comparan dos

Expresión algebraica: es el resultado de llevar a cabo un número

términos teniendo en cuenta sus grados absolutos , entonces se dice que

finito de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones o raíces en

son homogéneos si ambos tienen el mismo grado absoluto y son

un grupo de variables y números reales. Los siguientes son

heterogéneos si sus grados absolutos son diferentes. Por ejemplo,

ejemplos de expresiones algebraicas: 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 𝑥 − 𝜋 ,

4𝑥𝑦 − 𝑥 y 𝑥+𝑦

3

𝑥 2 𝑦 3 y 20𝑥 𝑦 4 son ambos de grado absoluto 5 y por lo 7𝑦 − 3 +𝑧

𝑥 5 𝑦 −2

Dominio de una variable: es el conjunto de valores permisibles para la variable. Término: Es una expresión algebraica que consta de un número o

tanto son homogeneos entre sí. Términos semejantes: son aquellos términos que tienen la misma parte literal. Ejemplo: −8𝑚3 𝑛 y 6𝑚3 𝑛 son términos semejantes Monomio: Expresión algebraica que consta de un solo término.

una variable o varios números y varias variables combinadas mediante multiplicación o la división. Cada uno de los factores de

Binomio: Expresión algebraica que consta de dos términos.

un término es coeficiente de los demás. Grado de un término con relación a una de sus variables: es el

Polinomio: Expresión algebraica que consta de dos o más términos.

mayor exponente que tiene dicha variable. El grado absoluto de un término: es la suma de los exponentes de todas las variables que aparecen en dicho término. Por ejemplo , − 3𝑥 2 𝑦 3 es de 6to grado absoluto , de 2do grado respecto de 𝑥 y de tercer 3er grado respecto a 𝑦.

Polinomio ordenado: Un polinomio está ordenado con relación a una variable cuando los exponentes de esa variable van aumentando o disminuyendo desde el primer hasta el último término. 2

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Ejemplos: Tabla 3.1.Grado de un polinomio

1) 𝑎3 + 4𝑎2 + 6𝑎 + 10 → ordenado en forma descendente 2

4

2) 4 − 3𝑥 + 6𝑥 + 7𝑥 →ordenado en forma ascendente Polinomio de grado 𝑛 de la variable 𝑥 : es cualquier expresión algebraica de la forma 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 +∙∙∙ +𝑎2 𝑥 2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 , 𝑎𝑛 ≠ 0

Polinomio

Grado

Forma estándar

Ejemplo

Constante

0

𝑎0 (𝑎0 ≠ 0)

5

Lineal

1

𝑎1 𝑥 + 𝑎0 (𝑎1 ≠ 0)

Cuadrático

2

2

𝑎2 𝑥 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 (𝑎2 ≠ 0)

𝑥 + 𝑥 + 33

Cubico

3

𝑎3 𝑥 3 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 (𝑎3 ≠ 0)

𝑥3 − 𝑥 + 2

enésimo grado

𝑛

𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 +∙ ∙ ∙ +𝑎2 𝑥 2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 , 𝑎𝑛 ≠ 0

3𝑥 − 2 2

𝑥𝑛 + 1

(3.1)

donde 𝑛 es un entero no negativo y 𝑎𝑖 , 𝑖 = 0,1 … , 𝑛 son números reales.𝑎𝑛 se conoce como coeficiente principal y 𝑎0 como término constante del polinomio.

3.2. Operaciones con polinomios Como cada símbolo en un polinomio representa un número real, podemos usar las propiedades del sistema de los números reales expuestas en la unidad anterior para

Los polinomios pueden clasificarse según sus grados, aunque al

sumar, restar y multiplicar polinomios. En otras palabras, la suma, diferencia y

polinomio cero no se le ha asignado ningún grado. Se usan

producto de dos polinomios es un polinomio.

nombres especiales para describir los polinomios de menor grado, según se presenta en la tabla 3.1. En cada término en un

Suma de polinomios

polinomio, el exponente de la variable debe ser un entero no

Para sumar dos polinomios, se reorganizan los términos y se usan las propiedades

negativo.

distributivas. La suma se simplifica al sumar los términos semejantes.

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Ejemplo 3.1. Hallar la suma de los polinomios 𝑥 4 − 3𝑥 2 + 7𝑥 − 8 y 2𝑥 4 + 𝑥 2 + 7𝑥

(𝑥 3 +5𝑥 2 − 10𝑥 + 6) − (2𝑥 3 − 3𝑥 − 4 ) = 𝑥 3 + 5𝑥 2 − 10𝑥 + 6 − 2𝑥 3 + 3𝑥 + 4 )

Resolución

= (𝑥 3 −2𝑥 3 ) + 5𝑥 2 + (−10𝑥 + 3𝑥) + (6 + 4 ) = −𝑥 3 + 5𝑥 2 − 7𝑥 + 10

(𝑥 4 − 3𝑥 2 + 7𝑥 − 8) + (2𝑥 4 + 𝑥 2 + 7𝑥) = 𝑥 4 − 3𝑥 2 + 7𝑥 − 8 + 2𝑥 4 +𝑥 2 + 7 = 1 + 2 𝑥 4 + −3 + 1 𝑥 2 + 7 + 3 𝑥 − 8 = 3𝑥 4 − 2𝑥 2 + 10𝑥 − 8

Producto de dos polinomios Para multiplicar dos polinomios, se utiliza varias veces la propiedad distributiva, se agrupan los términos semejantes y se simplifica. Ejemplo 3.3. Multiplicar los polinomios 2𝑥 2 − 3𝑥 y 𝑥 + 2

Diferencia de polinomios Para para restar dos polinomios, se determina el opuesto del polinomio a restar y luego se le suma al otro polinomio.

Resolución 2𝑥 2 − 3𝑥

𝑥 + 2 = 2𝑥 2 − 3𝑥 (𝑥) + 2𝑥 2 − 3𝑥 (2)

= 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4𝑥 2 − 6𝑥 = 2𝑥 3 + 𝑥 2 − 6𝑥 Ejemplo 3.2. Restar 2𝑥 3 − 3𝑥 − 4 de 𝑥 3 + 5𝑥 2 − 10𝑥 + 6. Otra forma de expresar lo mismo es : de 𝑥 3 +5𝑥 2 − 10𝑥 + 3

6 restar 2𝑥 − 3𝑥 − 4. Resolución

División de dos polinomios En la división de polinomios , se usa la propiedad de común denominador: 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎+𝑏+𝑐 + + = 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑

(3.2)

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Ejemplo 3.4. Dividir 15𝑥𝑦 3 + 25𝑥 2 𝑦 2 − 5𝑥𝑦 2 entre 5𝑥𝑦 2

De no obtener un resto igual a cero, se dice que la división no es exacta, en el

Resolución

caso del ejemplo desarrollado la división es exacta. 3.3. Productos y cocientes notables, factorización de polinomios

15𝑥𝑦 3 + 25𝑥 2 𝑦 2 − 5𝑥𝑦 2 5𝑥𝑦 2

Ciertos productos de binomios se presentan con tanta frecuencia que se 3

=

2 2

2

15𝑥𝑦 5𝑥𝑦 25𝑥 𝑦 = 3𝑦 + 5𝑥 − 1 − + 2 2 5𝑥𝑦 2 5𝑥𝑦 5𝑥𝑦

denominan productos notables, así que puede ser útil memorizar el resultado para no tener que resolverlo cada vez. De la misma, los cocientes notables son

Otro método. La división de puede desarrollar mediante un

aquellas divisiones cuyo resultado resulta se usa frecuentemente en algunas

algoritmo muy conocido y usado desde la educación

operaciones.

preuniversitaria , a continuación se desarrolla el ejemplo con

Productos notables

este algoritmo. 15𝑥𝑦 3 + 25𝑥 2 𝑦 2 − 5𝑥𝑦 2 −15𝑥𝑦 3

‫ہ‬5𝑥𝑦 2

3𝑦 + 5𝑥 − 1 25𝑥 2 𝑦 2 − 5𝑥𝑦 2

−25𝑥 2 𝑦 2 −5𝑥𝑦 2

5𝑥𝑦

𝑎𝑥 + 𝑏 𝑐𝑥 + 𝑑 = 𝑎𝑐𝑥 2 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑑 𝑥 + 𝑏𝑑 (𝑥 + 𝑎)2 = 𝑥 2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2

(3.2) (3.3)

(𝑥 + 𝑎)3 = 𝑥 3 + 3𝑎𝑥 2 + 3𝑎2 𝑥 + 𝑎3 𝑥 + 𝑎 𝑥 − 𝑎 = 𝑥 2 − 𝑎2

(3.4) (3.5)

𝑥 + 𝑎 𝑥 2 − 𝑎𝑥 + 𝑎2 = 𝑥 3 + 𝑎3

(3.6)

𝑥 − 𝑎 𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 𝑎2 = 𝑥 3 − 𝑎3

(3.7)

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Factorización de polinomios cuadráticos .A veces es posible factorizar los polinomios cuadráticos como 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐,donde a, b y c son enteros, como (𝐴𝑥 + 𝐵)(𝐶𝑥 + 𝐷) donde 𝐴, 𝐵, 𝐶 𝑦 𝐷 son también enteros. Inicialmente para simplificar, suponemos que el

polinomio cuadrático tiene como coeficiente principal 𝑎 = 1. Si 𝑥 2 + Figura 3.1. El método PEIU para multiplicar dos binomios

𝑏𝑥 + 𝑐 tiene una factorización utilizando coeficientes enteros, Factorización de polinomios

entonces será de la forma (𝑥 + 𝐵)(𝑥 + 𝐷) donde B y D son enteros: al

Anteriormente se han multiplicado polinomios. Ahora, se invierte el

hallar el producto y al comparar los coeficientes, Se vé que 𝐵 + 𝐷 = 𝑏

procedimiento y se trata de escribir un polinomio como producto de

y 𝐵𝐷 = 𝑐.Ver la figura 3.2.

otros polinomios. Este proceso se llama factorización, y cada polinomio en el producto se llama factor del polinomio original. Por ejemplo, 𝑥 + 1 y 𝑥 son factores del polinomio 𝑥 2 + 1, ya que

𝑥 + 1 𝑥 = 𝑥 2 + 𝑥. Ejemplo 3.5.Factorizar 5𝑥 2 𝑦 + 𝑥 3 𝑦 3 − 4𝑥 4

Figura 3.2. Factorización de ecuación cuadrática de la forma 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Resolución se identifican los factores comunes entre los tres términos 5𝑥 2 𝑦 + 𝑥 3 𝑦 3 − 4𝑥 4 = 5𝑥 2 𝑦 + 𝑥 2 𝑥𝑦 3 − 4𝑥 2 𝑥 2 = 𝑥 2 5𝑦 + 𝑥𝑦 3 − 4𝑥 2

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Factorización de fórmulas. Si se invierten las fórmulas de los cuadrados perfectos se obtiene: Cuadrado perfecto: 𝑥 2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2 = (𝑥 + 𝑎)2

Diferencia de dos cuadrados : 𝑥 2 − 𝑎2 = 𝑥 + 𝑎 (𝑥 − 𝑎) Diferencia de cubos : 𝑥 3 − 𝑎3 = 𝑥 − 𝑎 (𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 𝑎2 ) Diferencia de cubos : 𝑥 3 + 𝑎3 = 𝑥 + 𝑎 (𝑥 2 − 𝑎𝑥 + 𝑎2 )

i) Cancelación:

𝑎𝑐

𝑎 ,𝑐 ≠ 0 =𝑏

𝑏𝑐 𝑎 𝑐 𝑎±𝑐 ii) Suma o resta: ± = 𝑏 𝑏 𝑏 𝑎 𝑐 𝑎𝑐 iii) Multiplicación ∶ ∙ = 𝑏 𝑑 𝑏𝑑 𝑎 𝑐 𝑎 𝑑 𝑎𝑑 iv)División ∶ ÷ = ∙ = 𝑏𝑐 𝑏 𝑑 𝑏 𝑐

3.4. Expresiones algebraicas racionales 3.5. Mínimo común denominador y máximo común divisor Cuando un polinomio se divide entre otro, el resultado no es necesariamente un polinomio. El cociente de dos polinomios se llama

Mínimo común denominador

expresión racional. Por ejemplo,

Para sumar o restar expresiones racionales se procede exactamente como

2𝑥 2 + 5 ; 𝑥+1

2𝑥 2 + 5 2𝑥 3 − 𝑥 + 8

son expresiones racionales. El dominio de la variable en una expresión

racional consta de todos los números reales para los que el valor del denominador es diferente de cero.

cuando se suman

o restan fracciones. Primero halla un común

denominador(divisor) y luego se aplica la propiedad ii). Aunque cualquier común denominador servirá, el trabajo será menor si usamos el mínimo común denominador (MiCD), el cual se encuentra mediante la factorización completa de cada denominador y la formación de un producto de los diferentes factores, usando cada factor con el exponente más alto con el cual

En la operación de expresiones racionales se usan las mismos axiomas o

ocurra en cualquier denominador individual.

propiedades de las fracciones, a continuación se muestran algunas como repaso. Para cualquiera de los números reales a, b, c y d:

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Ejemplo 3.5. Hallar el mínimo común denominador de 1

𝑥+2

y , 𝑥 4 −𝑥 𝑥 2 +2𝑥

1 𝑥

.

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Ejemplo 3.6. Hallar el máximo común divisor de las expresiones 2𝑥 ,

2𝑥 3 + 4𝑥 2 . Resolución

Resolución Cada denominador se descompone en sus factores:

Se expresa cada expresión como un producto de sus factores primos; 2𝑥 = 2𝑥; 2𝑥 3 + 4𝑥 2 = 2𝑥 2 𝑥 + 2 , luego se

4

multiplican los factores

3

𝑥 −𝑥 =𝑥 𝑥 −1

𝑥 2 + 2𝑥 = 𝑥 𝑥 + 2

comunes en las expresiones algébricas. Los factores comunes son 2 y 𝑥,entonces:

𝑥=𝑥 El mínimo común denominador se obtiene multiplicando cada factor con el

MCD = 2𝑥

exponente más alto con el cual ocurra en cualquier denominador individual: 3.6. Operaciones con expresiones racionales MiCD = 𝑥 𝑥 3 − 1 (𝑥 + 2 ) Máximo común divisor

Suma de expresiones racionales En la suma se opera con ambos en las expresiones racionales de modo que tangan el mismo denominador, y luego se usa la propiedad ii), o se usa el mínimo común denominador.

El máximo común divisor(MCD) de dos o más polinomios es el mayor polinomio que divide exactamente a los polinomios.

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Ejemplo 3.7. Realizar la suma de

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𝑥+2

Multiplicación de expresiones racionales

+ 𝑥 2 +𝑥 𝑥

Resolución

La multiplicación de expresiones racionales es similar a la multiplicación de fracciones, con la diferencia de que se debe aplicar la propiedad distributiva

Método 1.En este método, se multiplica cada denominador por factores

de la multiplicación en relación con la suma, para simplificar el numerador y

que hagan que cada expresión tenga el mismo denominador, luego se

el denominador.

aplica la propiedad ii) 1 𝑥+2 1 𝑥+1 𝑥+2 𝑥+1 𝑥+2 2𝑥 + 3 + 2 = × + 2 = 2 + 2 = 2 𝑥 +𝑥 𝑥 𝑥 +𝑥 𝑥 𝑥+1 𝑥 +𝑥 𝑥 +𝑥 𝑥 +𝑥 Método 2.Se busca el mínimo común denominador y luego se iguala la suma a una expresión racional que tenga como denominador al mínimo común denominador. El mínimo común denominador es 𝑥 𝑥 + 1 = 𝑥 2 + 𝑥 ,entonces el numerador correspondiente es la suma de los productos del MCD con cada expresión racional, es decir:

1 𝑥+2 𝑥 𝑥+1 × =𝑥+1; 𝑥 𝑥+1 × =𝑥+2 𝑥 𝑥2 + 𝑥 ⇒ Este calculo se hace mentalmente 1 𝑥+2 𝑥+1+𝑥+2 2𝑥 + 3 + = = 2 𝑥 +𝑥 𝑥 𝑥2 + 𝑥 𝑥 𝑥+1 ⇒ El desarrollo consiste en esta línea

5

Ejemplo 3.8. Multiplicar las expresiones ; 𝑥

𝑥+2 𝑥 −1

.

Resolución 𝑥+2 5 𝑥+2 5𝑥 + 10 5 × = = 2 𝑥 𝑥 −1 𝑥 𝑥 −1 𝑥 −𝑥 División de expresiones racionales En la división se multiplica la expresión racional a dividir, por el recíproco de la expresión racional divisora. Ejemplo 3.9. Realizar la división

𝑥+3 𝑥 −1

÷

2 𝑥

Resolución 2 𝑥+3 𝑥 𝑥+3 𝑥 𝑥 2 + 3𝑥 𝑥+3 ÷ = × = = 𝑥 −1 𝑥 𝑥 −1 2 𝑥 −1 2 2𝑥 − 2 9

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3.7. Número imaginario

𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖

(3.10)

Algunas ecuaciones cuadráticas no tienen solución real, por ejemplo 𝑥 2 + 1 = 0, no tiene raíces reales ya que no hay un número real tal que 𝑥 2 = −1. La solución a esta ecuación requiere de la definición de los números imaginarios, los cuales se definen mediante la expresión en (3.8) , donde 𝑏 es un número real e 𝑖 es la unidad imaginaria que se define según (3.9), de modo que 𝑖 2 = −1.

Operaciones con números complejos Dos números complejos son iguales si y sólo si sus partes reales son iguales y si también sus partes imaginarias son iguales. Es decir, si 𝑧1 =

𝑎 + 𝑏𝑖 y 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖 entonces son iguales si se cumple la expresión en (3.11).

𝐼 = 𝑏𝑖

(3.8)

𝑖 = −1

(3.9)

3.8. Números complejos en forma binómica

𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖 ⟺ 𝑎 = 𝑐 ,

𝑏=𝑑

(3.11)

Algunas potencias de la unidad imaginaria

𝑖0 = 1

Un número complejo se define como aquel de la forma en (3.10), donde 𝑎 y 𝑏 son números reales, 𝑎 se le conoce como parte real y a 𝑏 se le

conoce como parte imaginaria. Se dice que un número complejo de la forma 0 + 𝑏𝑖 es un número imaginario puro o simplemente un número

𝑖 1 = −1 𝑖2 =

−1

2

= −1

𝑖 3 = 𝑖 2 𝑖 = −1 𝑖 = −𝑖

(3.12)

imaginario como se definió en la sección 3.7 . Mientras que si 𝑏 = 0 en (3.10) se obtiene un número real. Así, el conjunto de los números reales

ℝ y el conjunto de los números imaginarios son subconjuntos de los números complejos ℂ.

𝑖 4 = 𝑖 2 𝑖 2 = −1 −1 = 1

𝑖5 = 𝑖 4𝑖 = 1 𝑖 = 𝑖 10

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Suma, resta y multiplicación de números complejos

Resolución

Si 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 y 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖 entonces

a) 𝑧1 + 𝑧2 = 2 + 5𝑖 + 1 − 3𝑖 = 2 + 1 + 5𝑖 − 3𝑖 = 3 + 2𝑖

i) su suma está dada por 𝑧1 + 𝑧2 = (𝑎 + 𝑏) + 𝑏 + 𝑑 𝑖 ii) su diferencia está dada por 𝑧1 − 𝑧2 = (𝑎 − 𝑏) + 𝑏 − 𝑑 𝑖

b) 𝑧1 × 𝑧3 = 2 + 5𝑖 × 1 − 3𝑖

iii) su producto está dado por 𝑧1 𝑧2 = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑑 𝑖

= 2 1 − 3𝑖 + 5𝑖 1 − 3𝑖 = 2 − 6𝑖 + 5𝑖 − 15𝑖 2

Conjugado. Sea 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 un número complejo, su conjugado es el número 𝑧ҧ = 𝑎 − 𝑏𝑖.

= 2 − 𝑖 − 15 −1 = 2 − 𝑖 + 15 = 17 − 𝑖 En la parte c) se debe multiplicar por el conjugado del denominador

Los cálculos siguientes muestran que tanto la suma como la

multiplicación de un número complejo z y su conjugado തz son números reales:

𝑧 + 𝑧ҧ = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑎 − 𝑏𝑖 = 2𝑎

c)

2 + 6𝑖 + 5𝑖 + 15𝑖 2 𝑧1 2 + 5𝑖 2 + 5𝑖 1 + 3𝑖 2 + 5𝑖 1 + 3𝑖 = = = × = 12 + 32 1 − 3𝑖 1 + 3𝑖 𝑧2 1 − 3𝑖 1 − 3𝑖 1 + 3𝑖

(3.13) =

𝑧 𝑧ҧ = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑎 − 𝑏𝑖 = 𝑎2 − 𝑏2 𝑖 2 = 𝑎2 + 𝑏2

2 + 11𝑖 + 15(−1 ) −13 + 11𝑖 13 11 = = − + 𝑖 2 2 1 +3 10 10 10

(3.14) d) 𝑧3 + 𝑧1 𝑧1ҧ = 1 − 3𝑖 + 2 + 5𝑖

2 − 5𝑖

Ejemplo 3.10. Dados los números complejos 𝑧1 = 2 + 5𝑖 , 𝑧2 = 1 − 3𝑖, 𝑧3 = 6𝑖 . realizar las operaciones a) 𝑧1 + 𝑧2 ; b) 𝑧1 ×

= 1 − 3𝑖 + 22 + 52 = 30 − 3𝑖

𝑧3 ; c) 𝑧1 /𝑧2 ; d) 𝑧3 + 𝑧1 𝑧1ҧ .Expresar el resultado en forma binómica. 11

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3.9. Ecuaciones cuadráticas, raíces reales y complejas

Dada una ecuación cuadrática a resolver , primero se rescribe como se muestra en (3.16) y se dan los siguientes pasos

Ecuaciones cuadráticas

𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 0

(3.16)

En esta sección examinamos las ecuaciones polinomiales de

segundo grado o ecuaciones cuadráticas. Una ecuación cuadrática

Se expresa la ecuación con el término independiente en el lado derecho

es una ecuación polinomial que puede escribirse en la forma

𝑥 2 + 𝐵𝑥 = −𝐶

estándar: 2

𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, con 𝑎 ≠ 0

Para expresar el lado izquierdo como un trinomio cuadrado perfecto, se (3.15)

suma el cuadrado de la mitad del coeficiente de 𝑥 , es decir (𝐵Τ2)2 a

Métodos de solución de la ecuación cuadrática

ambos miembros de esta última ecuación:

a) Método de factorización. Este método se basa en la propiedad:

𝐵 𝑥 + 𝐵𝑥 + 2

ab = 0, entonces a = 0 o b = 0 o b = a = 0.Luego de factorizar y aplicar estas condiciones se despeja la variable en cada factor b) Método de completar el cuadrado .Cuando una expresión

2

2

𝐵 = −𝐶 + 2

2

Ahora, se factoriza el trinomio cuadrado perfecto 𝐵 𝑥+ 2

2

𝐵 = −𝐶 + ...