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Fracciones algebraicas

Profesora: Grettel León Arguedas

Una fracción algebraica es aquella en la que el denominador, el numerador o ambos están formados por expresiones algebraicas (monomios o polinomios).

Ejemplos:

a)

2 x 5 yz 4 x y 4 c3

b)

18 b ac 7 3 24 b a c

8

c)

2 a( x−3) 6 ab( x−9)

d)

Caso 2 Cuando el numerador y el denominador son polinomios, para poder simplificar la fracción primero se debe factorizar ambos polinomios, luego aplicamos la “ley de cancelación”, es decir cancelar los factores que sean iguales en el numerador y en el denominador.

a)

4 x 2−12 xy+ 9 y 2 4 x 2−9 y 2

3 x 2−5 x−2 x 2−4

b)

4 a 2−12 a+ 9 4 a2−9

Simplificación De Fracciones Algebraicas Simplificar una fracción algebraica es reducirla a su forma más simple. Para una mejor comprensión analizaremos dos casos. Caso 1 Cuando el denominador y el numerador de la fracción son monomios, se dividen los coeficientes entre sí y para las variables se aplica la propiedad de las potencias am m−n =a , siempre restando el mayor n a exponente al menor exponente y escribiendo el resultado donde esté el mayor exponente, además si las variables son de igual exponente se cancelan y en caso de cancelarse todo se escribe un 1.

a)

36 a4 b 5 c 3 24 b4 a 7 c3

c)

39 m−5 n7 26 m−3 n−2

b)

14 x 5 y 8 w2 6 10 42 x w

d)

x2 a yb x5 a yb

1 ¿x

Fracciones algebraicas

Profesora: Grettel León Arguedas

2

9 x −1 6 xy +3 x 2−2 y−x

d)

c)

xy +3 bx −2 ay −6 ab 3 y 3 +18 y 2 b+27 b´ 2 y

8 x 2 y 4−12 x 5 y 2 8 x y 5−18 x 7 y

l)

2 a ( x−1 ) −3 (1 −x ) 2 a+3− 2 ax−3 x

OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Las cuatro operaciones aritméticas fundamentales: suma, resta, multiplicación y división, pueden ser aplicadas a las fracciones algebraicas, que suelen simplificarse por medio de la factorización.

Multiplicación De Fracciones Algebraicas

Práctica 1

Simplifique al máximo las siguientes fracciones algebraicas: a)

8 m7 n3 w5 24 m 2 n8 w

b)

72 a9 b4 c 2 108 a 3 b 7 c

c)

25 a2 b 4 c−3 30 a5 b−2 c

d)

m 2 x n5 y b3 z n2 y m 4 x b 5 z

e)

12 6 x +12

f)

3 x 2 + x−2 6 x 2− x − 2

g)

y 2−25 y 2 −8 y +15

h)

4 x 2 z−9 z 4 x 2+ 12 x + 9

i)

3 x ( x+1 ) −2 ( x +1 ) 3 x 2 + x−2

El proceso de multiplicar fracciones algebraicas equivale al de las fracciones racionales; es decir se multiplica numerador por numerador y denominador por a c ac ∙ = . Cuando denominador, esto es: b d bd las fracciones contienen expresiones algebraicas, se debe factorizar, siempre que sea posible, y cancelar los factores comunes de los numeradores con los de los denominadores ANTES DE MULTIPLICAR. En las respuestas fraccionarias se multiplican los numeradores, y los denominadores se dejen en forma factorizada.

j)

a)

3 x 2 y 5 x3 y 2 ∙ 2 x y 2 3 x2 y 3

12a 3−27 b 2 a 4 3 2 2 4 a −12 a b+ 9 a b k)

2 ¿x

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b)

x 2−2 x +1 2

9

e)

2 x+6 ∙ x 2−1

f)

x 2 +2 x−3

2 x 2+6 x ∙ x 2 +6 x+ 9

2x 4 h2−9 h2−4 ∙ 2 h2 +7 h+ 6 6 h 2−h−6

División De Fracciones Algebraicas Las reglas de la división aritmética también se aplican a la división de fracciones algebraicas, es decir la división se convierte en multiplicación al invertir la fracción divisor (o sea la “segunda fracción”), por lo tanto se resuelve como las multiplicaciones antes estudiadas.

2

c)

6 x ( x−2 y ) y ( x +2 y ) ∙ 2 3 x −4 y 2 8y

a)

2 2 x−3 w x −6 xw+9 w ÷ x+3 w 4 x 2 +12 xw

2

d)

2 a +5 a−3 a2 −1 ∙ 2 a 2−3 a+1 a 2+ 4 a+ 3

Práctica 2 Resuelva las siguientes simplifique al máximo:

a)

2 3 2 2 10 5a b 6a b c ∙ 2a b 2 c 10 a3 bc

b)

3 7 a2 x 2 9 a x ∙ 3 a x 3 14 a3 x

c)

2 2 t ( 3 t−2 b) 6 b ( 3 t+ 2 b) ∙ 5 2 3t b 9 t 2−4 b2

d)

a2 +2 ab+b 2 6 a ∙ 3 a+ 3 b a2 −b2

b) operaciones

2 x−1 6 x−3 ÷ 2 16 x −9 4 x+3

y

3 ¿x

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c)

h( h+ 2 )− ( h+2 ) h

2

÷

e)

h −1 h

f)

x 2−1 ÷

x 2−2 x +1 xw

a ( 2 x−a) + ( a−2 x ) 2

a −1

÷

2 x−a a+ 1

Suma Y Resta De Fracciones Algebraicas

d)

En la suma y resta de fracciones algebraicas también se aplican las reglas de la suma y resta aritmética. Recordemos que en la suma y resta de fracciones es importante distinguir si las fracciones son homogéneas (igual denominador) o heterogéneas (diferente denominador), ya que de esto depende el método que se utilice. Por tal razón analizaremos cada caso por separado.

4 m 2−9 2 m+3 ÷ m−1 2 m 2−5 m+3

Fracciones Homogéneas En este caso el procedimiento consiste en mantener un solo denominador; y se suman o restan los términos semejantes de los numeradores.

Práctica

Resuelva las siguientes simplifique al máximo: a)

x−2 3 x 2−6 x ÷ x 2 +4 x + 4 x2 −4

b)

a3−4 a2 +3 a ÷ (a−3 ) a+2

c)

x−3 x 2−6 x+ 9 ÷ x+3 x 2 +7 x +12

d)

2 x 2−x−12 x + 4 x +3 ÷ x 2 + x−2 x 2−1

operaciones

a)

−7 x 4 5 x 2 − + − ab ab ab ab

b)

5 x−2 3 x + − x +1 x+1 1+x

c)

2 ax 3 a a + + x−2 2−x x−2

y

4 ¿x

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Fracciones Heterogéneas En este caso debemos homogenizar las fracciones obteniendo el máximo común denominador (m.c.d.). Para obtenerlo debemos seguir estos dos pasos. 1. Factorizar en forma completa cada denominador. 2. Tomar todos los factores resultantes y si se repiten se escoge únicamente el de mayor exponente.

b)

2 x−15 2 + (2 x−3 ) 4 x 2−9

c)

a−2 a − 2 a −2 a+1 a −1

D máximo común divisor de los siguientes pares de fracciones. a)

5x 3 y ; 4 a 6 a2 b

b)

7 3 ; 2 x −4 x +4 x −2 x

c)

a 2 ; 2 a +2 a+1 a −1

2

2

Para sumar o restar dos o más fracciones algebraicas heterogéneas, debemos primero obtener el m.c.d; luego se divide el m.c.d. entre cada denominador de las fracciones y el resultado obtenido se multiplicad por el numerador de la fracción correspondiente. Por último se suman y restan los términos semejantes; y si es posible se factoriza el numerador resultante para analizar si se puede cancelar con algún factor del denominador.

a)

2

3 1 + 4 6 a 12 a 3 5 ¿x

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d)

x 2−2 2

d)

m−3 2

m −4

−

m−1 4 m−2 m 2

Práctica 4

Resuelva las siguientes simplifique al máximo: a)

2 x + z x−2 z x +z + + z z z

b)

x−2 2 x+1 − a+b b+a

c)

x+1 5−3 x − 2 x −2 x +1 x −2 x + 1

operaciones

2−4 x − x−x 2

e)

1−x 1+z x + z − − 2 xz 3z 4x

f)

5 x +1 3 x−2 − 2x 6x

g)

9 2 − 3 x +1 9 x 2 +6 x +1

h)

x x−1 + 2 2 x +3 x x +6 x +9

i)

3 z + 2 z −1 z +2 z+1

j)

2 1 3 − 2 + 6 a+24 a +8 a+16 a + 4 a

2

2

y

2

6 ¿x

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7 ¿x...